Логіка (греч. logik), наука про прийнятні способи міркування. Слово «Л.» у його сучасному вживанні багатозначно, хоча і не настільки багато смисловими відтінками, як древнегреч. lógos, від якого воно походить. У дусі традиції з поняттям Л. зв'язуються три основні аспекти: онтологічний — «Л. речей», тобто необхідний зв'язок явищ об'єктивного світу (Демокріт ) ; гносеологічний — «Л. знання», тобто необхідний зв'язок понять, за допомогою якого пізнається «суть і істина» (Платон ) , і демонстративний (доказовий), або власне логічний, — «Л. доказів і спростувань», тобто необхідний зв'язок думок (висловів) в міркуваннях (висновках), примусова переконливість («загальнозначуща») яких витікає лише з форми цього зв'язку безвідносно до того, виражають ці думки «суть і істину» чи ні (Арістотель ) . Перші два аспекти відносяться до філософії і діалектичній логіці, останній же аспект складає власне логіку, або сучасну Л. (яку услід за І. Кантом інколи називають формальній Л.).
Історично предмет (власне) Л. обмежувався свого роду «каталогізацією» правильних аргументів, тобто таких способів міркувань, які дозволяли б з дійсних думок-посилок завжди отримувати дійсні думки-висновки. Відомим з часів античності набором таких аргументів однозначно визначався процес дедукції, характерний для т.з. традиційною Л., ядро якої складала силлогистіка, створена Арістотелем. У міру вивчення особливостей демонстративного мислення предмет традиційної Л. поступово розширювався за рахунок способів несилогізму, хоча і дедуктивних міркувань, а також за рахунок індукції . Оскільки остання випадала з рамок Л. як дедуктивній теорії (або сукупності таких теорій), вона врешті-решт зробилася предметом особливої теорії, названої індуктивної Л.
Сучасна Л. є історичним наступником традиційної Л. і в деякому розумінні її прямим продовженням. Але на відміну від традиційної, для сучасної Л. характерна побудова різного роду формалізованих теорій логічного міркування — т.з. логічних «формалізмов», або логічних числень, що дозволяють зробити логічні міркування предметом строгого аналізу і тим самим повніше описати їх властивості (див. розділ Предмет і метод сучасної логіки). Відображення логічного мислення в логічних численнях привело до адекватнішого вираження ідеї «логосу» як єдність мови і мислення, чим це було в епоху античності і у всі епохи, що передували 20 в.; в сучасній Л. це вираження настільки очевидно, що, виходячи з різних «формалізмов», доводиться деколи говорити про різні «стилі логічного мислення».
М. М. Новоселів.
Історія логіки. Історичну основу сучасної Л. утворюють дві теорії дедукції, створені в 4 ст до н.е.(наша ера) старогрецькими мислителями: одна — Арістотелем, інша — його сучасниками і філософськими противниками діалектиками мегарськой школи . Переслідуючи одну мету — знайти «загальнозначущі» закони логосу, про які говорив Платон, вони, зіткнувшись, як би поміняли вихідні дороги до цієї мети. Відомо, що засновник мегарськой філософської школи Евклід з Мегари широко використовував не лише докази від осоружного, але і аргументи, формою близькі до силлогичеським, і такі ті, що багато дійшли до нас софізми мегаріков. У свою чергу, Арістотель у вигадуванні «Топіка» як доводить сформулював основне правило числення висловів — правило «відділення висновку» (що вирішує при істинності висловів «якщо А, те В» і «А» як дійсний висновок «відокремити» вислів «В»). І якщо потім він залишив осторонь Л. висловів, то в цьому «повинні» неабиякою мірою софізми мегаріков, які привели Арістотеля до пошуків логічних елементів мови в елементарній се одиниці — пропозиції. Саме на цій дорозі він ввів поняття