Раусу — Гурвіця проблема, проблема, що полягає у визначенні числа до коріння рівняння алгебри
a 0 z n + a 1 z n-1 + ... + a n-1 z + a n = 0,
що мають позитивні дійсні частини. В разі коефіцієнтів а 0 , а 1 , ..., а n справедлива формула
(1)
де V — число знакоперемен у ряді чисел а 0 , D 1 ..., а D l ( l = 1, 2 ..., n — визначники Гурвіця (див. Гурвіця критерій ). Спеціального розгляду вимагають особливі випадки, коли деякі з D l дорівнюють нулю. В разі l = 1 з формули (1) виходить критерій Гурвіця. Формула (1) була встановлена йому.(німецький) математиком А. Гурвіцем (A. Hurwitz; 1895). Іншими дорогами Р. — Р. п. досліджувалася раніше французьким математиком Ш. Ермітом (1856) і англійським механіком Е. Раусом (Е. Routh; 1877). Раус встановив спеціальний алгоритм для обчислення числа до. Формула (1) може бути замінена геометричним правилом. Крапка, що змальовує комплексну величину
а 0 ( i w) n + а 1 ( i w) n-1 ... + а n ,
при зміні w від 0 до + ¥ описує криву. Якщо при цьому полярний кут q точки кривої отримує приріст
Dq = n, то
до = ( n — n)/2. (2)
Спеціального розгляду вимагає особливий випадок, коли крива проходить через початок координат. При до = 0 з формули (2) виходить n = n, що дає той, що набув широкого поширення в технічній літературі критерій стійкості А. Міхайлова (1939).
В додатках зустрічаються узагальнення Р. — Р. п. на випадок комплексних коефіцієнтів а 0 , а 1 ..., а n і на випадок трансцендентних рівнянь.
