Ейлер (Euler) Леонард [4(15) .4.1707, Базель, Швейцарія, — 7(18) .9.1783, Петербург], математик, механік і фізик. Род. у сім'ї небагатого пастора Пауля Ейлера. Освіту здобув спочатку у батька (який в молодості займався математикою під рук. Я. Бернуллі), а в 1720—24 в університеті Базеля, де слухав лекції з математики І. Бернуллі .
В кон. 1726 Е. був запрошений в Петербурзьку АН(Академія наук) і в травні 1727 приїхав до Петербургу. У тільки що організованій академії Е. знайшов сприятливі умови для наукової діяльності, що дозволило йому відразу ж приступити до занять математикою і механікою. За 14 років першого петербурзького періоду життя Е. підготував до друку близько 80 праць і опублікував понад 50. У Петербурзі він вивчив російську мову.
Е. брав участь в багатьох напрямах діяльності Петербурзької АН(Академія наук). Він читав лекції студентам академічного університету, брав участь в різних технічних експертизах, працював над складанням карт Росії, написав загальнодоступне «Керівництво до арифметики» (йому. видавництво 1738—40, русявий.(російський) пер.(переведення) ч. 1—2, 1740). За спеціальним дорученням академії Е. підготував до друку «Морську науку» (ч. 1—2, 1749) — фундаментальна праця по теорії кораблебудування і кораблеводіння.
В 1741 Е. прийняв пропозицію прусського короля Фрідріха II переїхати до Берліна, де предстояла реорганізація АН(Академія наук). У Берлінській АН(Академія наук) Е. зайняв пост директора класу математики і член правління, а після смерті її першого президента П. Л. Мопертюї декілька років (з 1759) фактично керував академією. За 25 років життя в Берліні він підготував близько 300 робіт серед них ряд великих монографій.
Живучи в Берліні, Е. не переставав інтенсивно працювати для Петербурзької АН(Академія наук), зберігаючи звання її почесного члена. Він вів обширне наукове і науково-організаційне листування, зокрема переписувався с М. Ст Ломоносовим, якого високо цінував. Е. редагував математичний відділ російського академічного наукового органу, де опублікував за цей час майже стільки ж статей, скільки в «Мемуарах» Берлінською АН(Академія наук). Він діяльно брав участь в підготовці російських математиків; до Берліна відряджалися для занять під його керівництвом майбутні академіки С. До. Котельников, С. Я. Румовський і М. Софронов. Велику допомогу Е. надавав Петербурзькою АН(Академія наук), набуваючи для неї наукової літератури і устаткування, ведучи переговори з кандидатами на посаді в академії і т.д.
17(28) липня 1766 Е. разом з сім'єю повернувся в Петербург. Не дивлячись на похилий вік і що осягнула його майже повну сліпоту, він до кінця життя продуктивно працював. За 17 років вторинного перебування в Петербурзі їм було підготовлено близько 400 робіт, серед них декілька великих книг. Е. продовжував брати участь і в організаційній роботі академії. У 1776 він був одним з експертів проекту одноаркового моста через Неву, запропонованого І. П. Кулібіном, і зі всієї комісії один подав широку підтримку проекту.
Заслуги Е. як найбільшого ученого і організатора наукових досліджень отримали високу оцінку ще при його житті. Окрім Петербурзької і Берлінської академій, він полягав членом найбільших наукових установ: Паризькою АН(Академія наук), Лондонського королівського суспільства і інших.
Одна з відмітних сторін творчості Е. — його виняткова продуктивність. Лише за життя Е. було опубліковано близько 550 його книг і статей (список праць Е. містить приблизно 850 назв.(назва)). У 1909 Швейцарське природничонаукове суспільство приступило до видання повного зібрання творів Е., яке завершене в 1975; воно складається з 72 томів. Великий інтерес представляє і колосальне наукове листування Е. (близько 3000 листів), до цих пір опублікована лише частково.