вислову як дійсній або помилковій мові, відкрив, на відміну від граматичної, атрибутивну форму мови — як твердження або заперечення «чого-небудь про щось», визначив «простий» вислів як атрибутивне відношення двох термінів, відкрив ізоморфізм атрибутивних і об'ємних стосунків аксіому і правила силогізму . Арістотель створив вельми обмежену по своїх можливостях, та зате закінчену теорію — силлогистіку, що реалізовує в рамках Л. класів ідею алгоріфмізациі виведення висновків. Арістотелівська силлогистіка поклала «силлогистіке» мегаріков, останнім представником якої був Евбулід з Мілета, що писав проти Арістотеля, автор відомих парадоксів «брехун», «лисий», «купа» і декількох софізмів. Ін.(Древн) послідовники Евкліда звернулися до аналізу умовних висловів, вважаючи, що висновки «про властивий», що виражаються фігурами силогізму, потребують загальнішої основи. Діодор Крон з Іаса і його учня Філон з Мегари ввели поняття імплікації і вивчали зв'язок імплікації і відношення дотримання, передбачивши ідею теореми про дедукцію. Погоджуючись в тому, що умовний вислів — імплікація — істинно, коли висновок виходить з посилки, вони розходилися, проте, в тлумаченні поняття «слідує». Згідно Діодору, У виходить з А, коли імплікація А É У («якщо А, те В») необхідна, так що не можна стверджувати залежно від випадку, що інший раз вона достеменна, а інший раз немає, якщо А і В одні і ті ж вислови. Філон же вважав, що поняття «У виходить з А» повністю визначається поняттям матеріальної імплікації, яку він ввів, давши зведення її істиннісних значень. Так виникла теорія критеріїв логічного дотримання, що згодом зробилася частиною учення стоїків. Невідомо, чи обговорювалося в мегарськой школі питання про аксіоматизацію Л., але Діоген Лаерций свідчить, що Клітомах з школи Евкліда був першим, хто написав трактат, що не дійшов до нас, про аксіоми і предикати.
Логічні ідеї мегаріков асимілювали у філософській школі стоїків, заснованій близько 300 до н.е.(наша ера) Гл. фігурою цієї школи був Хрісипп, що прийняв критерій Філона для імплікації і двозначності принцип як онтологічну передумову Л. У вигадуваннях стоїків Л. висловів передує арістотелівською силлогистіке, оформляючись в систему правил побудови і правил виведення висловів. Останні за прикладом Арістотеля теж називаються силлогизмамі. Ідея дедукції формулюється чіткіше, ніж в мегаріков, у вигляді слід.(наступний) розпорядження: умовою формальної правильності висновку В з посилок А 1 , А 2 ..., A n є істинність імплікації (A 1 & A 2 &... & A n ) É Ст Аргументи, засновані на розумінні висловів лише як функцій істинності, стоїки називали формальними; вони можуть вести від помилкових посилок до дійсних следствіям. Якщо ж до уваги бралася змістовна істинність посилок, формальні аргументи називалися достеменними. Якщо посилки і висновки в дійсних аргументах відносилися відповідно як причини і наслідки, аргументи називаються такими, що доводять. У загальному випадку аргументи» стоїків, що «доводять, передбачали поняття про природні закони. Стоїки вважали їх аналітичними і можливість їх доказу за допомогою аналогії і індукції заперечували. Т. о., розвинене стоїками вчення про доказ йшло за межі Л. у область теорії пізнання, і саме тут «дедуктівізм» стоїків знайшов собі філософського противника в особі радикального емпіризму школи Епікура — останньою найбільш важливою для історії Л. школи античності. У спорі із стоїками епікурейці захищали досвід, аналогію, індукцію. Вони поклали початок індуктивної Л., вказавши, зокрема, на роль прикладу, що перечить у проблемі обгрунтування індукції і сформулювавши ряд правив індуктивного узагальнення .
