Алгебра — один з великих розділів математики, що належить поряд з арифметикою і геометрією до старих гілок цієї науки. Завдання, а також методи А., що відрізняють її від інших галузей математики, створювалися поступово, починаючи із старовини. А. виникла під впливом потреб суспільної практики, в результаті пошуків загальних прийомів для вирішення однотипних арифметичних завдань. Прийоми ці полягають зазвичай в складанні і вирішенні рівнянь.
Завдання рішення і дослідження рівнянь зробили великий вплив на розвиток первинного арифметичного поняття числа . З введенням в науку негативних, ірраціональних, комплексних чисел загальне дослідження властивостей цих різних числових систем теж відійшло к А. При цьому в А. сформувалися характерні для неї буквені позначення, що дозволили записати властивості дій над числами в стислій формі, зручній для побудови числення над буквеними виразами. Буквене числення тотожних перетворень, що дало можливість перетворювати по певних правилах (що відображає властивості дій) буквений запис результату дій, складає апарат класичної А. Тем самим А. відмежувалася від арифметики: А. вивчає, користуючись буквеними позначеннями, загальні властивості числових систем і загальні методи вирішення завдань за допомогою рівнянь; арифметика займається прийомами обчислень з конкретно заданими числами, а в своїх вищих областях (див. Чисел теорія ) — тоншими індивідуальними властивостями чисел. Розвиток А., її методів і символіки зробило дуже великий вплив на розвиток новіших областей математики, підготувавши, зокрема, появу аналізу математичного . Запис простих основних понять аналізу таких, як змінна величина, функція, неможлива без буквеної символіки, а в аналізі, зокрема в диференціальному і інтегральному численнях, повністю користуються апаратом класичної А. Прімененіє апарату класичної А. можливо усюди, де доводиться мати справу з операціями, аналогічними складанню і множенню чисел. Ці операції можуть вироблятися при цьому і не над числами, а над об'єктами самої різної природи. Найбільш відомим прикладом такого розширеного вживання методів алгебри є векторна А. (див. Векторне числення ) . Вектори можна складати, умножати на числа і множити один на одного двома різними способами. Властивості цих операцій над векторами багато в чому схожі на властивості складання і множення чисел, але в деяких стосунках відмінні. Наприклад, векторний твір двох векторів А і В не комутативний, тобто вектор З = [ А , В ] може не дорівнювати вектору D = [ В, А ], навпаки, у векторному численні діє правило: [ А, В ] = — [ В, А ] .
Слідом за векторною А. виникла А. тензорів (див. Тензорне числення ), що стали одним з основних допоміжних засобів сучасної фізики. В межах самої класичної А. виникла А. матриць, а також багато інших систем алгебри.
Таким чином, А. у ширшому, сучаснішому розумінні може бути визначена як наука про системи об'єктів тієї або іншої природи, в яких встановлені операції, по своїм властивостям більш менш схожі із складанням і множенням чисел. Такі операції називаються алгеброю. А. класифікує системи із заданими на них операціями алгебри по їх властивостях і вивчає різні завдання, що природно виникають в цих системах, включаючи і завдання рішення і дослідження рівнянь, яка в нових системах об'єктів отримує новий сенс (вирішенням рівняння може бути вектор, матриця, оператор і т. д.). Цей новий погляд на А., сповна що оформився лише в 20 ст, сприяв подальшому розширенню сфери застосування методів алгебри, у тому числі і за межами математики, зокрема у фізиці. В той же час він укріпив зв'язки А. з ін. відділами математики і підсилив вплив А. на їх подальший розвиток.
Історичний нарис
Початковий розвиток. Алгебрі передувала арифметика, як збори поступові накопичених практичних правил для вирішення повсякденних життєвих завдань. Ці правила арифметики зводилися до складання, віднімання, множення і ділення чисел, спочатку лише цілих, а потім — поступово і в дуже повільному розвитку — і дробах, Характерна відмінність А. від арифметики полягає в тому, що в А. вводиться невідома величина; дії над нею, диктовані умовами завдання, приводять до рівняння, з якого вже знаходиться сама невідома. Натяк на таке трактування арифметичних завдань є вже в староєгипетському папірусі Ахмеса (1700—2000 до н.е.(наша ера)), де шукана величина називається словом «купа» і позначається відповідним знаком — ієрогліфом (див. Папіруси математичні ) . Древні єгиптяни вирішували і набагато складніші завдання (наприклад, на арифметичну і геометричну прогресії). Як формулювання завдання, так і рішення давалися в словесній формі і лише у вигляді конкретних чисельних прикладів. Та все ж за цими прикладами відчувається наявність накопичених загальних методів, якщо не формою, то по суті рівносильних вирішенню рівнянь 1-й і інколи 2-й мір. Є і перші математичні знаки (наприклад, особливий знак для дробів).
