Число, найважливіше математичне поняття. Виникнувши в простому вигляді ще в первісному суспільстві, поняття Ч. змінювалося впродовж століть, поступово збагачуючись вмістом у міру розширення сфери людської діяльності і пов'язаного з ним розширення круга питань, що вимагав кількостей. описи і дослідження. На перших рівнях розвитку поняття Ч. визначалося потребами рахунку і виміру, що виникали в безпосередній практичній діяльності людини. Потім Ч. стає основним поняттям математики, і подальший розвиток поняття Ч. визначається потребами цієї науки.
Поняття натурального числа, викликане потребою рахунку предметів, виникло ще в доісторичні часи. Процес формування поняття натурального Ч. протікав у загальних рисах таким чином. На нижчому рівні первісного суспільства поняття відвернутого Ч. відсутнє. Це не означає, що первісна людина не могла віддавати собі звіту про кількість предметів конкретно даної сукупності, наприклад про кількість людей, що беруть участь в полюванні, про кількість озер, в яких можна ловити рибу, і т.д. Але в свідомості первісної людини ще не сформувалося те загальне, що є в об'єктах такого роду, як, наприклад, «три люди», «три озера» і т.д. Аналіз мов первісних народностей показує, що для рахунку предметів різного роду уживалися різні словесні звороти. Слово «три» в контекстах «три люди», «три човни» передавалися різно. Звичайно, такі іменовані числові ряди були дуже короткими і завершувалися неіндивідуалізованим поняттям («багато») про велику кількість тих або інших предметів, яка теж була іменованою, тобто виражалося різними словами для предметів різного роду, такими, як «натовп», «стадо», «купа» і т.д.
Джерелом виникнення поняття відвернутого Ч. є примітивний рахунок предметів, що полягає в зіставленні предметів даної конкретної сукупності з предметами деякої певної сукупності, що грає як би роль еталону. У більшості народів першим таким еталоном є пальці («рахунок на пальцях»), що з безсумнівністю підтверджується мовознавчим аналізом назв перших чисел. На цьому рівні Ч. стає відвернутим, не залежним від якості об'єктів, що вважаються, але в той же час промовцем в сповна конкретному здійсненні, пов'язаному з природою еталонної сукупності. Потреби рахунку, що розширюються, змусили людей вживати інші рахункові еталони, такі, як, наприклад, карби на паличці. Для фіксації порівняно великих Ч. стала використовуватися нова ідея — позначення деякого певного Ч. (у більшості народів — десяти) новим знаком, наприклад карбом на іншій паличці.
З розвитком писемності можливості відтворення Ч. значно розширилися. Спочатку Ч. стали позначатися рисками на матеріалі, службовцеві для запису (папірус, глиняні таблички і т.д.). Потім були введені інші знаки для великих Ч. Вавілонськие клинописні позначення Ч., так само, як і «римські цифри», що збереглися до наших днів, ясно свідчать саме про цю дорогу формування позначень для Ч. Шагом вперед була індійська позиційна система числення, що дозволяє записати будь-яке натуральне Ч. за допомогою десяти знаків — цифр . Т. о., паралельно з розвитком писемності поняття натурального Ч. набуває усе більш відвернутої форми, усе більш закріплюється відвернуте від всякої конкретності поняття Ч., відтворного у формі слів в усній мові і у формі позначення спеціальними знаками в письмовій.
Важливим кроком в розвитку поняття натурального Ч. є усвідомлення нескінченності натурального ряду Ч., тобто потенційній можливості його безмежного продовження. Виразне уявлення про нескінченність натурального ряду відбите в пам'ятниках античної математики (3 ст до н.е.(наша ера)), в працях Евкліда і Архімеда. У «Початках» Евкліда встановлюється навіть безмежна продолжаємость ряду простих Ч., у книзі Архімеда «Псамміт» — принципи для побудови назв і позначень для скільки завгодно великих Ч., зокрема більших, ніж «число піщинок в світі».
