Многогранник в тривимірному просторі, сукупність кінцевого числа плоских багатокутників, така, що кожна сторона будь-якого з багатокутників одночасна сторона іншого (але лише одного), званого суміжним з першим (по цій стороні); від будь-якого з багатокутників, що становлять М., можна дійти до будь-якого з них, переходячи до суміжного з ним, а від цього, у свою чергу, — до суміжного з ним, і так далі Ці багатокутники називаються гранями їх сторони — ребрами, а їх вершини — вершинами М.
Приведене визначення М. отримує різний сенс залежно від того, як визначити багатокутник . Якщо під багатокутником розуміють плоскі замкнуті ламані (хоч би і самопересекающиеся), то приходять до першого визначення М. (питання, пов'язані з визначуваними таким чином М., будуть розглянуті в кінці статті). Основна частина статті побудована на основі другого визначення М., при якому його грані є багатокутниками, що розуміються як частини плоскість, обмежена ламаними. З цієї точки зору М. є поверхня, складена з багатокутних шматків. Якщо ця поверхня сама себе не пересікає, то вона є повна поверхня деякого геометричного тіла, яке також називається М.; звідси виникає третя точка зору на М. як на геометричні тіла, причому допускається також існування в цих тіл «дірок», тобто — що ці тіла не односвязани.
М. називається опуклим, якщо він весь лежить по одну сторону від плоскості будь-якої його грані; тоді грані його теж опуклі. Опуклий М. розрізає простір на дві частини — зовнішню і внутрішню. Внутрішня його частина є опукле тіло. Назад, якщо поверхня опуклого тіла багатогранна, то відповідний М. — опуклий.
Найважливіші теореми загальної теорії опуклих М. (що розглядаються як по верхності) наступні.
Теорема Ейлера (1758): число вершин мінус число ребер плюс число граней опуклого М. — ейлерова характеристика М. — рівно двом; символічно: в — р + г = 2.
Теорема Коші (1812) (у сучасній формі): якщо два опуклі М. ізометрічни один одному (тобто один М. може бути взаємне однозначно відображує на інший М. із збереженням довжин лежачих на нім ліній), то другий М. може бути отриманий з першого рухом його як жорсткого цілого (або рухом і дзеркальним віддзеркаленням). Звідси, зокрема, витікає, що якщо грані опуклого М. жорсткі, то він сам жорстокий, хоч би його грані скріпляли один з одним по ребрах шарнірно. Це передбачав вірним ще Евклід і знає всякий, що клеїв картонні моделі М., але довів Коші лише через 2000 років після Евкліда.
Теорема А. Д. Александрова (1939): якщо узяти кінцеве число плоских опуклих багатокутників (зроблених, наприклад, з паперу) і вказати, яку сторону якого з них з якою стороною якого іншого ми склеюватимемо (склеювані сторони, звичайно, мають бути однакової довжини), тобто якщо розглянути розгортку (викрійку) М., то для того, щоб таку склеєну замкнуту поверхню можна було, відповідно розпрямивши (тобто зігнувши, якщо потрібно, але не розтягуючи, не стискуючи, не розриваючи і більше не склеюючи), перетворити на поверхню опуклого М., необхідно і досить, щоб: а) задовольнялася умова Ейлера в — р + г = 2 і б) щоб сума плоских кутів, що сходяться при склеюванні в одній вершині, для будь-якої вершини була менше 360°. Ця теорема є теорема існування, тобто вона показує, з якими розгортками існують опуклі М., а теорема Коші є для неї теорема єдиності, тобто вона показує, що існує лише один опуклий М. з такою розгорткою.
Теорема (існування) Мінковського (1896): існує опуклий М. з будь-якими площами граней і будь-якими напрямами зовнішніх нормалей до них, аби сума векторів, що мають напрями нормалей і довжини, рівні площам відповідних граней, дорівнювала нулю і ці вектори не лежали б все в одній плоскості. Ці умови необхідні.
Теорема (єдиності) Мінковського (1896): опуклий М. сповна визначається площами своїх граней і напрямами зовнішніх нормалей до них; і теорема (єдиності), що заглиблює її, А. Д. Александрова: два опуклі М. з попарно паралельними гранями не дорівнюють один одному лише в тому випадку, якщо для однієї з пар паралельних граней з однаково направленими зовнішніми нормалями одна з цих граней може бути при допомозі паралельного перенесення вкладена в іншу.