Незвичайно широкий був круг занять Е., що охоплювали всі відділи сучасної йому математики і механіки, теорію пружності, математичну фізику, оптику, теорію музики, теорію машин, балістику, морську науку, страхову справу і т.д. Біля 3 / 5 робіт Е. відноситься до математики, останні 2 / 5 переважно до її застосувань. Свої результати і результати, отримані іншими, Е. систематизував у ряді класичних монографій, написаних з вражаючою ясністю і забезпечених коштовними прикладами. Такі, наприклад, «Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично» (т. 1—2, 1736), «Введення в аналіз» (т. 1—2, 1748), «Диференціальне числення» (1755), «Теорія руху твердого тіла» (1765), «Універсальна арифметика» (т. 1—2, 1768—69), що витримала близько 30 видань на 6 мовах, «Інтегральне числення» (т. 1—3, 1768—70, т. 4, 1794) і ін. У 18 ст, а частково і в 19 ст величезну популярність придбали загальнодоступні «Листи об різних фізичних і філозофічеських матеріях, пісанниє до деякої німецької принцеси...» (ч. 1—3, 1768—74), які витримали понад 40 видань на 10 мовах. Велика частина вмісту монографій Е. увійшла потім до учбового керівництва для вищої і частково середньої школи. Неможливо перерахувати всі теореми, що донині вживаються, методи і формули Е., з яких лише небагато фігурують в літературі під його ім'ям [див., наприклад, Ейлера метод ламаних,Ейлера підстановки,Ейлера постійна,Ейлера рівняння,Ейлера рівняння (у гідромеханіці), Ейлера формули,Ейлера функція,Ейлера числа в математиці, Ейлера число,Ейлера —Маклорена формула,Ейлера — Фур'є формули,Ейлерова характеристика,Ейлерови інтеграли,Ейлерови кути ] .
В «Механіці» Е. вперше виклав динаміку крапки за допомогою математичного аналізу. У 1-м-коді томі цього вигадування розглянутий вільний рух крапки під дією різних сил як в порожнечі, так і в середовищі, що володіє опором; у 2-м-коді — рух крапки по даній лінії або по даній поверхні; велике значення для розвитку небесної механіки мала глава про рух крапки під дією центр.(центральний) сил. У 1744 він вперше коректно сформулював механічний принцип найменшої дії і показав його перші вживання. У «Теорії руху твердого тіла» Е. розробив кінематику і динаміку твердого тіла і дав рівняння його обертання довкола нерухомої крапки, поклавши початок теорії гіроскопів. У своїй теорії корабля Е. вніс коштовний вклад до теорії стійкості. Значительни відкриття Е. у небесній механіці (наприклад, в теорії руху Луни), механіці суцільних середовищ (основні рівняння руху ідеальної рідини у формі Е. і в т.з. змінних Лагранжа, вагання газу в трубах і пр.). У оптику Е. дав (1747) формулу двоопуклої лінзи, запропонував метод розрахунку показника заломлення середовища. Е. дотримувався хвилевої теорії світла. Він вважав, що різним кольорам відповідають різні довжини хвиль світла. Е. запропонував способи усунення хроматичних аберації лінз і в 3-ій частині «Діоптрики» дав методи розрахунку оптичних вузлів мікроскопа. Обширний цикл робіт, початий в 1748, Е. присвятив математичній фізиці: завданням про вагання струни, пластинки, мембрани і ін. Всі ці дослідження стимулювали розвиток теорії диференціальних рівнянь наближених методів аналізу, спец.(спеціальний) функцій, диференціальної геометрії і т.д. Багато математичних відкриттів Е. містяться саме в цих роботах.
Головною справою Е. як математика з'явилася розробка математичного аналізу. Він заклав основи декількох математичних дисциплін, які лише в зачатковому вигляді були або зовсім відсутні в численні нескінченно малих І. Ньютона, Р. Ст Лейбніца, Я. і І. Бернуллі. Так, Е. перший ввів функції комплексного аргументу («Введення в аналіз», т. 1) і досліджував властивості основних елементарних функцій комплексного змінного (показові, логарифмічні і тригонометричні функцій); зокрема, він вивів формули, що пов'язують тригонометричні функції з показовою. Роботи Е. у цьому напрямі поклали початок теорії функцій комплексного змінного.