З розвитком поняття натурального Ч. як результату рахунку предметів в ужиток включаються дії над Ч. Действія складання і віднімання виникають спочатку як дії над самими совокупностямі у формі об'єднання два совокупностей в одну і відділення частини сукупності. Множення, мабуть, виникло в результаті рахунку рівними частинами (по два, по три і т.д.), ділення — як ділення сукупності на рівні частини (див. Множення,Ділення ) . Лише в багатовіковому досвіді склалося уявлення про відвернутий характер цих дій, про незалежність кількісного результату дії від природи предметів, складові сукупності, про те, що, наприклад, два предмети і три предмети складуть п'ять предметів незалежно від природи цих предметів. Тоді стали розробляти правила дій, вивчати їх властивості, створювати методи для вирішення завдань, тобто починається розвиток науки про Ч. — арифметики . В першу чергу арифметика розвивається як система знань, що має безпосередньо прикладну спрямованість. Але в самому процесі розвитку арифметики виявляється потреба у вивченні властивостей Ч. як таких, в з'ясуванні усе більш складних закономірностей в їх взаємозв'язках, обумовлених наявністю дій. Починається деталізація поняття натурального Ч., виділяються класи парних і непарних Ч., простих і складених і т.д. Вивчення глибоких закономірностей в натуральному ряду Ч. продовжується і складає розділ математики, що носить назву чисел теорія .
Натуральні Ч., окрім основної функції — характеристики кількості предметів, несуть ще іншу функцію — характеристику порядку предметів, розташованих в ряд. Поняття порядкового Ч, що виникає у зв'язку з цією функцією. (перший, другий і т.д.) тісно переплітається з поняттям кількісного Ч. (один, два і т.д.). Зокрема, розташування в ряд предметів, що вважаються, і подальший їх перерахунок із застосуванням порядкових Ч. є найбільш споживаним з незапам'ятних часів способом рахунки предметів (так, якщо останній з перераховуваних предметів виявиться сьомим, то це і означає, що є сім предметів).
Питання про обгрунтування поняття натурального Ч. довгий час в науці не ставився. Поняття натурального Ч. настільки звично і просто, що не виникало потребі в його визначенні в термінах яких-небудь простіших понять. Лише в середині 19 ст під впливом розвитку аксіоматичного методу в математиці, з одного боку, і критичного передивляється основ математичного аналізу — з іншою, назріла необхідність обгрунтування поняття кількісного натурального Ч. Отчетлівоє визначення поняття натурального Ч. на основі поняття безліч (сукупності предметів) було дано в 70-х рр. 19 ст в роботах Р. Кантора . Спочатку він визначає поняття равномощності совокупностей. Саме, дві сукупності називаються рівнопотужними, якщо складові їх предмети можуть бути зіставлені поодинці. Потім число предметів, складових дану сукупність, визначається як те загальне, що має дана сукупність і всяка інша, рівнопотужна нею сукупність предметів, незалежно від всяких якісних особливостей цих предметів. Таке визначення відображає суть натурального Ч. як результату рахунку предметів, складових дану сукупність. Дійсно, на всіх історичних рівнях рахунок полягає в зіставленні предметів, що поодинці вважаються, і предметів, складових «еталонну» сукупність (на ранніх рівнях — пальці рук і карбу на паличці і т.д., на сучасному етапі — слова і знаки, позначаючі Ч.), Визначення, дане Кантором, було відправним пунктом для узагальнення поняття кількостей. Ч. у напрямі кількісної характеристики безконечної безлічі.
Інше обгрунтування поняття натурального Ч. базується на аналізі відношення порядку дотримання, яке, як виявляється, може бути аксіоматизоване. Побудована на цьому принципі система аксіом була сформульована Дж. Пеано .
Слід зазначити, що перенесення поняття порядкового Ч. на безконечних сукупності [порядкові трансфінітні числа і більш у загальних рисах — порядкові типи (див. Безлічі теорія )] різко розходиться з узагальненим поняттям кількісного Ч.; це обумовлено тим, що кількісно однакова (рівнопотужні) безліч може бути впорядковані різними способами.
