I. Визначення предмету математики, зв'язок з іншими науками і технікою.
Математика (греч. mathematike, від máthema — знання, наука), наука про кількісні стосунки і просторових формах дійсного світу.
«Чиста математика має своїм об'єктом просторові форми і кількісні стосунки дійсного світу, отже — вельми реальний матеріал. Той факт, що цей матеріал набуває надзвичайно абстрактної форми, може лише слабо затушувати його походження із зовнішнього світу. Але щоб бути в змозі досліджувати ці форми і стосунки в чистому вигляді, необхідно абсолютно відокремити їх від їх вміст, залишити це останнє осторонь як щось байдуже» (Енгельс Ф., див.(дивися) Маркс До. і Енгельс Ф., Вигадування, 2 видавництва, т. 20, с. 37). Абстрактність М., проте, не означає її відриву від матеріальної дійсності. У нерозривному зв'язку із запитами техніки і природознавства запас кількісних стосунків і просторових форм, М., що вивчаються, безперервно розширюється, так що дане вище загальне визначення М. наповнюється усе більш багатим вмістом.
Математика і інші науки. Додатки М. вельми всілякі. Принципово сфера застосування математичного методу не обмежена: всі види руху матерії можуть вивчатися математично. Проте роль і значення математичного методу в різних випадках різні. Жодна певна математична схема не вичерпує всієї конкретності дійсних явищ, тому процес пізнання конкретного протікає завжди в боротьбі двох тенденцій; з одного боку, виділення форми явищ, що вивчаються, і логічного аналізу цієї форми, з іншого боку, розтини моментів, що не укладаються у встановлені форми, і переходу до розгляду нових форм, що гнучкіших і повніше охоплюють явища. Якщо ж труднощі вивчення якого-небудь круга явищ полягають в здійсненні другої тенденції, якщо кожен новий крок дослідження пов'язаний із залученням до розгляду якісно нових сторін явищ, то математичний метод відступає на задній план; в цьому випадку діалектичний аналіз всієї конкретності явища може бути лише затемнений математичною схематизацією. Якщо, навпаки, порівняно прості і стійкі основні форми явищ, що вивчаються, охоплюють ці явища з великою точністю і повнотою, та зате вже в межах цих зафіксованих форм виникають досить важкі і складні проблеми, що вимагають спеціального математичного дослідження, зокрема створення спеціального символічного запису і спеціального алгоритму для свого вирішення, то ми потрапляємо в сферу панування математичного методу.
Типовим прикладом повного панування математичного методу є небесна механіка, зокрема вчення про рух планет. Що має дуже просте математичне вираження закон усесвітнього тяжіння майже повністю визначає круг явищ, що вивчається тут. За винятком теорії руху Луни, законно, в межах доступній нам точності спостережень, зневага формою і розмірами небесних тіл — заміна їх «матеріальними крапками». Але рішення задачі руху n матеріальних крапок, що виникає тут, під дією сил тяжіння вже в разі n = 3 представляє колосальні труднощі. Зате кожен результат, отриманий за допомогою математичного аналізу прийнятої схеми явища, з величезною точністю здійснюється насправді: логічно дуже проста схема добре відображає вибраний круг явищ, і всі труднощі полягають у витяганні математичних следствій з прийнятої схеми.
З переходом від механіки до фізики ще не відбувається помітного зменшення ролі математичного методу, проте значно зростають труднощі його вживання. Майже не існує галузі фізики, що не вимагає вживання вельми розвиненого математичного апарату, але часто основна трудність дослідження полягає не в розвитку математичній теорії, а у виборі передумов для математичної обробки і в тлумаченні результатів, отриманих математичним дорогою.