Епікурейською «каноникой» закінчується історія логічної думки ранньої античності. На зміну приходить пізня античність, що еклектично поєднує арістотелізм і стоїцизм. Її вклад в Л. обмежується по суті перекладацькою і коментаторською діяльністю пізніх періпатетіков (Боет Сидонський Олександр Егський, Адраст, Гермін, Олександр Афродізійський, Гален і ін.) і неоплатоников (Порфирій, Прокл, Симплікий, Марій Вікторин, Апулей, Августин, Боецій, Касіодор і ін.). З нововведень елліно-рімських логіків заслуговують на увагу логічний квадрат Апулея, дихотомічне ділення і об'ємне трактування термінів силогізму у Порфирія, ідеї аксіоматизації Л. і Л. стосунків в Галена, зачатки історії Л. в Секста Емпірика і Діогена Лаерция, нарешті, що підготували термінологію середньовічної Л. переведення грецьких текстів на латинську мову, зокрема «Введення» Порфирія Марієм Вікторіном і вигадувань Арістотеля, що входять в «Органон», Боецієм. (Саме у логічному словнику Боеція вперше, мабуть, з'являються поняття «суб'єкт», «предикат», «в'язка», в термінах яких впродовж багатьох подальших століть логіки аналізували вислови.) Під впливом доктрини стоїків, запозиченої неоплатонізмом, Л. поступово зближується з граматикою. У енциклопедії тієї епохи — «Сатириконі» Марциана Капели — як одне з семи вільних мистецтв Л. оголошується необхідним елементом гуманітарної освіти.
Логічна думка раннього європейського середньовіччя (7—11 вв.(століття)), що засвоювало наукову спадщину античного світу крізь призму християнської свідомості, в творчому відношенні значно бідніше еллінорімськой. Як самостійна наука Л. розвивається лише у країнах арабської культури, де філософія залишається відносно незалежної від релігії. У Європі ж складається в основному схоластична Л. у власному сенсі — церковно-шкільна дисципліна, що пристосувала елементи періпатетічеськой Л. до потреб обгрунтування і систематизації християнського віровчення. Лише у 12—13 вв.(століття), після того, як всі твори Арістотеля канонізуються церковною ортодоксією виникає оригінальна середньовічна («несхоластична») Л., відома під назв.(назва) logica modernorum. Контури її намічені вже «Діалектикою» Абеляра, але остаточне оформлення вона отримує до кінці 13 — середині 14 вв.(століття) у роботах Уїльяма Шервуда, Петра Іспанського, Іоана Дунса Худоби, Вальтера Бурлея (Берлі), Уїльяма Оккама, Жана Бурідана і Альберта Саксонського. У вигадуваннях цих авторів вперше просліджуються прообраз «універсуму мови» і уявлення про двояке використання мови: для вираження думці про внеязикових факти, коли терміни «уживаються», і для вираження думці про саму мову, коли терміни «згадуються» (уживаються автонімно). Учення про пропозіциональних в'язках і кванторах, символізуючих характер логічного зв'язку, служить їм природною підставою для розрізнення між «формою» і «вмістом» думок. А у зв'язку із завданням однозначного «прочитання» синтаксичної структури думки середньовічної логіки неявно використовують і поняття «Зони дії» логічних операцій . Їх вчення про «дотримання» грунтується на відмінності між матеріальною імплікацією і формальною, або тавтологічною, імплікацією: для першої можна вказати контрприклад, для другої — ні. Тому матеріальна імплікація розглядається як вираження змістовне, або фактичного, дотримання, а формальна — логічного. Середньовічних логіків відкрили багато відомих тепер законів Л. висловів, яка складала основу їх теорії дедукції і яка, як і у стоїків, вважалася загальнішою, ніж арістотелівська силлогистіка. У цей же період вперше зародилася ідея машинізації процесу логічного виводу і були зроблені перші спроби її реалізації (Р. Луллій ) .
Подальші два століття — епоха Відродження — для дедуктивної Л. були епохою кризи. Її сприймали як опору розумових звичок схоластики, як Л. «штучного мислення», що освячує схематизм висновків, в яких посилки встановлюються авторитетом віри, а не пізнання. Керуючись загальним гаслом епохи: «замість абстракцій — досвід», дедуктивною Л. стали протиставляти Л. «природного мислення», під якою зазвичай малися на увазі інтуїція і уява. Леонардо да Вінчі і Ф. Бекон переоткривают античну ідею індукції і індуктивного методу, виступаючи з різкою критикою силогізму. І лише небагато, подібно падуанцу Я. Дзабарелле (16 ст), пробують повернути в методологію наукової думки традиційну логічну дедукцію, заздалегідь звільнивши її від схоластичної філософської інтерпретації.