Історично першим розширенням поняття Ч. є приєднання до натуральних Ч. дробових чисел. Введення у вживання дробових Ч. пов'язано з потребою виробляти виміри. Вимір якої-небудь величини полягає в порівнянні її з іншою, якісно однорідною з нею і прийнятою за одиницю виміру. Це порівняння здійснюється за допомогою специфічної для способу виміру операції «відкладання» одиниці виміру на вимірюваній величині і рахунку числа таких відкладань. Так вимірюється довжина за допомогою відкладання відрізання, прийнятого за одиницю виміру кількість рідини — за допомогою мірної судини і т.д. Проте не завжди одиниця виміру укладається на вимірюваній величині ціле число разів, і цією обставиною, навіть в найпримітивнішій практичній діяльності, не завжди можна нехтувати. Тут і міститься джерело походження найбільш простих і «зручних» дробів, таких, як половина, третина, чверть і т.д. Але лише з розвитком арифметики як науки про Ч. дозріває ідея розгляду дробів з будь-яким натуральним знаменником і уявлення про дробовий Ч. як про приватний при діленні два натуральних Ч., з яких ділиме не ділиться без остачі на дільника (див. Дріб ) .
Подальші розширення поняття Ч. обумовлені вже не безпосередніми потребами рахунку і виміру, але з'явилися наслідком розвитку математики.
Введення негативних чисел було з необхідністю викликано розвитком алгебри як науки, що дає загальні способи вирішення арифметичних завдань, незалежно від їх конкретного вмісту і вихідних числових даних. Необхідність введення в алгебру негативного Ч. виникає вже при вирішенні завдань, що зводяться до лінійних рівнянь з одним невідомим. Можлива негативна відповідь в завданнях такого роду може тлумачити на прикладах простих направлених величин (таких, як протилежно направлені відрізки, пересування в напрямі, протилежному вибраному, майно — борг, і т.д.). У завданнях же, що приводяться до багатократного вживання дій складання і віднімання, для вирішення без допомоги негативного Ч. необхідний розгляд дуже багатьох випадків; це може бути настільки обтяжливим, що втрачається перевага рішення алгебри задачі перед арифметичним. Т. о., широке використання методів алгебри для вирішення завдань вельми скрутно без користування негативного Ч. У Індії ще в 6—11 вв.(століття) негативні Ч. систематично застосовувалися при вирішенні завдань і тлумачилися в основному так само, як це робиться в даний час.
В європейській науці негативні Ч. остаточно увійшли до вживання лише з часу Р. Декарта, що дав геометричне тлумачення негативного Ч. як направлених відрізань. Створення Декартом аналітичної геометрії, що дозволило розглядати коріння рівняння як координати точок пересічення деякої кривої з віссю абсцис, остаточно стерло принципову відмінність між позитивним і негативним корінням рівняння, їх тлумачення виявилося по суті однаковим.
Ч. цілі, дроби (позитивні і негативні) і нуль отримали загальна назва раціональних чисел. Сукупність раціональних Ч. володіє властивістю замкнутості по відношенню до чотирьох арифметичних дій. Це означає, що сума, різниця, твір і приватне (окрім приватного при діленні на нуль, яке не має сенсу) будь-яких два раціональних Ч. є знову раціональним Ч. Совокупность раціональних Ч. впорядкована відносно понять «більше» і «менше». Далі, сукупність раціональних Ч. володіє властивістю щільності: між будь-якими двома різними раціональними Ч. знаходиться нескінченно багато раціональних Ч. Ето дає можливість за допомогою раціональних Ч. здійснювати вимір (наприклад, довжини відрізання у вибраній одиниці масштабу) з будь-якою мірою точності. Т. о., сукупність раціональних Ч. виявляється достатньою для задоволення багатьох практичних потреб. Формальне обгрунтування понять дробу і негативного Ч. було здійснено в 19 ст і не представило, на відміну від обгрунтування натурального Ч., принципової скрути.