На прикладі ряду фізичних теорій можна спостерігати здатність математичного методу охоплювати і самий процес переходу пізнання дійсності з одного рівня на наступну, вищу і якісно новішу. Класичним зразком може служити співвідношення між макроскопічною теорією дифузії що передбачає дифундуючу речовину розподіленим безперервно, і статистичною теорією дифузії, витікаючої з розгляду руху окремих часток дифундуючої речовини. У першій теорії щільність дифундуючої речовини задовольняє певному рівнянню з приватними похідними. До знаходження вирішень цього диференціального рівняння за належних краєвих і початкових умов і зводиться вивчення різних проблем, що відносяться до дифузії. Безперервна теорія дифузії з дуже великою точністю передає дійсний хід явищ, оскільки справа йде про звичайних для нас (макроскопічних) просторових і тимчасових масштабах. Проте для малих частин простору (що вміщають лише невелике число часток дифундуючої речовини) само поняття щільності втрачає певний сенс. Статистична теорія дифузії виходить з розгляду мікроскопічних випадкових переміщень дифундуючих часток під дією молекул розчинювального речовини. Точні кількісні закономірності цих мікроскопічних переміщень нам невідомі. Проте математична теорія вірогідності дозволяє (із загальних передумов про крихту переміщень за малі проміжки часу і незалежності переміщень частки за два послідовні проміжки часу) отримати певні кількісні следствія: визначити (приблизно) закони розподілу вірогідності для переміщень часток за великі (макроскопічні) проміжки часу. Оскільки число окремих часток дифундуючої речовини дуже велике, то закони розподілу вірогідності для переміщень окремих часток приводять, в припущенні незалежності переміщень кожної частки від інших, до сповна певних, вже не випадкових закономірностей для переміщення дифундуючої речовини в цілому: до тих самих диференціальних рівнянь, на яких побудована безперервна теорія. Наведений приклад досить типовий в тому сенсі, що дуже часто на грунті одного круга закономірностей (у прикладі — законів руху окремих часток дифундуючої речовини) відбувається освіта іншого, якісно нового роду закономірностей (у прикладі — диференціальних рівнянь безперервної теорії дифузії) через посредство статистики випадкових явищ.
В біологічних науках математичний метод грає більш підлеглу роль. У ще більшій мірі, чим в біології, математичний метод поступається своє місце безпосередньому аналізу явищ у всій їх конкретній складності в соціальних і гуманітарних науках. Вживання математичного методу в біологічних, соціальних і гуманітарних науках здійснюється головним чином через кібернетику (див. Кібернетика біологічна, Кібернетика медична, Кібернетика економічна ). Істотним залишається значення М. для соціальних дисциплін (як і для біологічних наук) у формі підсобної науки — математичної статистики. У остаточному ж аналізі соціальних явищ моменти якісної своєрідності кожного історичного етапу набувають настільки домінуючого положення, що математичний метод часто відступає на задній план.
Математика і техніка. Початку арифметики і елементарної геометрії, як буде видно з історичного нарису, виникли з безпосередніх запитів практики; подальше формування нових математичних методів і ідей відбувається під впливом що спирається в своєму розвитку на запити практики математичного природознавства (астрономії, механіки, фізики і т. д.). Прямі ж зв'язки М. з технікою частіше мають характер вживання вже створених математичних теорій до технічних проблем. Вкажемо, проте, приклади виникнення нових загальних математичних теорій на основі безпосередніх запитів техніки. Створення методу найменших квадратів пов'язане з геодезичними роботами; вивчення багатьох нових типів диференціальних рівнянь з приватними похідними вперше було почате з вирішення технічних проблем; операторні методи вирішення диференціальних рівнянь були розвинені у зв'язку з електротехнікою і так далі Із запитів зв'язку виник новий розділ теорії вірогідності — теорія інформації. Завдання синтезу систем, що управляють, привели до розвитку нових розділів математичної логіки. Поряд з потребами астрономії вирішальну роль в розвитку методів наближеного вирішення диференціальних рівнянь грали технічні завдання. Цілком на технічному грунті було створено багато методів наближеного вирішення диференціальних рівнянь з приватними похідними і інтегральних рівнянь. Завдання швидкого фактичного здобуття чисельних рішень набуває великої гостроти з ускладненням технічних проблем. У зв'язку з можливостями, які відкрили обчислювальні машини для вирішення практичних завдань, всього більшого значення набувають чисельні методи. Високий рівень теоретичною М. дав можливість швидко розвинути методи обчислювальної математики . Обчислювальна М. зіграла велику роль у вирішенні ряду найбільших практичних проблем, включаючи проблему використання атомної енергії і космічні дослідження.