На початку 20 ст були розшифровані багаточисельні математичні тексти (клинопис) і інший з прадавніх культур — вавілонською (див. Клинописні математичні тексти ) . Це відкрило світу висоту математичної культури, що існувала вже за 4000 років до наших днів. Вавілоняни за допомогою обширних спеціальних таблиць уміли вирішувати всілякі завдання; деякі з них рівносильні вирішенню квадратних рівнянь і навіть одного вигляду рівняння 3-ої міри. Серед учених, розробляючих історію математики, виникла суперечка про те, якою мірою математику вавілонян можна рахувати А. Не можна, проте, забувати, що древня математика єдина. Розділення сталося набагато пізніше.
В Древній Греції була виразно виділена геометрія. У старогрецьких геометрів вперше свідомо поставлено дослідження, кожен крок якого виправданий логічним доказом. Потужність цього методу така велика, що і чисте арифметичні або алгебра питання перекладалися мовою геометрії: величини трактувалися як довжини, твір двох величин — як площа прямокутника і так далі І в сучасній математичній мові збереглася, наприклад, назва «квадрат» для твору величини на саме себе. Характерна для більш древніх культур єдність наукових знань і практичних застосувань була в старогрецькій математиці розірвано: геометрію вважали логічною дисципліною, необхідною школою для філософського розуму, а всякого роду числення, тобто питання арифметики і А., ідеалістична філософія Платона не вважала гідним предметом науки. Поза сумнівом, ці галузі також продовжували розвиватися (на основі вавілонських і єгипетських традицій), але до нашого часу дійшов лише трактат Діофанту Александрійської «Арифметики» (ймовірно, 3 ст), в якій він вже досить вільно оперує з рівняннями 1-ої і 2-ої мір; у зачатковій формі у нього можна знайти і вживання негативних чисел.
Спадщину старогрецької науки сприйняли учені середньовічного Сходу — Середньої Азії, Месопотамії, Північної Африки. Міжнародною науковою мовою служила для них арабська мова (подібно до того як для учених середньовічного Заходу такою мовою був латинський), тому цей період в історії математики інколи називають «арабським». Насправді ж одним з найбільших наукових центрів цього часу (9—15 вв.(століття)) була Середня Азія. Серед багатьох прикладів досить назвати діяльність узбецького математика і астронома 9 ст, уродженця Хорезма Мухаммеда аль-Хорезмі і великого ученого-енциклопедиста Біруні, створення в 15 ст обсерваторії Улугбека в Самарканді, Учені середньовічного Сходу передали Європі математику греків і індійців в оригінальній переробці, причому особливо багато вони займалися саме А. Само слово «алгебра» — арабське (аль-джебр) і є початком назви однієї з вигадувань Хорезмі (аль-джебр означало один з прийомів перетворення рівнянь). З часу Хорезмі А. можна розглядати як окрему галузь математики.
Математики середньовічного Сходу все дії викладали словами. Подальший прогрес А. став можливим лише після появи в загальному вживанні зручних символів для позначення дій (див. Знаки математичні ). Цей процес йшов повільно і зигзагами, Вище згадувалося про знак дробу у древніх єгиптян. В Діофанту буква i (початок слова isos, тобто рівний) застосовувалася як знак рівності, були подібні скорочення і у індійців (5—7 вв.(століття)), але потім ця символіка, що зароджувалася, знову втрачалася. Подальший розвиток А. належить італійцям, що перейняли в 12 ст математику середньовічного Сходу. Леонардо Пізанський (13 ст) — найбільш видатний математик цієї епохи, що займався проблемами алгебри. Поступово методи алгебри проникають в обчислювальну практику, спочатку запекло конкуруючи з арифметичними. Пристосовуючись до практики, італійські учені знов переходять до зручних скороченням, наприклад замість слів «плюс» і «мінус» стали вживати латинські букви p і t з особливою рискою зверху. В кінці 15 ст в математичних вигадуваннях з'являються прийняті тепер знаки + і —, причому є вказівки, що ці знаки задовго до цього уживалися в торгівельній практиці для позначення надлишку і недоліку у вазі.