Теорема Штейніца (1917): існує опуклий М. з будь-якою наперед заданою сіткою. При цьому сіткою опуклого М. називають сітку, складену його ребрами. Два М. належать до одного і тому ж типа, якщо топологічно тотожні сітки їх ребер, тобто якщо один з них відрізняється від іншого лише довжиною своїх ребер і величиною кутів між ними. Сітку ребер опуклого М. можна спроектувати на плоскість із зовнішньої крапки, вельми близької до внутрішньої крапки який-небудь його грані. Сама ця грань спроектується тоді у вигляді зовнішнього опуклого багатокутника, а всі інші — у вигляді малих опуклих багатокутників, які його заповнюють, не налягаючи один на одного, і суміжні один з одним цілими сторонами. Тип сітки ребер М. при такому проектуванні не міняється. Число m типів М. з даним числом n граней обмежене, а саме: якщо n = 4, 5, 6, 7, 8 ..., то m = 1, 2, 7, 34, 257... На мал. дани сітки всіх типів для n = 4, 5, 6.
Найбільш важливі наступні спеціальні опуклі М.
Правильні многогранники (тіла Платона) — такі опуклі М., всі грані яких суть конгруентні правильні багатокутники. Всі багатогранні кути правильного М. правильні і рівні. Як це виходить вже з підрахунку суми плоских кутів при вершині, опуклих правильних М. не більше п'яти. Вказаним нижче дорогою можна довести, що існують саме п'ять правильних М. (це довів Евклід). Вони — правильні тетраедр, куб, октаедр, додекаедр і ікосаедр .
Куб і октаедр дуальні, тобто виходять один з одного, якщо центри тяжіння граней одного прийняти за вершини іншого або назад. Аналогічно дуальні додекаедр і ікосаедр. Тетраедр дуальний сам собі. Правильний додекаедр виходить з куба побудовою «дахів» на його гранях (спосіб Евкліда), вершинами тетраедра є будь-які чотири вершини куба, попарно не суміжні по ребру. Так виходять з куба всі останні правильні М.
В приведеній нижче таблиці вказані радіус описаної сфери, радіус вписаної сфери і об'єм всіх правильних М. (а — довжина ребра М.).
Ізоедри і ізогони. Ізоедром (ізогоном) називається такий опуклий М., що група його поворотів (першого і другого, тобто з віддзеркаленнями, пологів) довкола центру тяжіння переводить будь-яку його грань (вершину) в будь-яку іншу його грань (вершину). Кожному ізоедру (ізогону) відповідає дуальний ізогон (ізоедр). Якщо М. одночасно і ізогон і ізоедр, то він правильний М. Комбінаторно різних ізоедров (ізогонов) є 13 спеціальних типів і дві безконечні серії (призми і антипризми). Виявляється, що кожен з цих ізоедров може бути реалізований так, що всі його грані суть правильні багатокутники. Отримані так М. називаються напівправильними многогранниками (тілами Архімеда).
Радіус описаної сфери
Радіус вписаної сфери
Об'єм
Тетраедр
Куб
Октаедр
Додекаедр
Ікосаедр
Параллелоедри (опуклі; знайдені русявий.(російський) ученим Е. С. Федоровим в 1881) — М., що розглядаються як тіла, паралельним перенесенням яких можна заповнити весь безконечний простір так, щоб вони не входили один в одного і не залишали порожнеч між собою, тобто утворити розбиття простору. Такі, наприклад, куб або правильна 6-вугільна призма. Топологічно різних сіток ребер параллелоедров п'ять. Число їх граней — 6, 8, 12, 12, 14. Для того, щоб М. був параллелоедром, необхідно і досить, щоб він був опуклим М. одного з п'яти вказаних топологічних типів і щоб всі грані його мали центри симетрії.
Якщо параллелоедри розбиття суміжне цілими гранями, розбиття називається нормальним. Центри параллелоедров такого розбиття утворюють грати, тобто сукупність всіх крапок з цілими координатами відносно якоїсь, взагалі кажучи, не прямокутної декартової системи координат. Безліч крапок простори, з яких кожна отстоїт від деякої даної точки Про даних грат L не далі, ніж від всякої іншої точки цих грат, називається областю Дирихле (або областю Вороного) D про L точки Про в гратах L. Область D про L є опуклим М. з центром в точці Про . Сукупність областей Дирихле всіх точок довільних грат утворює нормальне розбиття простору. Існує чудова теорема: довільне (навіть n -мерноє) нормальне розбиття на параллелоедри, в кожній з вершин якого сходиться n + 1 параллелоедр, може бути аффінним перетворенням перетворено на розбиття Дирихле для деяких грат.