Сукупність раціональних Ч. виявилася недостатньою для вивчення змінних величин, що безперервно змінюються. Тут виявилося необхідним нове розширення поняття Ч., що полягає в переході від безлічі раціональних Ч. до безлічі дійсних (речових) чисел. Цей перехід полягає в приєднанні до раціональних Ч. т.з. ірраціональних чисел. Ще в Древній Греції було зроблено в геометрії відкриття величезної принципової важливості: не всякі точно задані (що само по собі є властивій геометрії ідеалізацією) відрізки соїзмеріми, тобто не завжди довжина відрізання може бути виражена раціональним Ч., якщо за одиницю прийнятий інший відрізок. Класичним прикладом несумірних відрізань є сторона квадрата і його діагональ. Факт існування несумірних відрізань не з'явився гальмом для розвитку геометрії. Греками була розроблена (викладена в «Початках» Евкліда) теорія стосунків відрізань, що враховує можливість їх несумірності. Вони уміли порівнювати такі стосунки по величині, виробляти над ними арифметичні дії (у чисто геометричній формі), тобто греки поводилися з такими стосунками, як з Ч. Однако ідея про те, що відношення довжин несумірних відрізань може розглядатися як Ч., у них не була усвідомлена до кінця. Це може бути пояснено таким, що культивувався в школі, до якої належав Евклід ідеалістичним відривом теоретичної математики від прикладних питань. У роботах Архімеда ми знаходимо значно велику близькість до прикладних питань, зокрема наближені обчислення стосунків несумірних відрізань, проте і у нього не з'являється поняття ірраціонального Ч. як Ч., що виражає відношення довжин несумірних відрізань.
В 17 ст в період зародження сучасної науки і, в частковості, сучасної математики розробляється ряд методів вивчення безперервних процесів і методів наближених обчислень. Виразне визначення поняття дійсного Ч. дається одним з основоположників математичного аналізу І. Ньютоном в «Загальній арифметиці»: «Під числом ми розуміємо не стільки безліч одиниць, скільки відвернуте відношення якої-небудь величини до іншої величини того ж роду прийнятою нами за одиницю». Це формулювання дає єдине визначення дійсного Ч., раціонального або ірраціонального. Надалі, в 70-х рр. 19 ст, поняття дійсного Ч. було уточнено на основі глибокого аналізу поняття безперервності в роботах Р. Дедекинда, Г. Кантора і К. Вейерштраса .
По Дедекинду, властивість безперервності прямої лінії полягає в тому, що якщо всі крапки, складові пряму, розбити на два класи так, що кожна точка першого класу лежить лівіше за кожну точку другого класу («розірвати» пряму на дві частини), то або в першому класі знайдеться найправіша крапка, або в другому — найлівіша крапка, тобто крапка, в якій стався «розрив» прямої.
Сукупність всіх раціональних Ч. властивістю безперервності не володіє. Якщо сукупність всіх раціональних Ч. розбити на два класи так, що кожне Ч. першого класу буде менше кожного Ч. другого класу, то при такому розбитті («перетині» Дедекинда) може виявитися, що в першому класі не існуватиме найбільшого Ч., а в другому — найменшого. Так буде, наприклад, якщо до першого класу віднести всі негативні раціональні Ч., нуль і все позитивні Ч., квадрат яких менше двох, а до другого — все позитивні Ч., квадрат яких більше двох. Такий перетин називається ірраціональним. Потім дається наступне визначення ірраціонального Ч.: кожному ірраціональному перетину в сукупності раціональних Ч. зіставляється ірраціональне Ч., яке вважається більшим, ніж будь-яке Ч. першого класу, і меншим, ніж будь-яке Ч. верхнього класу. Сукупність всіх дійсних Ч., раціональних і ірраціональних, вже володіє властивістю безперервності.
Обгрунтування Кантора поняття дійсного Ч. відрізняється від обгрунтування Дедекинда, але також грунтується на аналізі поняття безперервності. Як у визначенні Дедекинда, так і у визначенні Кантора використовується абстракція актуальної нескінченності. Так, в теорії Дедекинда ірраціональне Ч. визначається за допомогою перетину в сукупності всіх раціональних Ч., яка мислиться як дана вся цілком.
Останніми роками розробляється концепція «обчислюваних» Ч., тобто таких, наближення до яких можуть бути задані за допомогою якого-небудь алгоритму. Поняття обчислюваного Ч. визначається без користування абстракцією актуальної нескінченності, на базі уточненого поняття алгоритму.