II. Історія математики до 19 століття.
Ясне розуміння самостійного положення М. як особливої науки, що має власний предмет і метод, стало можливим лише після накопичення досить великого фактичного матеріалу і виникло вперше в Древній Греції в 6—5 століттях до н.е.(наша ера) Розвиток М. донині природно віднести до періоду зародження математики, а до 6—5 століття до н.е.(наша ера) приурочити початок періоду елементарної математики. Протягом цих двох перших періодів математичні дослідження мають справу майже виключно з вельми обмеженим запасом основних понять, що виникли ще на дуже ранніх рівнях історичного розвитку у зв'язку з найпростішими запитами господарського життя, що зводилися до рахунку предметів, виміру кількості продуктів, площ земельних ділянок, визначенню розмірів окремих частин архітектурних споруд, виміру часу, комерційним розрахункам, навігація і тому подібне Перші завдання механіки і фізики [за винятком окремих досліджень грецького вченого Архімеда (3 вік до н.е.(наша ера)), начатків числення, що вимагали вже, нескінченно малих] могли ще задовольнятися цим же запасом основних математичних понять. Єдиною наукою, яка задовго до широкого розвитку математичного вивчення явищ природи в 17—18 століттях систематично пред'являла М. свої особливі і дуже великі вимоги, була астрономія, що цілком зумовила, наприклад, ранній розвиток тригонометрії.
В 17 столітті нові запити природознавства і техніки заставляють математиків зосередити свою увагу на створенні методів, що дозволяють математично вивчати рух, процеси зміни величин, перетворення геометричних фігур (при проектуванні і т. п.). З вживання змінних величин в аналітичній геометрії французького ученого Р. Декарта і створення диференціального і інтегрального числення починається період математики змінних величин.
Подальше розширення круга кількісних стосунків і просторових форм, М., що вивчаються, привело на початку 19 століття до необхідності віднестися до процесу розширення предмету математичних досліджень свідомо, поставивши перед собою завдання систематичного вивчення з досить загальної точки зору можливих типів кількісних стосунків і просторових форм. Створення російським математиком Н. І. Лобачевським його «уявній геометрії», що отримала згодом сповна реальні вживання, було першим значним кроком в цьому напрямі. Розвиток подібного роду досліджень вніс до будови М. настільки важливі нові межі, що М. в 19 і 20 століттях природно віднести до особливого періоду сучасної математики.
1. Зародження математики. Рахунок предметів на найраніших рівнях розвитку культури привів до створення простих понять арифметики натуральних чисел. Лише на основі розробленої системи усного числення виникають письмові системи числення і поступово виробляються прийоми виконання над натуральними числами чотирьох арифметичних дій (з яких лише ділення ще довго представляло великі труднощі). Потреби виміру (кількості зерна, довжини дороги і т. п.) приводять до появи назв і позначень простих дробових чисел і до розробки прийомів виконання арифметичних дій над дробами. Таким чином накопичується матеріал, що складається поступово в прадавню математичну науку, — арифметику . Вимір площ і об'ємів, потреби будівельної техніки, а декілька пізніше — астрономії, викликають розвиток начатків геометрія . Ці процеси йшли у багатьох народів значною мірою незалежно і паралельно. Особливе значення для подальшого розвитку науки мало накопичення арифметичних і геометричних знань в Єгипті і Вавілонії. У Вавілонії на основі розвиненої техніки арифметичних обчислень з'явилися також начатки алгебра, а у зв'язку із запитами астрономії — начатки тригонометрії .
математичні тексти Давнього Єгипту (1-я половина 2-го тисячоліття до н.е.(наша ера)), що Збереглися, полягають по перевазі з прикладів на вирішення окремих завдань і, в кращому випадку, рецептів для їх вирішення, які інколи удається зрозуміти, лише аналізуючи числові приклади, дані в текстах. Слід говорити саме про рецепти для вирішення окремих типів завдань, оскільки математичної теорії в сенсі доказів загальних теорем, мабуть, зовсім не існувало. Про це свідчить, наприклад, те, що точні рішення уживалися без жодної відмінності від наближених. Проте, самий запас встановлених математичних фактів був, відповідно до високою будівельною технікою, складністю земельних стосунків, потребою в точному календарі і т. п., досить великий (див. Папіруси математичні ).