Е. з'явився творцем варіаційного числення, викладеного в роботі «Метод знаходження кривих ліній, що володіють властивостями максимуму, або мінімуму...» (1744). Після робіт Же. Лагранжа Е. далі розвинув варіаційне числення в «Інтегральному численні» і ряду статей. Метод, за допомогою якого Е. у 1744 вивів необхідну умову екстремуму функціонала — рівняння Ейлера, з'явився прообразом прямих методів варіаційного числення 20 ст Е. створив як самостійну дисципліну теорію звичайних диференціальних рівнянь і заклав основи теорії рівнянь з приватними похідними. Тут йому належить величезне число відкриттів: класичний спосіб вирішення лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами, метод варіації довільних постійних, з'ясування основних властивостей рівняння Ріккаті, інтеграція лінійних рівнянь із змінними коефіцієнтами за допомогою безконечних рядів, критерії особливих рішень, вчення про інтегруючий множник, різні наближені методи і ряд прийняття рішення рівнянь з приватними похідними. Значить. частина цих результатів Е. зібрав в своєму «Інтегральному численні».
Е. збагатив також диференціальне і інтегральне числення у вузькому сенсі слова (наприклад, вчення про заміну змінних, теорема про однорідних функціях, поняття подвійного інтеграла і обчислення багатьох спеціальних інтегралів). У «Диференціальному численні» Е. висловив і підкріпив прикладами переконання в доцільності вживання рядів, що розходяться, і запропонував методи узагальненого підсумовування рядів, передбачивши ідеї сучасної строгої теорії рядів, що розходяться, створеної на рубежі 19 і 20 вв.(століття) Крім того, Е. отримав в теорії рядів безліч конкретних результатів. Він відкрив т.з. формулу підсумовування Ейлера — Маклорена, запропонував перетворення рядів, ім'я, що носить його, визначив суми величезної кількості рядів і ввів в математику нових важливих типів рядів (наприклад, тригонометричні ряди). Сюди ж примикають дослідження Е. по теорії безперервних дробів і інших безконечних процесів.
Е. є основоположником теорії спеціальних функцій. Він першим почав розглядати синус і косинус як функції, а не як відрізки в крузі. Їм отримані майже всі класичного розкладання елементарних функцій в безконечні ряди і твори. У його працях створена теорія гамма-функції. Він досліджував властивості еліптичних інтегралів, гіперболічних і циліндрових функцій, дзети-функції, деяких тета-функцій, інтегрального логарифма і важливих класів спеціальних многочленів.
По зауваженню П. Л. Чебишева, Е. поклав початок всім дослідженням, складовим загальну частину теорії чисел, до якої відноситься понад 100 мемуарів Е. Так, Е. довів ряд тверджень, висловлених П. Ферма (див., наприклад, Ферма мала теорема ), розробив основи теорії статечних вирахувань і теорії квадратичних форм, виявив (але не довів) квадратичний закон взаємності (див. Квадратичне вирахування ) і досліджував ряд завдань діофантова аналізу. У роботах про розбиття чисел на доданки і по теорії простих чисел Е. вперше використовував методи аналізу, з'явившись тим самим творцем аналітичної теорії чисел. Зокрема, він ввів дзету-функцію і довів т.з. тотожність Е., що пов'язує прості числа зі всіма натуральними.
Великі заслуги Е. і в інших областях математики. У алгебрі йому належать роботи про вирішення в радикалах рівнянь вищих мір і про рівняння з двома невідомими, а також т.з. тотожність Е. про чотири квадрати. Е. значно просунув аналітичну геометрію, особливе вчення про поверхні 2-го порядку. У диференціальній геометрії він детально досліджував властивості геодезичних ліній, вперше застосував натуральні рівняння кривих, а головне, заклав основи теорії поверхонь. Він ввів поняття головних напрямів в крапці поверхні, довів їх ортогональность, вивів формулу для кривизни будь-якого нормального перетину, почав вивчення поверхонь і , що розгортаються;т.д.; у одній посмертно опублікованій роботі (1862) він частково передував дослідженням До. Ф. Гауса по внутрішній геометрії поверхонь. Е. займався і отд.(окремий) питаннями топології і довів, наприклад, важливу теорему про опуклі многогранники. Е.-математика незрідка характеризують як геніального «обчислювача». Дійсно, він був неперевершеним майстром формальних викладень і перетворень, в його працях багато математичних формул і символіка отримали сучасний вигляд (наприклад, йому належать позначення для е і p). Проте Е. був не лише виняткової сили «обчислювачем». Він вніс до науки ряд глибоких ідей, які нині строго обгрунтовані і служать зразком глибини проникнення в предмет дослідження.
По вираженню П. С. Лапласа, Е. з'явився вчителем математиків 2-ої половини 18 ст Від його робіт безпосередньо вирушали у всіляких дослідженнях П. С. Лаплас, Же. Л. Лагранж, Р. Монж, А. М. Лежандр, До. Ф. Гаус, пізніше О. Коші, М. Ст Остроградський, П. Л. Чебишев і ін. Російські математики високо цінували творчість Е., а діячі чебишевськой школи бачили в Е. свого ідейного попередника в його постійному відчутті конкретності, в інтересі до конкретних важких завдань, що вимагають розвитку нових методів, в прагненні отримувати вирішення завдань у формі закінчених алгоритмів, що дозволяють знаходити відповідь будь-якою необхідною мірою точності.
Соч.: Opera omnia... Series 1 — Opera mathematica, v. 1—29, Lausannae, 1911—56, Series 2 — Opera mechanica et astronomica, v. 1—30, В.— Lpz., 1912—74, Series 3—opera physica, Miscellanae epistolae, v. 1—12, Lausannae, 1911—73, Series 4—commercium epistolicum, v. 1, 1975; у русявий.(російський) пер.(переведення)— Універсальна арифметика, т. 1—2, СП(Збори постанов) Би, 1768— 1769; Повний умогляд будови і водіння кораблів, вигадане на користь учнів навігації..., СП(Збори постанов) Би, 1778; Введення в аналіз безконечних, т. 1—2, М., 1961; Метод знаходження кривих ліній, що володіють властивостями максимуму, або мінімуму, або рішення ізопериметричної задачі, узятої в найширшому сенсі, М-коді.—Л., 1934; Основи динаміки крапки, М.— Л., 1938; Нова теорія руху Луни, Л., 1934; Диференціальне числення, М.— Л., 1949; Інтегральне числення, т. 1—3, М., 1956—1958; Вибрані картографічні статті, М., 1959.
Літ.: Erneström G., Verzeichnis der Schriften Leonard Eulers, Lfg 1—2, Lpz., 1910—13 (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker—vereinigung. Ergänzungsband 4, Lfg 1—2) [літ.]; Fuss N., Eloge de monsieur Léonard Euler..., St. Pb., 1783 (літ.); у русявий.(російський) пер.(переведення)— Похвальна мова покійному Леонарду Ейлерові..., у кн.: Академічні вигадування, вибрані з першого тому Діянь Академії наук, під заголовком: Nova Acta Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, ч. 1, СП(Збори постанов) Би, 1801; Симонов Н. І., Прикладні методи аналізу у Ейлера, М., 1957; Леонард Ейлер. Сб. ст., М., 1958; Рукописні матеріали Л. Ейлера в Архіві Академії наук СРСР, т. 1, М-код.—Л., 1962; Юшкевіч А. П., Історія математики в Росії до 1917 року, М., 1968.
По матеріалах однойменної статті з 2-го видання БСЕ.
