Безлічі теорія, вчення про загальні властивості безлічі, переважно безконечної. Поняття безлічі, або сукупності, належить до простих математичних понять; воно не визначається, але може бути пояснено за допомогою прикладів. Так, можна говорити про безліч всіх книг, складових дану бібліотеку, безлічі всіх точок даної лінії, безлічі всіх вирішень даного рівняння. Книги даної бібліотеки, точки даної лінії, рішення даного рівняння є елементами відповідної безлічі. Щоб визначити безліч, досить вказати характеристичну властивість елементів, тобто така властивість, якою володіють всі елементи цієї безлічі і лише вони. Може статися, що даною властивістю не володіє взагалі жоден предмет; тоді говорять, що цю властивість визначає порожня безліч. Те, що даний предмет х є елемент безлічі М-коду , записують так: х Î М-код (читають: х належить безлічі М-коду ).
Підмножини. Якщо кожен елемент безлічі А є в той же час елементом безлічі В , то безліч А називається підмножиною, або частиною, безліч В . Це записують так: A Í В або В Ê А . Т. о., підмножиною даної безлічі В є і само безліч В . Порожню безліч, за визначенням, вважають підмножиною всякої безлічі. Всяка непорожня підмножина А даної безлічі В , відмінне від всієї безлічі В , називають правильною частиною останнього.
Потужність безлічі. Першим питанням, що виникло в застосуванні до безконечної безлічі, було питання про можливість їх кількісного порівняння між собою. Відповідь на цей і близькі питання дала в кінці 70-х рр. 19 ст Р. Кантор, М. т., що заснував, як математичну науку. Можливість порівняльної кількісної оцінки безлічі спирається на поняття взаємно однозначної відповідності між двома безліччю. Хай кожному елементу безлічі А поставлений у відповідність через яке б то не було правила або закону деякий певний елемент безліч В ; якщо при цьому кожен елемент безлічі виявляється поставленим у відповідність одному і лише одному елементу безлічі А , то говорять, що між безліччю А і В встановлено взаємно однозначне, або одне-однозначне, відповідність [скорочено: (1—1)-соответствіє]. Очевидно, між двома кінцевою безліччю можна встановити (1—1) -соответствіє тоді і лише тоді, коли обидві безліч складаються з одного і того ж числа елементів. У узагальнення цього факту визначають кількісну еквівалентність, або равномощность, двох безконечної безлічі як можливість встановити між ними (1—1) -соответствіє.
Ще до створення М. т. Би. Больцано володів, з одного боку, сповна точно формулірованним поняттям (1—1) -соответствія, а з іншого боку, вважав безперечним існування нескінченності різних рівнів; проте він не лише не зробив (1—1) -соответствіє основою встановлення кількісної равносильності безлічі, але рішуче заперечував проти цього. Больцано зупиняло те, що безконечна безліч може знаходитися в (1—1) -соответствії зі своєю правильною частиною. Наприклад, якщо кожному натуральному числу n поставити у відповідність натуральне число 2 n , то отримаємо (1—1) -соответствіє між безліччю всіх натуральних і безліччю всіх парних чисел. Замість того щоб в застосуванні до безконечної безлічі відмовитися від аксіоми: частина менше цілого, Больцано відмовився від взаємної однозначності як критерію равномощності і, т. о., залишився поза основною лінією розвитку М. т. У кожній безконечній безлічі М-коду є (як легко доводиться) правильна частина, рівнопотужна всьому М-коду , тоді як ні в одній кінцевій безлічі такої правильної частини знайти не можна. Тому наявність правильної частини рівнопотужною цілому, можна прийняти за визначення безконечної безлічі ( Р . Дедекинд ) .
Для двох безконечної безлічі А і В можливі лише наступні три випадки: або А є правильна частина, рівнопотужна В , але в В немає правильної частини, рівнопотужною А ; або, навпаки, в У є правильна частина, рівнопотужна А , а в А немає правильної частини, рівнопотужною В ; або, нарешті, в А є правильна частина, рівнопотужна В , і в В є правильна частина, рівнопотужна А . Доводиться, що в третьому випадку безлічі А і B равномощни (теорема Кантора — Бернштейна). У першому випадку говорять, що потужність безлічі А більше потужності безлічі В , в другому — що потужність безлічі В більше потужності безлічі А . A priori можливий четвертий випадок — в А немає правильної частини, рівнопотужною В , а в В немає правильної частини, рівнопотужною А , — насправді не може здійснитися (для безконечної безлічі).