Книги Дзабарелли зробили помітний вплив на положення Л. у 17 ст Вже в Т. Гоббса і П. Гассенді дедуктивна Л. повністю звільняється від зв'язку з теологією і періпатетічеськой філософією. Декілька раніше засновник точного природознавства Р. Галілей відновлює права абстракції . Він обгрунтовує потребу в абстракціях, які б «заповнювали» дані дослідних спостережень, і вказує на необхідність введення цих абстракцій в систему дедукції як гіпотез, або постулатів, або аксіом, з подальшим порівнянням результатів дедукції з результатами спостережень. Критицизм відносно схоластики і одночасна реабілітація дедукції, правда, при деякому зниженні інтересу до формальної сторони доказів, характерні для картезіанської, тобто Р. , що спирається на методологічні ідеї, Декарта, логіки, що систематично викладеної у вигадуванні А. Арно і П. Николя «Логіка, або Мистецтво мислити» (1662), увійшла до історії під назвою логіки Пір-рояля. У цій книзі Л. представлена як робочий інструмент всіх ін. наук і практики, оскільки вона змушує до строгих формулювань думки.
Картезіанська ідея mathesis universalis стала такою, що веде в Л. середини 17 — початку 18 вв.(століття) Особливе місце в її розвитку належить Р. Ст Лейбніцу . Услід за Р. Декартом, Т. Гоббсом і логіками Пір-рояля Лейбніц вважав за можливе створити «загальну символіку», своєрідну штучну мову, яка була б вільна від многозначностей, властивих природним розмовним мовам, розумівся без словника і був би здатний точно і однозначно виражати думки. Така мова могла б грати роль допоміжної міжнародної мови, а також служити знаряддям відкриття нових істин з відомих. Аналізуючи категорії Арістотеля, Лейбніц прийшов до ідеї виділення простих вихідних понять і думок, які могли б скласти «алфавіт людських думок»; ці первинні невизначувані поняття, скомбіновані по певних правилах, повинні давати всі останні точно визначні поняття. Лейбніц вважав, що одночасно з таким аналізом понять можна створити універсальний алгоритм, який дозволить провести доказ всіх відомих істин і скласти тим самим «доказову енциклопедію».
З метою реалізації цього задуму Лейбніц дав декілька варіантів арифметизації логіки. У одному з них кожному вихідному поняттю зіставляється просте число, кожному складеному — твір простих чисел, зіставлених вихідним поняттям, створюючим дане складене (ця чудова по своїй простоті ідея зіграла згодом виключно важливу роль в математиці і логіці завдяки роботам Р. Кантора і К. Геделя ) .
До Лейбніца ж сходять багато методологічно важливих фрагментів сучасної Л. Так, велике значення він надавав проблемі тотожність . Приймаючи схоластичний принцип індівідуациі (принцип «внутрішньої відмінності»), покладений їм в основу монадологиі, Лейбніц відмовився від онтологизациі тотожності, визначаючи тотожність через зберігаючу істинність взаїмозаменімость в контексті і намічавши тим самим дорогу до побудови теорій тотожності, заснованих на абстракції ототожнення.
Хоча Лейбніц безпосередньо не займався індуктивною Л., відповідна проблематика сповна їм враховувалася. Зокрема, вона знайшла віддзеркалення в тому, що проводився ним розрізненні «істин розуму» і «істин факту»; для перевірки істин розуму, по Лейбніцу, досить законів арістотелівської Л.; для перевірки істин факту, тобто емпіричних істин, потрібний ще (сформульований Лейбніцом) достатньої підстави принцип . У зв'язку з цим Лейбніц розглядав поставлену Галілеєм проблему підтвердження загальних думок про дійсність емпіричними фактами, з'явившись тим самим одним з творців теорії т.з. гипотетіко-дедуктівного методу.