Швидко слідує введення і загальне визнання останніх знаків (міри, кореня, дужок і т. д.). До середині 17 ст повністю склався апарат символів сучасної А. — вживання букв для позначення не лише шуканого невідомого, але і всіх взагалі вхідних в завдання величин. До цієї реформи, остаточно закріпленою Ф. Вієтом (кінець 16 ст), в А. і арифметиці як би немає загальних правил і доказів; розглядаються виключно чисельні приклади. Майже неможливо було висловити які-небудь загальні думки. Навіть елементарні підручники цього часу дуже важкі, оскільки дають десятки приватних правил замість одного загального, Вієт перший почав писати свої завдання в загальному вигляді, позначаючи невідомі величини голосними А, Е, I ..., а відомі — приголосними В, З, D .... Ці букви він сполучає введеними вже у той час знаками математичних операцій. Т. о. вперше виникають буквально формули, настільки характерні для сучасної А. Начиная з Р. Декарта (17 ст) для невідомих вживають переважно останні букви алфавіту ( х, в, z ) .
Введення символічних позначень і операцій над буквами, замінюючими які завгодно конкретні числа, мало виключно важливе значення. Без цього знаряддя — мови формул — були б немислимі блискучий розвиток вищої математики починаючи з 17 ст, створення математичного аналізу математичного вираження законів механіки і фізики і так далі
Вміст А. охоплювало під час Діофанту рівняння 1-ої і 2-ої мір. До рівнянь 2-ої міри (т.з. квадратним) старогрецькі математики прийшли, мабуть, геометричним дорогою, оскільки завдання, що приводять до цих рівнянь, природно, виникають при визначенні площ і побудові кола за різними даними. Проте в одному, дуже істотному відношенні вирішення рівнянь в древніх математиків відрізнялося від сучасного: вони не вживали негативних чисел. Тому навіть рівняння 1-ої міри (з точки зору древніх) не завжди мало рішення. При розгляді рівнянь 2-ої міри доводилося розрізняти багато окремих випадків (по знаках коефіцієнтів). Вирішальний крок — вживання негативних чисел — був зроблений індійськими математиками (10 ст), але учені середньовічного Сходу не пішли по цій дорозі. З негативними числами звиклися поступово; цьому особливо сприяли комерційні обчислення, в яких негативні числа мають наочний сенс збитку, витрати, недоліку і так далі Остаточно ж негативні числа були прийняті лише в 17 ст, після того, як Декарт скористався їх наочною геометричною виставою для побудови аналітичної геометрії.
Виникнення аналітичній геометрії було в той же час і торжеством А. Еслі раніше, у древніх греків, чисто завдання алгебри вдягалися в геометричну форму, то тепер, навпаки, засоби алгебри вираження виявилися вже настільки зручними і наочними, що геометричні завдання перекладалися мовою формул алгебри. Детальніше про поступове розширення області чисел, що вживаються в математиці, про введення негативних, ірраціональних, уявних чисел див.(дивися) в ст.Число . Тут же треба відзначити, що необхідність введення всіх цих чисел особливо настійно відчувалася якраз в А.: так, наприклад, квадратні ірраціональності (коріння) виникають при вирішенні рівнянь 2-ої міри. Звичайно, вже старогрецькі і середньоазіатські математики не могли пройті мимо витягання коріння і придумали дотепні способи наближеного обчислення їх; але погляд на ірраціональність як на число встановився значно пізніше. Введення ж комплексних або «уявних» чисел відноситься до наступної епохи (18 ст).
Отже, якщо залишити осторонь уявні числа, то до 18 ст А. склалася приблизно в тому об'ємі, який до наших днів викладається в середній школі. Ета А. охоплює дії складання і множення, із зворотними їм діями віднімання і ділення, а також піднесення до ступеня (окремий випадок множення) і зворотне йому — витягання кореня. Ці дії вироблялися над числами або буквами, які могли позначати позитивні або негативні, раціональні або ірраціональні числа. Вказані дії уживалися у вирішенні завдань, по суті тих, що зводилися до рівнянь 1-ої і 2-ої мір. Тепер А. у цьому об'ємі володіє кожна освічена людина. Ета «елементарна» А. застосовується повсякденно в техніку, фізику і ін. галузях науки і практики. Але вміст науки А. і її застосувань цим далеко не обмежується. Важкі і повільні були лише перші кроки. З 16 ст і особливо з 18 ст починається швидкий розвиток А., а в 20 ст вона переживає новий розквіт.