Математичних текстів, що дозволяють судити о М. у Вавілонії, незрівнянно більше, ніж єгипетських. Вавілонські клинописні математичні тексти охоплюють період від 2-го тисячоліття до н.е.(наша ера) до виникнення і розвитку грецької М. Вавілонія цього часу отримала від ранішого шумерського періоду розвинену змішану десятічно-шестідесятірічную систему числення, що містила в собі вже позиційний принцип (одні і ті ж знаки позначають одне і те ж число одиниць різних шестідесятірічних розрядів). Ділення за допомогою таблиць зворотних чисел зводилося до множення. Окрім таблиць зворотних чисел, були таблиці творів, квадратів, квадратного і кубічного коріння. З досягнень вавілонською М. в області геометрії, єгиптян, що виходять за межі пізнань, слід зазначити розроблений вимір кутів і деякі начатки тригонометрії, зв'язані, очевидно, з розвитком астрономії. Вавілонянам була вже відома теорема Піфагора.
2. Період елементарної математики. Лише після накопичення великого конкретного матеріалу у вигляді розрізнених прийомів арифметичних обчислень, способів визначення площ і об'ємів і тому подібного виникає М. як самостійна наука з ясним розумінням своєрідності її методу і необхідності систематичного розвитку її основних понять і пропозицій в досить загальній формі. У застосуванні до арифметики і алгебри можливо, що вказаний процес почався вже у Вавілонії. Проте сповна визначилася ця нова течія, що полягала в систематичному і логічно послідовній побудові основ математичної науки, в Древній Греції. Створена древніми греками система викладу елементарній геометрії на два тисячоліття вперед зробилася зразком дедуктивної побудови математичної теорії. З арифметики поступово зростає чисел теорія . Створюється систематичне учення про величинах і вимірі . Процес формування (у зв'язку із завданням виміру величин) поняття дійсного числа (див. Число ) виявляється вельми тривалим. Річ у тому, що поняття ірраціонального і негативного числа відносяться до тих складніших математичних абстракцій, які, на відміну від понять натурального числа, дробу або геометричної фігури, не мають досить міцної опори в донаучном загальнолюдському досвіді.
Створення алгебри як буквеного числення завершується лише в кінці даного періоду двотисячоліття. Спеціальні позначення для невідомих з'являються в грецького математика Діофанту (ймовірно, 3 вік) і більш систематично — в Індії в 7 столітті, але позначення буквами коефіцієнтів рівняння введене лише в 16 столітті французьким математиком Ф. Вієтом.
Розвиток геодезії і астрономії рано приводить до детальної розробки тригонометрії, як плоскої, так і сферичної.
Період елементарною М. закінчується (у Західній Європі на початку 17 століття), коли центр тяжіння математичних інтересів переноситься в область М. змінних величин.
Древня Греція. Розвиток М. в Древній Греції прийняв істотно інший напрям, чим на Сході. Якщо відносно техніки проведення обчислень, мистецтва вирішення завдань характеру алгебри і розробки математичних засобів астрономії лише в епоху еллінізму був досягнутий і перевершений рівень вавілонської М., то вже набагато раніше за М. в Древній Греції вступила в абсолютно новий етап логічного розвитку. З'явилася потреба у виразних математичних доказах, були зроблені перші спроби систематичної побудови математичної теорії. М., як і все наукова і художня творчість, перестала бути безособовою, якою вона була в країнах Древнього Сходу; вона створюється тепер відомими по іменах математиками, що залишили після себе математичні вигадування (що дійшли до нас лише в уривках, збережених пізнішими коментаторами).