Цінність поняття потужності безлічі визначається існуванням нерівнопотужної безконечної безлічі. Наприклад, безліч всіх підмножин даної безлічі М-коду має потужність більшу, ніж безліч М-коду . Безліч, рівнопотужна безлічі всіх натуральних чисел, називається рахунковою безліччю. Потужність рахункової безлічі є найменша потужність, яку може мати безконечна безліч; всяка безконечна безліч містить рахункову правильну частину. Кантор довів, що безліч всіх раціональних і навіть всіх чисел алгебри рахунковий, тоді як безліч всіх дійсних чисел численно. Тим самим було дано новий доказ існування т.з. трансцендентних чисел, тобто дійсних чисел, що не є корінням жодного рівняння алгебри з цілими коефіцієнтами (і навіть численність безлічі таких чисел). Потужність безлічі всіх дійсних чисел називається потужністю континууму. Безлічі всіх дійсних чисел равномощни: безліч всіх підмножин рахункової безлічі, безліч всіх комплексних чисел і, отже безліч всіх точок плоскості, а також безліч всіх крапок трьох- і взагалі n -мерного простори при будь-якому n . Кантор висловив гіпотезу (т.з. континуум-гіпотезу): всяка безліч, що складається з дійсних чисел, або звичайно, або рахунковий, або рівнопотужний безлічі всіх дійсних чисел; з приводу цієї гіпотези і істотних пов'язаних з нею результатів див.(дивися) Континууму проблема .
Відображення безлічі. В М. т. аналітичне поняття функції, геометричне поняття відображення або перетворення фігури і тому подібне об'єднуються в загальне поняття відображення однієї безлічі в інше. Хай дано дві безліч Х і Y , хай кожному елементу х Î Х поставлений у відповідність деякий певний елемент в = f ( x ) безліч Y ; тоді говорять, що є відображення безлічі Х в безліч Y , або що є функція, аргумент х якою пробігає безліч X , а значення в належать безлічі Y ; при цьому для кожного даного х Î Х елемент в = f ( x ) безліч Y називається образом елементу х Î Х при даному відображенні або значенням даної функції для даного значення її аргументу х .
Приклади. 1) Хай заданий в плоскості з даною на ній прямокутною системою координат квадрат з вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) і здійснена проекція цього квадрата, наприклад на вісь абсцис; ця проекція є відображення безлічі Х всіх точок квадрата на безліч Y всіх точок його підстави; крапці з координатами ( х; в ) відповідає крапка ( х ; 0).
2) Хай Х — безліч всіх дійсних чисел; якщо для кожного дійсного числа x Î X покласти в = f ( x ) = x 3 , то тим самим буде встановлено відображення безлічі Х в себе.
3) Хай Х — безліч всіх дійсних чисел; якщо для кожного х Î Х покласти в = f ( x ) = arctg х , то цим буде встановлено відображення безлічі Х на інтервал ( — p/2, p/2).
(1—1) -соответствіє між двома безліччю Х і Y є таке відображення безлічі Х в безліч Y , при якому кожен елемент безлічі Y є образом одного і лише одного елементу безлічі X . Відображення прикладів 2) і 3) взаємно однозначні, прикладу 1) — ні.
Операції над безліччю. Сумою, або об'єднанням, два, три, взагалі довільної кінцевої або безконечної безлічі безлічі називається безліч всіх тих предметів, кожен з яких є елемент хоч би один з даних безлічі-доданків. Пересіченням два, три, взагалі будь-якої кінцевої або безконечної безлічі безлічі називається безліч всіх елементів, загальних всій даній безлічі. Пересічення навіть двох непорожньої безлічі може бути порожнім. Різницею між безліччю В і безлічі А називається безліч всіх елементів з В , що не є елементами з А : різниця між безліччю В і його частині А називається доповненням безлічі А в безлічі В .
Операції складання і пересічення безлічі задовольняють умовам сполучності і переместітельності (див. Асоціативність, Комутативність ). Операція пересічення, крім того, розподільна по відношенню до складання і віднімання. Ці дії володіють тією загальною властивістю, що якщо їх виробляти над безліччю, підмножинами, що є, одного і того ж безліч М-коду , то і результат буде підмножиною безлічі М-коду . Вказаною властивістю не володіє т.з. зовнішнє множення безлічі: зовнішнім твором безлічі Х і Y називається безліч Х ´ В всіляких пар ( х, в ), де х Î Х , в Î Y . Іншим в цьому сенсі «зовнішньою» дією є «піднесення до ступеня»: мірою Y X називається безліч всіх відображень безлічі Х в безліч Y . Можна визначити зовнішнє множення будь-якої безлічі безлічі так, що в разі збігу множників воно перейде в піднесення до ступеня. Якщо x і h потужності безлічі Х і Y , то xh і h x визначаються відповідно як потужності безлічі Х ´ Y і Y Х , що в разі кінцевої безлічі узгоджується з множенням і піднесенням до ступеня натуральних чисел. Аналогічно визначається сума потужностей як потужність суми попарно безлічі, що не перетинається, із заданими потужностями.
Впорядкована безліч. Встановити в даній безлічі Х порядок — означає встановити для деяких пар x'', х" елементів цієї безлічі якесь правило передування (дотримання), що висловлюється «елемент x'' передує елементу х", x'' < х" », або, що те ж, «елемент x'' слідує за елементом х", x'' < х" », причому передбачається виконаною умова транзитивності: якщо х < x'' і x'' < х", те х < х". Безліч, що розглядається разом з яким-небудь встановленим в нім порядком, називається «Частково впорядкованим безліччю»; інколи замість «частково впорядковану безліч» говорять «впорядкована безліч» (Н. Бурбак ). Проте частіше впорядкованим безліччю називається така частково впорядкована безліч, в якій порядок задовольняє наступним додатковим вимогам («лінійного порядку»): 1) жоден елемент не передує самому собі; 2) зі всяких двох різних елементів х, x'' один передує іншому, тобто або х < x'' , або x’ < х .
Приклади. 1) Всяка безліч, елементами якої є деяка безліч х , є «частково впорядкованою ''''по включенію''''»: х < x'' , якщо х Ì x''.
2) Будь-яка безліч функцій f , визначених на числовій прямій, частково впорядкована, якщо покласти f 1 < f 2 , тоді і лише тоді, коли для кожного дійсного числа х маємо f 1 ( x ) £ f 2 ( x ).
3) Всяка безліч дійсних чисел лінійно впорядкована: менше з двох чисел вважається передуючим більшому.
Дві впорядкована безліч називаються подібними між собою, або що мають один і той же порядковий тип, якщо між ними можна встановити (1—1) -соответствіє, що зберігає порядок. Елемент впорядкованої безлічі називається першим, якщо він передує в цій впорядкованій безлічі всім останнім елементам; аналогічно визначається і останній елемент. Приклади: у впорядкованій безлічі всіх дійсних чисел немає ні першого, ні останнього елементу; у впорядкованій безлічі всіх ненегативних чисел нуль є перший елемент, а останнього елементу немає; у впорядкованій безлічі всіх дійсних чисел x , що задовольняють нерівностям а £ х £ b , число а є перший елемент, b — останній.
Впорядкована безліч називається сповна впорядкованою, якщо воно само і всяке його правильну підмножину мають перший елемент. Порядкові типи сповна впорядкованої безлічі називаються порядковими, або ордінальнимі, числами. Якщо сповна впорядкована безліч кінцева, то його порядкове число є звичайне порядкове число елементарної арифметики. Порядкові типи безконечної сповна впорядкованої безлічі називаються трансфінітними числами .
Точкова безліч. Теорія точкової безлічі, тобто в первинному розумінні слова — теорія безлічі, елементами яких є дійсні числа (точки числової прямої), а також точки двух-, трьох- і взагалі n -мерного простори, заснована Р. Кантором, що встановив поняття граничної точки безлічі і поняття замкнутої безлічі і ін. Подальший розвиток теорії точкової безлічі привів до понять метричного простору і топологічного простору, вивченням яких займається загальна топологія . Найбільш самостійне існування веде дескриптивна теорія безлічі. Заснована французькими математиками Р. Бером і А. Лебегом у зв'язку з класифікацією розривних функцій (1905), дескриптивна М. т. почалася з вивчення і класифікації т.з. Борелевої безлічі ( B -множеств). Борелева безліч визначається як безліч, що може бути побудованою, вирушаючи від замкнутої безлічі, вживанням операцій складання і пересічення в будь-яких комбінаціях, але кожного разу до кінцевого або до рахункової безлічі безлічі. А. Лебег показав, що та ж безліч — і лише вони — можуть бути отримані як безліч крапок, в яких що входить в Бера класифікацію дійсна функція f ( x ) перетворюється на нуль або, більш у загальних рисах, задовольняє умові вигляду а < f ( x ) £ b . Подальший розвиток дескриптивною М. т. було здійснено переважно російськими і польськими математиками, особливо московською школою створеною Н. Н. Лузіним (П. С. Александров, М. Я. Суслін, М. А. Лаврентьев, А. Н. Колмогоров, П. С. Новіков). Александров довів теорему (1916) про те, що всяка численна Борелева безліч має потужність континууму. Апарат цього доказу був застосований Сусліним для побудови теорії А -множеств, що охоплюють як окремий випадок Борелева (або В -) безліч (що вважалися до того єдиною безліччю, що принципово може зустрітися в аналізі). Суслін показав, що безліч, додаткова до А -множеству М-код , є само А -множеством лише у тому випадку, коли безліч М-коду — Борелеве (доповнення до Борелевої безлічі є завжди Борелева безліч). При цьому А -множества виявилися співпадаючими з безперервними образами безлічі всіх ірраціональних чисел. Теорія А -безлічі протягом декількох років залишалася в центрі дескриптивної М. т. до того, як Лузін прийшов до загального визначення проектної безлічі, яка може бути отримані, вирушаючи від безлічі всіх ірраціональних чисел за допомогою повторного вживання операції віднімання і безперервного відображення. До теорії А -множеств і проектної безлічі відносяться також роботи Новікова і ін. Дескриптивна М. т. тісно пов'язана з дослідженнями по підставах математики (з питаннями ефективної визначності математичних об'єктів і вирішуваної математичних проблем).
Значення М. т. Вплив М. т. на розвиток сучасної математики дуже великий. Перш за все, М. т. з'явилася фундаментом ряду нових математичних дисциплін (теорії функцій дійсного змінного, загальної топології, загальної алгебри, функціонального аналізу і ін.).
Поступово теоретико-множинні методи знаходять все більше вживання і в класичних частинах математики. Наприклад, в області математичного аналізу вони широко застосовуються в якісній теорії диференціальних рівнянь, варіаційному численні, теорії вірогідності і ін.
Нарешті, М. т. надала глибокий вплив на розуміння самого предмету математики або таких її великих відділів, як геометрія . Лише М. т. дозволила виразно сформулювати поняття ізоморфізму систем об'єктів, заданих разом із стосунками, що зв'язують їх, і привела до розуміння тієї обставини, що кожна математична теорія в її чистій абстрактній формі вивчає ту або іншу систему об'єктів лише «з точністю до ізоморфізму», тобто може бути без всяких змін перенесена на будь-яку систему об'єктів, ізоморфну тій, для вивчення якої теорія була спочатку створена.
Що стосується М. т. в питаннях обгрунтування математики, тобто створення строгої, логічно бездоганної побудови математичних теорій, то слід мати на увазі, що сама М. т. потребує обгрунтування вживаних в ній методів міркування. Більш того, всі логічні труднощі, пов'язані з обгрунтуванням математичного вчення про нескінченність (див. Нескінченність в математиці), при переході на точку зору загальною М. т. набувають лише великої гостроти (див. Аксіоматична теорія безлічі, Логіка, Конструктивна математика, Континуум ).
Літ.: Лузін Н. Н., Теорія функцій дійсного змінного, 2 видавництва, М., 1948; Александров П. С., Введення в загальну теорію безлічі і функцій, М. — Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теорія безлічі, пер.(переведення) з йому.(німецький), М. — Л., 1937.