російською Мовою виклад елементарної А. у тому вигляді, як вона склалася до початку 18 ст, було вперше дано в знаменитій «Арифметиці» Л. Ф. Магніцкого, що вийшла в 1703.
Алгебра в 18—19 вв.(століття) В кінці 17 — початку 18 вв.(століття) стався найбільший перелом в історії математики і природознавства: був створений і швидко поширився аналіз нескінченно малих (диференціальне і інтегральне числення). Цей перелом був викликаний розвитком продуктивних сил, потребами техніки і природознавства того часу і підготовлений він був всім попереднім розвитком А. Зокрема, буквені позначення і дії над ними ще в 16—17 вв.(століття) сприяли зародженню погляду на математичних величини як на змінні, що такий характерний для аналізу нескінченно малих, де безперервній зміні однієї величини зазвичай відповідає безперервна зміна інший — її функції.
А. і аналіз розвивалися в 17—18 вв.(століття) у тісному зв'язку. У А. проникали функціональні вистави, в цьому напрямі її збагатив І. Ньютон . З іншого боку, А. принесла аналізу свій багатий набір формул і перетворень, що грали велику роль в початковий період інтегрального числення і теорії диференціальних рівнянь. Крупною подією в А. цього періоду була поява курсу алгебри Л. Ейлера, що працював тоді в Петербурзькій академії наук. Цей курс вийшов спочатку російською мовою (1768—69), а потім неодноразово видавався на іноземних мовах. Відмінність А. від аналізу в 18—19 вв.(століття) характеризується тим, що А. має своїм основним предметом переривчасте, кінцеве. Цю особливість А. підкреслив в 1-ій половині 19 ст Н. І. Лобачевський, що назвав свою книгу «Алгебра, або Обчислення кінцевих» (1834). А. займається основними операціями (складання і множення), вироблюваними кінцеве число разів.
Простим результатом множення є одночлен, наприклад 5a 3 bx 2 в. Сума кінцевого числа таких одночленів (з цілими мірами) називається многочленом . Якщо звернути увагу на одну з вхідних в многочлен букв, наприклад x, то можна надати йому вигляду: a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n , де коефіцієнти a про , a 1 . ..., a n вже не залежать від х . Це — многочлен n-й міри (інше найменування — поліном, ціла раціональна функція). А. 18—19 вв.(століття) і є перш за все А. многочленів.
Об'єм А., т. о., виявляється значно вужчим, ніж об'єм аналізу, та зате прості операції і об'єкти, складові предмет А., вивчаються з більшою глибиною і подробицею; і саме тому, що вони прості, їх вивчення має фундаментальне значення для математики в цілому. В той же час А. і аналіз продовжують мати багато точок зіткнення, і розмежування між ними не є жорстким. Так, наприклад, аналіз перейняв від А. її символіку, без якої він не міг би і виникнути. У багатьох випадках вивчення многочленів, як простіших функцій, прокладало шляхи для загальної теорії функцій. Нарешті, через всю подальшу історію математики проходить тенденція зводити вивчення складніших функцій до многочленів або рядів многочленів: простий приклад — Тейлора ряд . З іншого боку, А. незрідка користується ідеєю безперервності, а уявлення про безконечне число об'єктів стало пануючим в А. останнім часом, але вже в новому, специфічному вигляді (див. нижчий — Сучасний стан алгебри).
