Галуа теорія, створена Е. Галуа теорія рівнянь алгебри вищих мір з одним невідомим, тобто рівнянь вигляду
встановлює умови сводімості вирішення таких рівнянь до вирішення ланцюга ін. рівнянь алгебри (зазвичай нижчих мір). Т. до. вирішенням двочленного рівняння x m = А є радикал , те рівняння (*) вирішується в радикалах, якщо його можна звести до ланцюга двочленних рівнянь. Всі рівняння 2-ої, 3-ої і 4-ої мір вирішуються в радикалах. Рівняння 2-ої міри x 2 + px + q = 0 було вирішено в глибокій старовині по загальновідомій формулі
рівняння 3-ої і 4-ої мір були вирішені в 16 ст Для рівняння 3-ої міри вигляду x 3 + px + q = 0 (до якого можна привести всяке рівняння 3-ої міри) рішення дається т.з. формулою Кардано:
опублікованою Дж. Кардано в 1545, хоча питання про те, чи знайдена вона ним самим або ж запозичена в ін. математиків, не можна вважати сповна вирішеним. Метод рішення в радикалах рівнянь 4-ої міри був вказаний Л. Феррарі .
Протягом трьох подальших століть математики намагалися знайти аналогічні формули для рівнянь 5-ої і вищих мір. Найнаполегливіше над цим працювали Е. Безу і Ж. Лагранж . Останній розглядав особливі лінійні комбінації коріння (т. н резольвенти Лагранжа), а також вивчав питання про те, яким рівнянням задовольняють раціональні функції від коріння рівняння (*). У 1801 До. Гаус створив повну теорію рішення в радикалах двочленного рівняння вигляду x n = 1, в якій звів вирішення такого рівняння до вирішення ланцюга двочленних же рівнянь нижчих мір і дав умови, необхідні і достатні для того, щоб рівняння x n = 1 вирішувалося в квадратних радикалах. З точки зору геометрії, останнє завдання полягало у відшуканні правильних n-косинців, яких можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки; тому рівняння x n = 1 і називається рівнянням ділення круга. Нарешті, в 1824 Н. Абель показав, що загальне рівняння 5-ої міри (і тим більше загальні рівняння вищих мір) не вирішується в радикалах. З іншого боку, Абель дав вирішення в радикалах одного загального класу рівнянь, що містить рівняння довільно високих мір, т.з. абельових рівнянь.
Т. о., коли Галуа почав свої дослідження, в теорії рівнянь алгебри було зроблено вже багато, але загальній теорії, що охоплює всі можливі рівняння вигляду (*), ще не було створено. Наприклад, залишалося: 1) встановити необхідні і достатні умови, яким повинно задовольняти рівняння (*) для того, щоб воно вирішувалося в радикалах; 2) взнати взагалі, до ланцюга яких простіших рівнянь, хоч би і не двочленних, може бути зведене вирішення заданого рівняння (*) і, зокрема, 3) з'ясувати, які необхідні і достатні умови для того, щоб рівняння (*) зводилося до ланцюга квадратних рівнянь (тобто щоб коріння рівняння можна було побудувати геометрично за допомогою циркуля і лінійки). Всі ці питання Галуа вирішив в своєму «Мемуарі про умови вирішуваної рівнянь в радикалах», знайденому в його паперах після смерті і вперше опублікованому Ж. Ліувілем в 1846. Для вирішення цих питань Галуа досліджував глибокі зв'язки між властивостями рівнянь і груп підстановок ввівши ряд фундаментальних понять теорії груп. Свою умову вирішуваної рівняння (*) в радикалах Галуа формулював в термінах теорії груп. Р. т. після Галуа розвивалася і узагальнювалася в багатьох напрямах. У сучасному розумінні Р. т. — теорія, що вивчає ті або інші математичні об'єкти на основі їх груп автоморфізму (так, наприклад, можливі Р. т. полів, Р. т. кілець, Р. т. топологічних просторів і т. п.).
Літ.: Галуа Е., Вигадування, пер.(переведення) з франц.(французький), М. — Л., 1936; Чеботарев Н. Р., Основи теорії Галуа, т. 1—2, М. — Л.,1934—37: Пісникують М. М., Теорія Галуа, М., 1963.