Вихідним пунктом індуктивної Л. нового часу служили методологічні ідеї Бекона, але систематично ця логіка — Л., що досліджує «узагальнювальні виводи» як висновки, засновані на встановленні причинного зв'язку (див. Причинність ) між явищами, — була розроблена Дж. С. Міллем (1843), який спирався, у свою чергу, на ідеї Дж. Гершеля . Розвинена Міллем теорія індуктивних висновків стала предметом розробки і критики як в Л. 19 ст, так і в Л. 20 ст (зокрема, в роботах російських логіків М. І. Карінського і Л. Б. Рутковського і статистика А. А. Чупрова). При цьому вона була поставлена в зв'язок з проблематикою теорії вірогідності, з одного боку, і алгебра логіки — з іншою (починаючи вже з робіт В. С. Джевонса ) . Індуктивна Л. 19 ст, центральним питанням якої було питання про способи обгрунтування емпіричних висновків про закономірні (регулярних) зв'язки явищ, в 20 ст, з одного боку, трансформувалася в імовірнісну логіку, а з іншої — вийшла за межі Л. у власному сенсі, придбавши в істотно збагаченому вигляді нове життя в сучасній математичній статистиці і теорії планерування експерименту.
Індуктивна Л. не була, проте, головною лінією розвитку логічної думки. Цією лінією став розвиток строго дедуктивною — математичною — логіки, витоки якої були поміщені вже у вигадуваннях Лейбніца. Хоча велика частина логічної спадщини останнього залишалася неопублікованою до початку 20 ст, прижиттєве поширення його ідей надав помітний вплив на розвиток алгебрологичеських методів в Л., в процесі якого вже в 19 ст в працях О. де Моргана, Дж. Буля, німецького математика Е. Шредера, П. С. Порецкого і ін. шляхом застосування математичного (в основному алгебри) методу до Л. була побудована розвинена логічна теорія характеру алгебри, на основі якої надалі сформувалася сучасна алгебра Л.
Центральною фігурою цього «алгебро-логічного» етапу в історії Л. був Буль. Він розробив свою алгебру Л. (термін «алгебра логіки» був введений після Буля Ч. Пірсом ) як звичайну для того часу алгебру, а не як дедуктивну систему в пізнішому сенсі. Не дивно, що Буль прагнув зберегти в своїй алгебрі Л. всі арифметичні операції, у тому числі віднімання і ділення, які виявилося важко тлумачити логічно. Алгебра логіки Буля (що інтерпретувалася перш за все як логіка класів, тобто об'ємів понять) була значно спрощена і вдосконалена Джевонсом, що відмовився в Л. від операцій віднімання і ділення. В Джевонса ми вже зустрічаємо ту систему алгебри, яка згодом отримала назву «Булевої алгебри» (в самого Буля, що використав в своїй алгебрі операцію, відповідну логічному союзу, що виключає, «або», тобто строгу диз'юнкцію, а не поширену в сучасній Л. «звичайну», слабку, диз'юнкцію, «булевої алгебри» безпосередньо не було). Строгі методи вирішення логічних рівнянь були запропоновані Шредером (1877) і Порецким (1884). Багатотомні «Лекції з алгебри логіки» (1890—1905) Шредера (разом з роботами Порецкого аж до 1907) з'явилися вищою точкою розвитку алгебри Л. 19 ст
Історія алгебри Л. почалася із спроб перенести в Л. всі операції і закони арифметики, але поступово логіки починали сумніватися не лише в правомірності, але і в доцільності такого перенесення. Вони виробили специфічні саме для Л. операції і закони. Поряд з алгеброю в Л. відвіку застосовувалися геометричні (точніше, графічні) методи. Прийомами представлення модусів силлогизмов за допомогою геометричних фігур володіли античні коментатори Арістотеля. Використання з цією метою кругів, зазвичай приписуване Л. Ейлерові, було відоме ще і. До. Штурму (1661) і Лейбніцу, що володів і відмінними від ейлерових методами. Способи геометричної інтерпретації пропозицій Л. були в І. Р. Ламберта і Б. Больцано . Але особливого розквіту ці методи досягли в працях Дж. Венна, що розробив графічний апарат діаграм (див. Логічні діаграми . ) , фактично повністю еквівалентний Л. класів і не лише ілюстративний, але і евристичний характер, що носить вже.