Якщо прирівняти многочлен нулю (або взагалі якому-небудь певному числу), ми отримаємо алгебру рівняння. Історично першим завданням А. було вирішення таких рівнянь, тобто знаходження їх коріння — тих значень невідомої величини х, при яких многочлен дорівнює нулю. З давніх часів відоме вирішення квадратного рівняння х 2 + px + q =0 у вигляді формули:
вирішення Алгебри рівняння 3-ої і 4-ої мір було знайдене в 16 ст Для рівняння вигляду x 3 + px + q = 0 (до якого можна привести всяке рівняння 3-ої міри) воно дається формулою:
Ця формула називається формулою Кардано, хоча питання про те, чи була вона знайдена самим Дж. Кардано або ж запозичена ним в інших математиків, не можна вважати сповна вирішеним. Метод вирішення алгебри рівнянь 4-ої міри вказав Л. Феррарі . Після цього почалися наполегливі пошуки формул, які вирішували б рівняння і вищих мір так само, т. с. зводили б вирішення до витягань коріння («рішення в радикалах»). Ці пошуки продовжувалися близько трьох століть, і лише на початку 19 ст Н. Абель і Е. Галуа довели, що рівняння мір вище 4-й в загальному випадку в радикалах не вирішуються: виявилось, що існують нерозв'язні в радикалах рівняння n-й міри для будь-якого n, більшого або рівнішого 5. Таке, наприклад, рівняння x 5 - 4x - 2 = 0. Це відкриття мало велике значення, оскільки виявилось, що коріння рівнянь алгебри — предмет набагато складніший, ніж радикали. Галуа не обмежився цим так би мовити, негативним результатом, а поклав початок глибшої теорії рівнянь, пов'язавши з кожним рівнянням групу підстановок його коріння. Вирішення рівняння в радикалах рівносильно зведенню первинного рівняння до ланцюга рівнянь вигляду: в m = а , яке і виражає собою, що
Зведення до таким рівнянням виявилося в загальному випадку неможливим, але виникло питання: до ланцюга яких простіших рівнянь можна звести вирішення рівняння заданого? Наприклад, через коріння яких рівнянь коріння заданого рівняння виражається раціонально, тобто за допомогою чотирьох дій — складання, віднімання, множення і ділення. У такому ширшому розумінні Галуа теорія продовжує розвиватися аж до нашого часу.
З чисто практичного боку для обчислення коріння рівняння по заданих коефіцієнтах не було особливої необхідності в загальних формулах вирішення для рівнянь вищих мір, оскільки вже для рівнянь 3-ої і 4-ої мір такі формули практично мало корисні. Чисельне вирішення рівнянь пішло іншим дорогою, шляхом наближеного обчислення, тим більше доречним, що на практиці (наприклад, в астрономії і техніці) і самі коефіцієнти зазвичай є результатом вимірів, тобто відомі лише приблизно, з тією або іншою точністю.
Наближене обчислення коріння рівнянь алгебри є важливим завданням обчислювальної математики, і до теперішнього часу розроблено величезне число прийняття її рішення, зокрема з використанням сучасної обчислювальної техніки. Але математика складається не лише з опису способів обчислення. Не менш важлива — навіть для додатків — інша сторона математики: уміти чисто теоретичним дорогою, без обчислень, дати відповідь на поставлені питання. В області теорії рівнянь алгебри таким є питання про число коріння і їх характер. Відповідь залежить від того, які числа ми розглядаємо. Якщо допустити позитивні і негативні числа, то рівняння 1-ої міри завжди має рішення і притому лише одне. Але вже квадратне рівняння може і не мати рішень серед т.з. дійсних чисел; наприклад, рівняння x 2 + 2 = 0 не може бути задоволене ні при якому позитивному або негативному х, оскільки зліва завжди виявиться позитивне число, а не нуль. Представлення рішення у вигляді
не має сенсу, поки не буде роз'яснено, що таке квадратний корінь з негативного числа. Саме такий роду завдання і наштовхнули математиків на т.з. уявні числа. Ще раніше окремі сміливі дослідники ними користувалися, але остаточно вони були введені в науку лише в 19 ст Ці числа виявилися найважливішим знаряддям не лише в А., але і майже у всіх розділах математики і її застосувань. У міру того як звикали до уявних чисел, вони втрачали всяку таємничість і «уявність», чому тепер їх і називають найчастішим не уявними, а комплексними числами .
Якщо допускати і комплексні числа, то виявляється, що будь-яке рівняння n- й міри має коріння, причому це вірно і для рівнянь з будь-якими комплексними коефіцієнтами. Ета важлива теорема, що носить назву основної теореми А., була вперше висловлена в 17 ст французьким математиком А. Жіраром, але перший строгий доказ її було дано в самому кінці 18 ст До. Гаусом, з тих пір були опубліковані десятки різних доказів. Всі ці докази повинні були, в тій або іншій формі, вдатися до безперервності; т. о., доведення основної теореми А. само виходило за межі А., демонструючи зайвий раз нерозривність математичної науки в цілому.