Всякий рух що переводить в себе грати L і що залишає на місці її точку Про , перетворить в себе область D про L і назад. Групу всіх таких рухів називають голоедрією грат. Їх всього сім: кубічна, ромбоедрична, квадратна (або тетрагон), ортогональна (або ромбічна), моноклінна, тріклінная і гексагональна.
Кристалографічні многогранники. Кожна з семи розглянутих груп має підгрупи, всіх різних таких груп і їх підгруп 32; їх називають кристалографічними класами. Хай який-небудь кристалографічний клас є підгрупа деякої голоедрії, тоді говорять, що він належить цій голоедрії (або входить до складу її сингонії), якщо цей клас не є підгрупою жодній голоедрії, що міститься в даній. Якщо узяти плоскість, що не проходить через точку Про , і піддати її всім поворотам якого-небудь кристалографічного класу, то отримана плоскість обмежує або деякий ізоедр з центром в крапці, або безконечне опукле призматичне тіло, або багатогранний кут. Отримані тіла називаються простими формами кристалів, в першому випадку замкнутими, в другому і третьому — відкритими. Дві прості форми вважають однаковими, якщо вони мають одного і того ж комбінаторного типа, породжені одним і тим же кристалографічним класом і повороти цього класу однаковим чином пов'язані з формою. Існує 30 різних в цьому сенсі замкнутих форм і 17 відкритих, кожна з них має сповна певну назву (див. Кристали ) .
Грунтуючись на першому (вказаному на початку статті) визначенні М., можна вказати ще чотири правильні неопуклі многогранники (т.з. тіла Пуансо), вперше знайдених французьким математиком Л. Пуансо в 1809. Доказ неіснування інших неопуклих правильних М. дав французький математик О. Коши в 1811. У цих М. або грані пересікають один одного, або самі грані — самопересекающиеся багатокутники. Для вивчення питань, пов'язаних з площами поверхонь і об'ємами таких М., зручно користуватися саме першим визначенням М.
Якщо у М. можна так орієнтувати грані, щоб кожне ребро в тих двох гранях, які суміжні по цьому ребру, мало б зворотні напрями, то його називають орієнтованим, інакше — неорієнтованим. Для орієнтованого М. (навіть якщо він самопересекающийся і його грані — самопересекающиеся багатокутники) можна ввести поняття площі поверхні і величини об'єму. Площею орієнтованого М. називають просто суму площ його граней (про визначення площі самопересекающегося багатокутника див.(дивися) Багатокутник ) . Для визначення об'єму треба відмітити, що сукупність внутрішніх шматків граней М. розрізає простір на певне число зв'язних шматків, з яких один по відношенню к М. безконечний (зовнішній), а останні кінцеві (внутрішні). Якщо із зовнішньої по відношенню к М. крапки провести відрізок в яку-небудь внутрішню точку внутрішнього шматка, то суму «коефіцієнтів» тих внутрішніх шматків граней М., які пересіче цей відрізок, називають коефіцієнтом даного внутрішнього шматка М. (вона не залежить від вибору зовнішньої точки Про ); такий коефіцієнт є ціле позитивне, негативне число або нуль. Суму звичайних об'ємів всіх внутрішніх шматків М., помножених на ці їх коефіцієнти, називають об'ємом М.
Можна розглядати і n -мерниє М. Некоториє з вказаних визначень і теорем мають n -мерноє узагальнення. Зокрема, знайдені всі опуклі правильні М.; при n = 4 їх виявилося 6, а при всіх великих n всього три: узагальнення тетраедра, куба і октаедра. В той же час, наприклад, невідомі всі чотиривимірні ізоедри і ізогони.
Приклади невирішених завдань теорії многогранників.
1) Німецький математик Е. Штейніц дав приклади того, що не для всякого топологічного типа сітки ребер опуклого М. існує М., який можна описати довкола кулі; загалом вигляді завдання не вирішене.
2) Параллелоедри суть опуклі основні області груп паралельних перенесень, але і досі не визначені основні типи стереоедров, тобто опуклих основних областей довільних (федоровських) дискретних груп рухів. 3) Визначення всіх типів чотиривимірних ізоедров.
Літ.: Федоров Е. С., Початки вчення про фігури, СП(Збори постанов)Б, 1885; Александров А. Д., Опуклі многогранники, М. — Л., 1950; Вороний Р. Ф., Собр. соч.(вигадування), т. 2, До., 1952; Brückner М., Vielecke und Vielflache. Theorie und Geschichte, Lpz., 1900; Steinitz E., Vorlesungen liber die Theorie der Polyeder unter Einschiuss der Elemente der Topologie..., B., 1934; Coxeter H. S. М., Regular polytopes, 2 ed., L. — N. Y., 1963.
