Багатокутник, замкнута ламана лінія. Детальніше, М. — лінія, яка виходить, якщо узяти n будь-яких точок A 1 , A 2 ..., A n і з'єднати прямолінійним відрізком кожну з них з подальшою, а останню — з першою (див. мал. 1 , а). Точки A 1 , A 2 ..., A n називаються вершинами М. а відрізки A 1 A 2 , А 2 А 3 ..., A n-1 A n , A n A 1 — його сторонами. Далі розглядаються лише плоскі М. (тобто передбачається, що М. лежить в одній плоскості). М. може сам себе пересікати (див. мал. 1 , би), причому точки самопересеченія можуть не бути його вершинами.
Існують і інші точки зору на те, що рахувати М. Многоугольником можна називати зв'язну частину плоскості, весь кордон якої складається з кінцевого числа прямолінійних відрізань, званих сторонами багатокутника. М. в цьому сенсі може бути і багатозв'язковою частиною плоскості (див. мал. 1 , г), тобто такий М. може мати «багатокутні діри». Розглядаються також безконечні М. — частини плоскість, обмежена кінцевим числом прямолінійних відрізань і кінцевим числом напівпрямих.
Подальший виклад спирається на дане вище перше визначення М. Еслі М. не пересікає сам себе (див., наприклад, мал. 1 , а і б) , те він розділяє сукупність всіх точок плоскості, на нім не лежачих, на дві частини — кінцеву (внутрішню) і безконечну (зовнішню) в тому сенсі, що якщо дві крапки належать одній з цих частин, то їх можна з'єднати друг з другом ламаною, не що пересікає М., а якщо різним частинам, то не можна. Не дивлячись на досконалу очевидність цієї обставини, строгий його вивід з аксіом геометрії досить важкий (т.з. теорема Жордана для М.). Внутрішня по відношенню к М. частина плоскості має певну площу. Якщо М. — самопересекающийся, то він розрізає плоскість на певне число шматків, з яких один безконечний (званий зовнішнім по відношенню до М.), а останні кінцеві одинзв'язні (називаються внутрішніми), причому кордон кожного з них є деякий М., що не самонепересекающийся, сторони якого є цілі сторони або частини сторін, а вершини — вершини або точки самопересеченія даного М. Еслі кожній стороні М. приписати напрям, тобто вказати, яку з двох визначальних її вершин ми вважатимемо її початком, а яку — кінцем, і притому так, щоб початок кожної сторони був кінцем попередньою, то вийде замкнута багатокутна дорога, або орієнтований М. Площадь області, обмеженій самопересекающимся орієнтованим М., вважається позитивною, якщо контур М. обходить цю область проти годинникової стрілки, тобто внутрішність М. залишається зліва від того, що йде по цій дорозі, і негативною — в протилежному випадку. Хай М. — самопересекающийся і орієнтований; якщо з крапки, лежачої в зовнішній по відношенню до нього частині плоскості, провести прямолінійний відрізок до крапки, лежачої усередині одного з внутрішніх його шматків, і М. пересікає цей відрізок р разів зліва направо і q разів справа наліво, те число р — q (ціле позитивне, негативне або нуль) не залежить від вибору зовнішньої крапки і називається коефіцієнтом цього шматка. Сума звичайних площ цих шматків, помножених на їх коефіцієнти, вважається «площею» даної замкнутої дороги (орієнтованого М.). Така визначувана «площа замкнутої дороги» грає велику роль в теорії математичних приладів (планіметр і ін.); вона виходить там зазвичай у вигляді інтеграла (у полярних координатах r, w) або (у декартових координатах х, в ), де кінець радіус-вектора r або ординати в один раз оббігає цю дорогу.
Сума внутрішніх кутів будь-якого М., що не самонепересекающегося, з n сторонами рівна ( n — 2) 180°. М. називається опуклим (див. мал. 1 , а), якщо жодна сторона М. будучи необмежено продовженою, не розрізає М. на дві частини. Опуклий М. можна охарактеризувати також наступною властивістю: прямолінійний відрізок, що сполучає будь-які дві точки плоскості, лежачі усередині М., не пересікає М. Всякий опуклий М. — що не самонепересекающийся, але не навпаки. Наприклад, на мал. 1 , би змальований М., що не самонепересекающийся, який не є опуклим, оскільки відрізок PQ , що сполучає деякі його внутрішні крапки, пересікає М.
Найважливіші трикутники М.:, зокрема прямокутні, рівнобедрені, рівносторонні (правильні); чотирикутники, зокрема трапеції, паралелограми, ромби, прямокутники, квадрати. Опуклий М. називається правильним, якщо всі його сторони рівні і всі внутрішні кути рівні. В давнину уміли по стороні або радіусу описаного круга будувати за допомогою циркуля і лінійки правильні М. лише в тому випадку, якщо число сторін М. рівне m = 3 · 2 n , 4 · 2 n ,5 · 2 n , 3 · 5 · 2 n , де n — будь-яке позитивне число або нуль. Німецький математик К. Гаусс в 1801 показав, що можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки правильний М., коли число його сторін має вигляд: m = 2 n · p 1 · p 2 · ... · p до , де p 1 , p 2 ... p до — різні прості числа вигляду ( s — ціле позитивне число). До цих пір відомі лише п'ять таких р : 3, 5, 17, 257, 65537. З теорії Галуа (див. Галуа теорія ) виходить, що жодних інших правильних М., окрім вказаних Гаусом, побудувати за допомогою циркуля і лінійки не можна. Т. о., побудова можлива при m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16 17, 20, 24, 32, 34 ... і неможливо при m = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33 ...
В приведеній нижче таблиці вказані радіус описаного кола, радіус вписаного кола і площа правильного n -yгольника (для n = 3, 4, 5, 6, 8, 10), сторона якого рівна до .
n
Радіус описаного кола
Радіус вписаного кола
Площа
3
4
5
6
до
8
10
Починаючи з п'ятикутника існують також неопуклі (самопересекающиеся, або зірчасті) правильні М., тобто такі, в яких всі сторони рівні і кожна наступна із сторін повернена в одному і тому ж напрямі і на один і той же кут по відношенню до попередньої. Всі вершини такого М. також лежать на одному колі. Така, наприклад, п'ятикутна зірка. На мал. 2 дані всі правильні (як опуклі, так і неопуклі) М. від трикутника до семикутника.