Еслі x i — один з коріння рівняння алгебри
a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n = 0,
те легко довести, що многочлен, що стоїть в лівій частині рівняння, ділиться без залишку на х — x i . З основної теореми А. легко виводиться, що всякий многочлен n-й міри розпадається на n таких множників 1-ої міри, тобто тотожно:
а 0 x n + а 1 x n-1 + ... + а n = а 0 ( x - x 1 )( x - x 2 ) ... ( x - x n ),
причому многочлен допускає лише одне єдине розкладання на множники такого вигляду.
Таким образом, рівняння n- й міри імєєт n « коріння». У окремих випадках може виявитися, що деякі з множників рівні, тобто деяке коріння повторюється кілька разів (кратне коріння); отже, число різного коріння може бути і менше n. Часто не так поважно обчислити коріння, як розібратися в тому, який характер цього коріння. Як приклад приведемо знайдене ще Декартом «правило знаків»: рівняння має не більше позитивних коріння, чим число змін знаку у ряді його коефіцієнтів (а якщо менше, то на парне число). Наприклад, в розглянутому вище рівнянні x 5 - 4x - 2 = 0 одна зміна знаку (перший коефіцієнт — позитивний, останні — негативні). Значить, не вирішуючи рівняння, можна стверджувати, що воно має один і лише один позитивний корінь. Загальне питання про число дійсного коріння в заданих межах вирішується Штурму правилом . Дуже важливе, що в рівняння з дійсними коефіцієнтами комплексне коріння може бути лише парами: поряд з коренем а + bi коренем того ж рівняння завжди буде і а - bi. Застосування ставлять інколи і складніші завдання цього роду; так, в механіці доводиться, що рух стійкий, якщо деяке рівняння алгебри має лише таке коріння (хоч би і комплексні) в яких дійсна частина негативна, і це змусило шукати умови, при яких коріння рівняння володіє цією властивістю (див. Раусу — Гурвіця проблема ).
Багато теоретичних і практичних питань приводять не до одного рівняння, а до цілої системи рівнянь з декількома невідомими. Особливо важливий випадок системи лінійних рівнянь, тобто системи т рівнянь 1-ої міри з n невідомими:
а 11 x 1 +...+ а 1n x n = b 1 ,
а 21 x 1 +...+ а 2n x n = b 2 ,
...............................
а m1 x 1 +...+ а mn x n = b m .
Тут x 1 ..., x n — невідомі, а коефіцієнти записані так, що значки при них вказують на номер рівняння і номер невідомого. Значення систем рівнянь 1-ої міри визначається не лише тим, що вони — прості. На практиці (наприклад, для відшукання поправок в астрономічних обчисленнях, при оцінці погрішності в наближених обчисленнях н т. д.) часто мають справу зі свідомо малими величинами, старшими мірами яких можна нехтувати (зважаючи на їх надзвичайну крихту), так що рівняння з такими величинами зводяться в першому наближенні до лінійних. Не менше важливий, що вирішення систем лінійних рівнянь складає істотну частину при чисельному вирішенні всіляких прикладних завдань. Ще Р. Лейбніц (1700) звернув увагу на те, що при вивченні систем лінійних рівнянь найбільш істотною є таблиця, що складається з коефіцієнтів а ik і показав, як з цих коефіцієнтів (в разі m = n ) будувати т.з. визначники, за допомогою яких досліджуються системи лінійних рівнянь. Згодом такі таблиці, або матриці, стали предметом самостійного вивчення, оскільки виявилося, що їх роль не вичерпується додатками до теорії систем лінійних рівнянь. Теорія систем лінійних рівнянь і теорія матриць в даний час стали частямі важливій галузі науки — лінійної алгебри .
(По матеріалах статті А.Г. Куроша і О. Ю. Шмідта з 2-го видавництва БСЕ).
