Рауса-Гурвица проблема
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Рауса-Гурвица проблема

Рауса — Гурвица проблема, проблема, состоящая в определении числа k корней алгебраического уравнения

a0zn + a1zn-1 + ... + an-1z + an = 0,

имеющих положительные действительные части. В случае коэффициентов a0, a1, ..., an справедлива формула

     (1)

где V — число знакоперемен в ряде чисел a0, D1, , ..., а Dl (l = 1, 2, ..., n определители Гурвица (см. Гурвица критерий). Специального рассмотрения требуют особые случаи, когда некоторые из Dl равны нулю. В случае l = 1 из формулы (1) следует критерий Гурвица. Формула (1) была установлена нем.(немецкий) математиком А. Гурвицем (A. Hurwitz; 1895). Другими путями Р. — Г. п. исследовалась ранее французским математиком Ш. Эрмитом (1856) и английским механиком Э. Раусом (Е. Routh; 1877). Раус установил специальный алгоритм для вычисления числа k. Формула (1) может быть заменена геометрическим правилом. Точка, изображающая комплексную величину

a0(iw) n + a1(iw) n-1... + an,

при изменении w от 0 до + ¥ описывает кривую. Если при этом полярный угол q точки кривой получает приращение

Dq = n, то

k = (n — n)/2.      (2)

  Специального рассмотрения требует особый случай, когда кривая проходит через начало координат. При k = 0 из формулы (2) следует n = n, что даёт получивший широкое распространение в технической литературе критерий устойчивости А. Михайлова (1939).

  В приложениях встречаются обобщения Р. — Г. п. на случай комплексных коэффициентов a0, a1, ..., an и на случай трансцендентных уравнений.