До кінця 19 ст в дедуктивній Л. стався глибокий переворот, пов'язаний з роботами Дж. Пеано, Пірсу і Г. Фреге, які здолали вузькість чисто підходу алгебри колишніх авторів, усвідомили значення математичної Л. для математиків і почали застосовувати її до питань підстав арифметики і теорії безлічі. Досягнення цього періоду, особливо пов'язані з аксіоматичною побудовою Л., у найбільш чіткій формі можна прослідити в дослідженнях Фреге. Починаючи зі своєї роботи «Числення понять» (1879), він розвинув абсолютно строга аксіоматична побудова числення висловів і предикатів. Його формалізована Л. містила всі основні елементи сучасних логічних числень: пропозіциональниє змінні (змінні для висловів), наочні змінні, квантори (для яких він ввів спеціальні символи) і предикати ; він підкреслював відмінність між логічними законами і правилами логічного виводу, між змінною і константою, розрізняв (не вводячи, правда, особливих термінів) мову і метамову (див. Метатеорія, Метамова ) . Його дослідження (так само як аналогічні роботи Пірсу) в області логічної структури природної мови і семантики логічних числень поклали початок проблемам логічної семантики . Великою заслугою Фреге з'явилася розробка системи формалізованої арифметики, заснованої на розвиненій їм логіці предикатів . Ці роботи Фреге і труднощі, що виявилися у зв'язку з ними, послужили вихідним пунктом розвитку сучасної теорії математичного докази .
Фреге вживав оригінальну символіку, яка, на відміну від зазвичай вживаною одновимірною, була двовимірною (вона не щепилася). Сучасна система позначень в Л. сходить до символіки, запропонованою Дж. Пеано. З деякими змінами вона була сприйнята Б. Расселом, що створив спільно з А. Н. Уайтхедом тритомна праця «Принципи математики» — праця, що систематизувала і розвинула далі дедуктивно-аксіоматичну побудову Л. в цілях логічного обгрунтування математичного аналізу (див. Логіцизм ) .
З цього вигадування і що почали з'являтися з 1904 робіт Д. Гильберта по математичній Л. природно датувати початок сучасного етапу логічних досліджень.
М. М. Новоселів, 3. А. Кузічева, Би. Ст Відлюдків.
Предмет і метод сучасної логіки. Сучасна Л. розвинулася в точну науку, що застосовує математичні методи. Вона стала, по словах Порецкого математичною логікою — Л. по предмету, математикою по методу. У цій якості Л. стала придатною для правильної постановки і вирішення логічних проблем математики, особливо проблем, пов'язаних з довідністю і недоказовністю тих або інших положень математичних теорій. Точна постановка таких проблем вимагає раніше всього уточнення поняття доказу. Всякий математичний доказ полягає в послідовному вживанні тих або інших логічних засобів до вихідним положенням. Але логічні засоби не є чимось абсолютним, раз назавжди встановленого. Вони вироблялися в процесі багатовікової людської практики; «... практична діяльність людини мільярди разів повинна була приводити свідомість людини до повторення різних логічних фігур, щоб ці фігури могли набути значення аксіом» (Ленін Ст І., Полн. собр. соч.(вигадування), 5 видавництво, т. 29, с. 172). Людська практика є, проте, на кожному історичному етапі обмеженою, а об'єм її весь час зростає. Логічні засоби, що задовільно відображали практику людського мислення на даному етапі або в даної області, можуть виявитися непідходящими на наступному етапі або в іншій області. Тоді залежно від зміни вмісту даного предмету змінюється і спосіб його розгляду — змінюються логічні засоби. Це особливо відноситься до математики з її багатократними, що далеко йдуть абстракціями. Тут абсолютно безглуздо говорити про логічні засоби як про щось дане в своїй сукупності, як про щось абсолютне. Зате має сенс розгляд логічних засобів, вживаних в тій або іншій конкретній обстановці, що зустрічається в математиці. Їх встановлення для якої-небудь даної математичної теорії і складає шукане уточнення поняття доказу стосовно цієї теорії. Важливість цього уточнення для розвитку математики виявилася в особливості у зв'язку з проблемами її підстав. Розробляючи безлічі теорію, дослідники зіткнулися з рядом своєрідних важких проблем. Історично першою з них з'явилася проблема про потужність континууму, висунута Кантором (1883), до якої до 1939 не було знайдено підходів (див. Континууму проблема ) . Інші проблеми, настільки