Завершальний етап в розвитку поняття Ч. — введення комплексних чисел . Джерелом виникнення поняття комплексного Ч. з'явився розвиток алгебри. Мабуть, вперше ідея комплексного Ч. виникла в італійських математиків 16 ст (Дж. Кардано, Р. Бомбеллі) у зв'язку з відкриттям вирішення алгебри рівнянь третьої і четвертої мір. Відомо, що вже вирішення квадратного рівняння інколи приводить до дії витягання квадратного кореня з негативного Ч., нездійсненному в області дійсного Ч. Но це відбувається лише в тому випадку, якщо рівняння не має дійсного коріння. Практичне завдання що приводиться до вирішення такого квадратного рівняння, виявляється такою, що не має рішення. З відкриттям вирішення алгебри рівнянь третьої міри виявилося слід.(наступний) обставина. Якраз у тому випадку, коли всі три корені рівняння є дійсними Ч., по ходу обчислення виявляється необхідно виконати дію витягання квадратного кореня з негативних Ч. Возникающая при цьому «уявність» зникає лише після виконання всіх подальших дій. Це обставина з'явилася першою стимул-реакцією до розгляду комплексних Ч. Однако комплексні Ч. і дії над ними насилу щепилися в діяльності математиків. Залишки недовіри до закономірності користування ними відбиваються в терміні, що зберігся до наших днів, «уявне» недовір'я Ч. Ето розсіялося лише після встановлення в кінці 18 ст геометричного тлумачення комплексних Ч. у вигляді крапок на плоскість і встановлення безперечної користі від введення комплексних Ч. у теорії рівнянь алгебри, особливо після знаменитих робіт До. Гауса . Ще до Гауса, в роботах Л. Ейлера, комплексні Ч. починають грати істотну роль не лише в алгебрі, але і в математичному аналізі. Ця роль стала виключно великою в 19 ст у зв'язку з розвитком теорії функцій комплексного змінного.
Сукупність всіх комплексних Ч. володіє так само, як сукупність дійсних Ч. і сукупність раціональних Ч., властивістю замкнутості по відношенню до дій складання, віднімання, множення і ділення. Більш того, сукупність всіх комплексних Ч. володіє властивістю замкнутості алгебри, що полягає в тому, що кожне рівняння алгебри з комплексними коефіцієнтами має коріння знову в області всіх комплексних Ч. Совокупность всіх дійсних Ч. (і тим раціональніших) властивістю замкнутості алгебри не володіє. Так, наприклад, рівняння з дійсними коефіцієнтами х 2 +1=0 не має дійсного коріння. Як встановлено Вейерштрасом, сукупність всіх комплексних Ч. не може бути далі розширена за рахунок приєднання нових Ч. так, щоб в розширеній сукупності збереглися всі закони дій, що мають місце в сукупності комплексних Ч.
Поряд з основною лінією розвитку поняття Ч. (натуральні Ч. ® раціональні Ч. ® дійсні Ч. ® комплексні Ч.), специфічні потреби деяких областей математики викликали різні узагальнення поняття Ч. у істотно інших напрямах. Так, в розділах математики, пов'язаної з теорією безлічі, важливу роль грають згадувані вище поняття кількісних і порядкових трансфінітних Ч. У сучасній теорії Ч. набули великого значення т.з. р -адічеськие Ч., системи яких виходять з систем раціональних Ч. за допомогою приєднання нових об'єктів, відмінних від ірраціональних Ч. У алгебрі вивчаються різні системи об'єктів, що володіють властивостями, більшою чи меншою мірою близькими до властивостей сукупності цілих або раціональних Ч. — групи,кільця,поля, алгебри (див. також ст. Гіперкомплексні числа ) .
Літ.: Історія математики, т. 1—3, М., 1970—72; Ван дер Варден Би. Л., Наука, що прокидається, пер.(переведення) з голл.(голландський), М., 1959; Енциклопедія елементарної математики, кн. 1 — Арифметика, М-код.—Л., 1951; Нечаєв Ст І., Числові системи, М., 1972.