Греки рахували себе в області арифметики учнями фіникіян, пояснюючи високий розвиток арифметики у них потребами їх обширної торгівлі; почало ж грецькою геометрію традиція пов'язує з подорожами до Єгипту (7—6 вік до н.е.(наша ера)) перших грецьких геометрів і філософів Фалеса Мілетського і Піфагора Самосського. У школі Піфагора арифметика з простого мистецтва числення переростає в теорію чисел. Підсумовуються прості арифметичні прогресії [зокрема, 1 + 3 + 5+ ... + (2 n — 1) = n 2 ], вивчаються подільність чисел, різні види середніх (арифметичне, геометричне і гармонійне), питання теорії чисел (наприклад, розшук так званих досконалих чисел) зв'язуються в школі Піфагора з містичним, магічним значенням, приписуваним числовим співвідношенням. У зв'язку з геометричною теоремою Піфагора був знайдений метод здобуття необмеженого ряду трійок «піфагорових чисел», тобто трійок цілих чисел, що задовольняють співвідношенню a 2 + b 2 = c 2 . В області геометрії завдання, якими займалися грецькі геометри 6—5 століть до н.е.(наша ера) після засвоєння єгипетського спадку, також природно виникають з простих запитів будівельного мистецтва, землемірства і навігації. Такі, наприклад, питання про співвідношення між довжинами катетів і гіпотенузи прямокутного трикутника (виразимому теоремою Піфагора), про співвідношенні між площами подібних фігур, квадратурі круга, трисекції кута і подвоєнні куба . Новим, проте, є підхід до цих завдань, що став необхідним з ускладненням предмету дослідження. Не обмежуючись наближеними, емпірично знайденими рішеннями, грецькі геометри шукають точних доказів і логічно вичерпних вирішень проблеми. Яскравим прикладом цієї нової тенденції може служити доказ несумірності діагоналі квадрата з його стороною. У 2-ій половині 5 століть до н.е.(наша ера) філософське і наукове життя Греції зосереджується в Афінах. Тут протікає основна діяльність Гиппія Елідського і Гіппократа Хиосського . Перший систематичний підручник геометрії приписують Гіппократу Хиосському. До цього часу, поза сумнівом, вже була створена розроблена система геометрії, що не нехтувала такими логічними тонкощами, як доказ випадків рівності трикутників і тому подібне. Віддзеркаленням в М. перших, хоч би і чисто умоглядних, спроб раціонального пояснення будови матерії з'явилося чи не найчудовіше досягнення геометрії 5 століть до н.е.(наша ера) — розшук всіх п'яти правильних многогранників — результат пошуків ідеальних простих тіл, що можуть служити основними каменями всесвіту. На кордоні 5 і 4 століть до н.е.(наша ера) Демокріт, виходячи з атомістичних вистав, створює спосіб визначення об'ємів, що послужив пізніше для Архімеда вихідним пунктом розробки методу нескінченно малих. У 4 столітті до н.е.(наша ера) в обстановці політичної реакції і занепаду могутності Афін настає епоха відомого підпорядкування М. обмеженням, висунутим ідеалістичною філософією. Наука про числа строго відділяється тут від «мистецтва числення», а геометрія — від «мистецтва виміру». Спираючись на існування несумірних відрізань, площ і об'ємів, Арістотель накладає загальну заборону на застосування арифметики до геометрії. У самій геометрії вводиться вимога про обмеження побудовами, здійсненними за допомогою циркуля і лінійки. Найбільш значним конкретним досягненням математиків 4 століття до н.е.(наша ера) можна рахувати пов'язані з тенденцією до логічного аналізу основ геометрії дослідження Евдокса Кнідського .
епоха Еллінізму і римської. З 3 століття до н.е.(наша ера) на протязі семи століть основним центром наукових і особливо математичних досліджень була Александрія. Тут, в обстановці об'єднання різних світових культур, великих державних і будівельних завдань і небаченого раніше по своїй широті державного заступництва науці, грецька М. досягла свого вищого розквіту. Не дивлячись на поширення грецької утвореної і наукових інтересів на всьому світі еллінізму і римського, Александрія з її «музеєм» першим науково-дослідним інститутом, що був, в сучасному сенсі слова, і бібліотеками володіла настільки великою привабливою силою, що майже всі найбільші учені стікалися сюди. З математиків, що згадуються нижче, лише Архімед залишився вірним рідним Сиракузам. Найбільшою напруженістю математичної творчості відрізняється перше століття александрійської епохи (3 вік до н.е.(наша ера)). Цьому віку належать Евклід, Архімед, Ератосфен і Аполонії Пергський .