ж що наполегливо не піддавалися рішенню, зустрілися В т. н. дескриптивній теорії безлічі, що успішно розробляється радянськими математиками. Поступово ставало усе більш ясно, що трудність цих проблем має логічну природу, що ця трудність обумовлена неповною виявленностью вживаних логічних засобів і що єдиним дорогою до її подолання є уточнення цих засобів. З'ясувалося, т. о., що дозвіл цих завдань вимагає залучення нової математичної науки — математичної логіки. Надії, що покладалися на математичну Л. у зв'язку з цими проблемами, виправдалися. Особливо це стосується проблеми континууму, яка може вважатися повністю вирішеною завдяки роботам К. Геделя (1939) і П. Коена (1963). Перший з них довів сумісність узагальненої континууму-гіпотези Кантора з аксіомами теорії безлічі в припущенні несуперечності останніх. Другою при тому ж припущенні довів незалежність континууму-гіпотези від аксіом теорії безлічі, тобто її недоказовність. Аналогічні результати були отримані П. С. Новіковим (1951) відносно ряду проблем дескриптивної теорії безлічі. Уточнення поняття доказу в математичній теорії шляхом встановлення логічних засобів, що допускаються, є істотним етапом її розвитку. Теорії, прошедшие цей етап, називаються дедуктивними теоріями. Лише для них допускають точне формулювання що цікавлять математиків проблеми довідності і несуперечності.
Для вирішення цих проблем в сучасній Л. застосовується метод формалізації доказів — один з основних її методів. Суть його полягає в наступному.
Формулювання теорем і аксіом теорії, що розвивається, повністю записуються у вигляді формул, для чого уживається особлива символіка, що користується, поряд із звичайними математичними знаками, знаками для логічних в'язок, вживаних в математиці: «... і...» «... або...», «якщо..., то...», «невірно, що...», «при всякому...», «існує... такий, що...». Всім логічним засобам, за допомогою яких теореми виводяться з аксіом, ставляться у відповідність правила виведення нових формул з вже виведених. Ці правила формальні, тобто такі, що для перевірки правильності їх вживань немає потреби вникати в сенс формул, до яких вони застосовуються, і формули, що отримується в результаті; треба лише переконатися, що ці формули побудовані з таких-то знаків, так-то розташованих. Доведення теореми відображується у виведенні формули, що виражає її. Вивід же цей розглядається як ряд формул, в кінці якого коштує формула, що підлягає виводу. У виводі всяка формула або виражає аксіому, або виходить з однієї або декількох попередніх формул по одному з правил виводу. Формула вважається такою, що виводиться, якщо може бути побудований її вивід.
Якщо зіставлення правил виводу вживаним логічним засобам було вироблено належним чином, то дістають можливість судити про довідність теорем в даній теорії по виводимості формул, що виражають їх. З'ясування виводимості або невиводимості тієї або іншої формули є завдання, що не вимагає залучення абстракцій, що далеко йдуть, і вирішувати цю задачу часто буває можливо порівняно елементарними методами.
Ідея методу формалізації доказів належить Д. Гильберту. Проведення цієї ідеї стало, проте, можливим завдяки передуючій розробці математичної Л. (див. розділ Історія логіки).
Вживання ідеї формалізації доказів буває зазвичай пов'язано з виділенням логічній частині даної дедуктивної теорії. Ета логічна частина, що оформляється, як і вся теорія, у вигляді деякого числення, тобто системи формалізованих аксіом і формальних правил виводу, може тоді розглядатися як самостійне ціле.
Простими з логічних числень є числення висловів: класичне і інтуїционістськоє. У них уживаються наступні знаки: 1) т.з. логічні змінні — букви А, В, З..., довільні «вислови», що означають (сенс цього терміну пояснюється нижче); 2) знаки логічних в'язок &,, É, ù, що означають відповідно «... і...» «... або...», «якщо..., то...», «невірно, що...»; 3) дужки, що виявляють будову формул. Формулами в цих численнях вважаються логічні змінні і всякі вирази, що отримуються з них шляхом повторного вживання наступних операцій: 1) приєднання до раніше побудованого вираження знаку ù зліва, 2) написання двох раніше побудованих виразів поруч один за одним з включенням одного із знаків &, або É між ними і з висновком всього в дужки. Наприклад наступні вирази є формулами:
