Ейлера рівняння
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Ейлера рівняння

Ейлера рівняння,

  1) у механіці — динамічні і кінематичні рівняння, використовувані при вивченні руху твердого тіла; дани Л. Ейлером в 1765.

загрузка...

  Динамічні Е. в. є диференціальними рівняннями руху твердого тіла довкола нерухомої крапки і мають вигляд

I x + ( I z — I в ) w в w z = M x ,

I в + ( I x —  I z ) w z w x = M в , (1)

I z + ( I в — I x ) w x w в = M z ,

де I x , I в , I z моменти інерції тіла відносно гл.(глав) осей інерції, проведених з нерухомої крапки, w х , w в , w z проекції миттєвій кутовій швидкості тіла на ці осі, M x , M в , M z гл.(глав) моменти сил, що діють на тіло, відносно тих же осей; , ,    — проекції кутового прискорення.

  Кінематичні Е. в. дають вирази w х , w в , w z через Ейлерови кути j, в, q і мають вигляд

w x = sin q sinj + cosj,

w в = sin q cosj — sinj, (2)

w z =  + cos q.

  Система рівнянь (1) і (2) дозволяє, знаючи закон руху тіла, визначити момент сил, що діють на нього, і, навпаки, знаючи сили, що діють на тіло визначити закон його руху.

  2) У гідромеханіці — диференціальні рівняння руху ідеальної рідини в змінних Ейлера. Якщо тиск р , щільність r, проекції швидкостей часток рідини u , u , w і проекції об'ємної сили X ,, що діє, В , Z розглядати як функції координат x , в , z точок простору і часу t (змінні Ейлера), то Е. в. у проекціях на прямокутних декартові осі координат будуть:

,

,

.

Рішення загальної задачі гідромеханіки в змінних Ейлера зводиться до того, щоб, знаючи X , В , Z , а також початкові і граничні умови, визначити u , u, w, р , r, як функції х , в , z і t. Для цього до Е. в. приєднують рівняння нерозривності в змінних Ейлера

.

  В разі баротропной рідини, в якої щільність залежить лише від тиску, 5-м-код рівнянням буде рівняння стану r = j ( р ) (або r const, коли рідина нестискувана).

  Е. в. користуються при вирішенні всіляких завдань гідромеханіки.

  Літ.: Бухгольц Н. Н., Основний курс теоретичної механіки, ч. 2, 9 видавництво, М., 1972 §14, 16; Лойцянський Л. Р., Механіка рідини і газу, 4 видавництва, М., 1973.

  С. М. Тарг.