В своїх «Початках» Евклід зібрав і піддав остаточній логічній переробці досягнення попереднього періоду в області геометрії (див. «Початки» Евкліда ). В той же час в «Початках» же Евклід вперше заклав основи систематичної теорії чисел, доводячи нескінченність ряду простих чисел і буд закінчену теорію подільності. З геометричних робіт Евкліда, що не увійшли до «Початків», і робіт Аполлонія Пергського найбільше значення для подальшого розвитку М. мало створення закінченої теорії конічних перетинів . Основною заслугою Архімеда в геометрії з'явилося визначення всіляких площ і об'ємів (у тому числі площ параболічного сегменту і поверхні кулі, об'ємів кулі, кульового сегменту, сегменту параболоїда і т. д.) і центрів тяжіння (наприклад, кульового сегменту і сегменту параболоїда); архимедова спіраль є лише одним з прикладів тих, що вивчалися в 3 столітті до н.е.(наша ера) трансцендентних кривих. Після Архімеда, хоча і продовжувалося зростання обсягу наукових знань, александрійська наука вже не досягала колишньої цілісності і глибини; зачатки аналізу нескінченно малих, таких, що містилися в евристичних прийомах Архімеда, не отримали подальшого розвитку. Слід сказати, що виниклий з прикладних потреб інтерес до наближеного виміру величин і наближених обчислень не привів математиків 3 століття до н.е.(наша ера) до відмови від математичної строгості. Всі багаточисельні наближені витягання коріння і навіть всі астрономічні обчислення вироблялися ними з точним вказівкою кордонів погрішності, за типом знаменитого архимедова визначення довжини кола у формі бездоганний доведених нерівностей
де р — довжина кола з діаметром d . Це виразне розуміння того, що наближена М. немає «нестрога» М., було пізнішим надовго забуто.
Істотним недоліком всій М. стародавнього світу була відсутність остаточно сформованого поняття ірраціонального числа. Як вже було вказано, ця обставина привела філософію 4 століття до н.е.(наша ера) до повного заперечення законності вживання арифметики до вивчення геометричних величин. Насправді, в теорії пропорцій і в вичерпання методі математикам 4 і 3 століть до н.е.(наша ера) все ж удалося непрямим чином здійснити це вживання арифметики геометрія. Найближчі століття принесли не позитивний дозвіл проблеми шляхом створення фундаментального нового поняття (ірраціонального числа), а поступове її забуття, що стало можливим з поступовою втратою уявлень про математичну строгість. На цьому етапі історії М. тимчасова відмова від математичної строгості виявилася, проте, корисним, відкривши можливість безперешкодного розвитку алгебри (допускалася в рамках строгих концепцій евклідових «Почав» лише в надзвичайно сором'язливій формі «геометричної алгебри» відрізань, площ і об'ємів). Значні успіхи в цьому напрямі можна відзначити в «Метриці» Герона . Проте самостійний і широкий розвиток справжнього числення алгебри зустрічається лише в «Арифметиці» Діофанту, присвяченою в основному рішенню рівнянь. Відносячи свої дослідження до чистої арифметики, Діофант, природно, обмежується, на відміну від практика Герона, раціональними рішеннями, унеможливлюючи тим самим геометричних або механічних додатків своєї алгебри. Тригонометрія сприймається на стародавньому світі великою мірою як частина астрономії, а не як частина М. До неї так само, як і до обчислювальної геометрії Герона, не пред'являється вимог повної строгості формулювань і доказів. Гиппарх перший склав таблиці хорд, що виконували роль наших таблиць синусів. Початки сферичної тригонометрії створюються Менелаєм і Клавдієм Птолемеєм .
В області чистої М. діяльність вчених останніх століть стародавнього світу (окрім Діофанту) усе більш зосереджується на коментуванні старих авторів. Праці учених-коментаторів цього часу [Паппа (3 вік), Прокла (5 вік) і інших], при всій їх універсальності, не могли вже в обстановці занепаду античного світу привести до об'єднання тих, що ізольовано розвивалися алгебри Діофанту, включеної в астрономію тригонометрії, і відверто нестрогій обчислювальній геометрії Герона в єдину, здібну до великого розвитку науку.
Китай. Наявність в китайських математиків високорозробленої техніки обчислень і інтересу до загальних методів алгебри виявляє вже «Арифметика в дев'яти главах», складена за ранішими джерелами в 2—1 столітті до н.е.(наша ера) Чжан Цаном і Цзін Чоу-чаном. У цьому вигадуванні описуються, зокрема, способи витягання квадратного і кубічного коріння з цілих чисел. Велике число завдань формулюється так, що їх можна зрозуміти лише як приклади, що служили для роз'яснення виразно сприйнятої схеми виключення невідомих в системах лінійних рівнянь. У зв'язку з календарними розрахунками в Китаї виник інтерес до завдань такого типа: при діленні числа на 3 залишок є 2, при діленні на 5 залишок є 3, а при діленні на 7 залишок є 2, яке це число? Сунь-цзи (між 2 і 6 століттями) і більш повно Цинь Цзю-шао (13 вік) дають викладений на прикладах опис регулярного алгоритму для вирішення таких завдань. Прикладом високого розвитку обчислювальних методів в геометрії може служити результат Цзу Чун-чжі (2-я половина 5 століть), який показав, що відношення довжини кола до діаметру лежить в межах
3,1415926 < p < 3,1415927.