Сучасний стан алгебри
Сфера додатків математики розширюється з часом, і темп цього розширення зростає. Якщо в 18 ст математика стала основою механіки і астрономії, то вже в 19 ст вона стала необхідної для різних областей фізики, а нині математичні методи проникають навіть в таких, здавалося б далекі від математики області знання, як біологія, лінгвістика, соціологія і так далі Кожна нова область додатків вабить створення нових глав усередині самої математики. Ця тенденція привела до виникнення значного числа окремих математичних дисциплін, що розрізняються по областях дослідження (теорія функцій комплексного змінного, теорія вірогідності, теорія рівнянь математичної фізики і т. д.; новіші — теорія інформації, теорія автоматичного управління і т. д.). Не дивлячись на таку диференціацію, математика залишається єдиною наукою. Ця єдність зберігається завдяки розвитку і вдосконаленню ряду загальних, об'єднуючих ідей і точок зору. Тенденція до об'єднання лежить в істоті математики як науки, абстракції, що користується методом, і, крім того, часто стимулюється тим, що при дослідженні завдань, що виникають в різних областях знання, доводиться користуватися одним і тим же математичним апаратом.
Сучасна А., що розуміється як вчення про операції над будь-якими математичними об'єктами, є одним з розділів математики, що формують загальні поняття і методи для всієї математики. Цю роль А. розділяє з топологією, в якій вивчаються найбільш загальні властивості безперервних протяженностей. А. і топологія виявилися, не дивлячись на відмінність об'єктів дослідження, настільки зв'язаними, що між ними важко провести чіткий кордон. Для сучасної А. характерне те, що в центрі уваги виявляються властивості операцій, а не об'єктів, над якими виробляються ці операції. Спробуємо пояснити на простому прикладі, як це відбувається. Всім відома формула ( а + b ) 2 = а 2 + 2 аb + b 2 . Її виводом є ланцюжок рівності: ( а + b ) 2 = ( а + b )( а + b ) = ( а + b ) а + ( а + b ) b = ( а 2 + ba ) + ( ab + b 2 ) = а 2 + ( ba + ab )+ b 2 = а 2 + 2 ab + b 2 . Для обгрунтування ми двічі користуємося законом дистрибутивності :. з ( а + b ) = ca + cb (роль з грає а + b ) і ( а + b ) з = ас + bc (роль з грають а і b ) , закон асоціативності при складанні дозволяє перегрупувати доданки, нарешті використовується закон комутативності : ba = ab . Що є об'єктами, закодованими буквами а і b , залишається байдужим; поважно, щоб вони належали системі об'єктів, в якій визначено дві операції, — складання і множення, що задовольняють перерахованим вимогам, що стосуються властивостей операцій, а не об'єктів. Тому формула залишиться вірною, якщо а і b позначають вектори на плоскості або в просторі, складання приймається спершу як векторне складання, потім як складання чисел, множення — як скалярне множення векторів. Замість а і b можна підставити комутуючі матриці (тобто такі, що ab = ba , що для матриць може не виконуватися), операторів диференціювання по двох незалежних змінних і так далі
Властивості операцій над математичними об'єктами в різних ситуаціях інколи опиняються абсолютно різними, інколи однаковими, не дивлячись на відмінність об'єктів. Відволікаючись від природи об'єктів, але фіксуючи певні властивості операцій над ними, ми приходимо до поняття безлічі, наділеної структурою алгебри, або системи алгебри. Потреби розвитку науки викликали до життя цілий ряд змістовних систем алгебри: групи, лінійні простори, поля, кільця і так далі Предметом сучасної А. в основному є дослідження систем алгебри, що склалися, а також дослідження властивостей систем алгебри взагалі, на основі ще загальніших понять (Q-алгебра, моделі). Окрім цього напряму, що носить назву загальної А., вивчаються застосування методів алгебри до ін. розділам математики за її межами (топологія, функціональний аналіз, теорія чисел, геометрія алгебри, обчислювальна математика, теоретична фізика, кристалографія і т. д.).
Найбільш важливими системами алгебри з однією операцією є групи. Операція в групі асоціативна [тобто вірно ( а * b ) * з = а * ( b * з ) при будь-яких а , b , з з групи; зірочкою * позначена операція, яка в різних ситуаціях може мати різні назви] і однозначно обратіма, тобто для будь-яких а і b з групи знайдуться єдині х , в такі, що а * х = b , в * а = b . Прикладами груп можуть служити: сукупність всіх цілих чисел відносно складання, сукупність всіх раціональних (цілих і дробах) позитивних чисел відносно умнож
