Континууму проблема, завдання, що полягає в тому, щоб довести або спростувати засобами безлічі теорії наступне твердження, зване континуумом-гіпотезою (До.-г.): потужність континууму є перша потужність, що перевершує потужність безлічі всіх натуральних чисел. Узагальнена континуум-гіпотеза (О. до.-г.) свідчить, що для будь-якої безлічі Р перша потужність, що перевершує потужність цієї безлічі, є потужність безлічі всіх підмножин безлічі Р.
До.-г. була висловлена Р. Кантором на початку 80-х рр. 19 ст Багаточисельні спроби довести До.-г., зроблені самим Кантором і мн.(багато) видатними математиками кон. 19—нач. 20 вв.(століття), виявилися безуспішними. Ситуація, що склалася, привела ряд крупних математиків (французькі математики Р. Бер, А. Лебег, радянський математик Н. Н. Лузін і ін.) до переконання, що До. п. не може бути вирішена традиційними засобами теорії безлічі. Це переконання було вирішальним чином підтверджено точними методами математичною логіки і аксіоматичній теорії безлічі . В 1936 До. Гедель довів, що О. до.-г. спільна з однією природною системою аксіоматичної теорії безлічі і, отже, не може бути спростована традиційними засобами. Нарешті, в 1963 американський логік П. Коен, використовуючи винайдений їм т.з. метод винужденія, зумів довести, що і заперечення До.-г. спільно з цією системою, так що До.-г. неможливо довести за допомогою звичайних методів теорії безлічі. Послідовники Коена потім отримали методом винужденія багато результатів, що проливають світло на роль До.-г. і О. до.-г. і їх взаємовідношення з ін. теоретико-множинними принципами.
Отримані результати свідчать, що на сучасному етапі розвитку теорії безлічі можливі різні підходи до підстав цієї науки, істотно різним чином що відповідають на природні проблеми, такі, наприклад, як До. п., що виникають в теорії безлічі.
Літ.: Коен П. Дж., Теорія безлічі і континуум-гіпотеза, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1969; Френкель А., Бар-Хиллел І., Підстави теорії безлічі, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966.