Особливо чудові роботи китайців по чисельному вирішенню рівнянь. Геометричні завдання, що приводять до рівнянь третьої міри, вперше зустрічаються у астронома і математика Ван Сяо-туна (1-я половина 7 століть). Виклад методів вирішення рівнянь четвертої і вищих мір був даний в роботах математиків 13—14 століть Цинь Цзю-шао, Лі Е, Ян Хуея і Чжу Ши-цзе .
Індія. Розквіт індійською М. відноситься до 5—12 століть (найбільш відомі індійські математики Аріабхата, Брахмагупта, Бхаськара ). Індійцям належать дві основні заслуги. Першим з них є введення в широке вживання сучасної десяткової системи числення і систематичне вживання нуля для позначення відсутності одиниць даного розряду. Походження цифр, що уживалися в Індії, званих тепер «арабськими», не цілком з'ясовано. Другий, ще важливішою заслугою індійських математиків є створення алгебри, що вільно оперує не лише з дробами, але і з ірраціональними і негативними числами. Проте зазвичай при тлумаченні вирішень завдань негативні рішення вважаються неможливими. Взагалі слід зазначити, що тоді як дробові і ірраціональні числа з самого моменту свого виникнення пов'язані з виміром безперервних величин, негативні числа виникають в основному з внутрішніх потреб алгебри і лише пізніше (повною мірою в 17 столітті) набувають самостійного значення. У тригонометрії заслугою індійських математиків з'явилося введення ліній синуса, косинуса, синус-верзуса.
Середня Азія і Близький Схід. Арабські завоювання і короткочасне об'єднання величезних територій під владою арабських халіфів привели до того, що протягом 9—15 століть учені Середньої Азії, Близького Сходу і Піренейського півострова користувалися арабською мовою. Наука тут розвивається в світових торгівельних містах, в обстановці широкого міжнародного спілкування і державної підтримки великих наукових починів. Блискучим завершенням цієї епохи з'явилася в 15 столітті діяльність Улугбека, який при своєму дворі і обсерваторії в Самарканді зібрав більше ста учених і організував ті, що довго залишалися неперевершеними астрономічні спостереження, обчислення математичних таблиць і тому подібне
В західноєвропейській науці тривалий час панувала думка, що роль «арабської культури» в області М. зводиться в основному до збереження і передачі математикам Західної Європи математичних відкриттів стародавнього світу і Індії. (Так, вигадування грецьких математиків вперше сталі відомі в Західній Європі по арабських переведеннях.) У дійсності вклад математиків, що писали арабською мовою, і зокрема математиків, що належали до народів сучасної радянської Середньої Азії і Кавказу (хорезмійських, узбецьких, таджицьких, азербайджанських), в розвиток науки значно більше.
В 1-ій половині 9 століть Мухаммед бен Муса Хорезмі вперше дав виклад алгебри як самостійної науки. Термін «алгебра» виробляють від початку назви вигадування Хорезмі «Аль-джебр», по якому європейські математики раннього середньовіччя познайомилися з вирішенням квадратних рівнянь. Омар Хайям систематично вивчив рівняння третьої міри, дав їх класифікацію, з'ясував умови їх вирішуваної (у сенсі існування позитивного коріння). Хайям в своєму трактаті алгебри говорить що він багато займався пошуками точного вирішення рівнянь третьої міри. У цьому напрямі пошуки середньоазіатських математиків не увінчалися успіхом, але їм були добре відомі як геометричні (за допомогою конічних перетинів), так і наближені чисельні методи рішення. Запозичивши від індійців десяткову систему числення з вживанням нуля, математики Середньої Азії і Близького Сходу застосовували у великих наукових обчисленнях по перевазі шестідесятірічную систему (мабуть, у зв'язку з шестідесятірічним діленням кутів в астрономії).
