Гіперкомплексні числа , узагальнення поняття про число, ширше, ніж звичайні комплексні числа . Сенс узагальнення полягає в тому, щоб звичайні арифметичні дії над такими числами одночасно виражали деякі геометричні процеси в багатовимірному просторі або давали кількісний опис яких-небудь фізичних законів. При спробах побудувати числа, які грали б для 3-мірного простору ту ж роль, яку грають комплексні числа для плоскості, з'ясувалося, що тут не може бути повній аналогії; це привело до створення і розвитку систем Р. ч.
Р. ч. є лінійними комбінаціями (з дійсними коефіцієнтами x 1 , x 2 . .. . x n ) деякої системи, е 1 , е 2 . .. , e n «базисних одиниць»:
x 1 e 1 + x 2 e 2 + ... + х п е п (*)
подібно до того, як комплексні числа x+iy є лінійними комбінаціями двох «базисних одиниць»: дійсної одиниці 1 і уявною одиниці i . Для того, щоб використовувати Р. ч., треба в першу чергу встановити правила арифметичних дій над ними. Складання і віднімання Р. ч., очевидно, отримують однозначне визначення, якщо для нових чисел зберегти звичайні правила арифметики; саме, компоненти х 1 , х 2 . .. , х п «базисних одиниць» повинні відповідно складатися або відніматися. Дійсне значення проблеми виразно виступає лише при встановленні правила множення; для встановлення почленного перемножування Р. ч. вигляду (*) приходять до необхідності встановити значення n 2 творів e i e до ( i = 1, 2..., n ; до = 1, 2..., n ). Завдання полягає в тому, щоб цим творам приписати значення вигляду (*), що зберігають в силі всі звичайні правила арифметичних операцій. Цьому вимозі задовольняє (окрім простого випадку дійсних чисел) єдина система Р. ч. — система комплексних чисел. При встановленні ж всякої іншої системи Р. ч. необхідно відмовитися від того або іншого правила арифметики; зазвичай такими правилами, що терплять порушення, виявляються: однозначність результату ділення; переместітельность множення; правило, через яке рівність нулю твору двох чисел спричиняє за собою перетворення на нуль, принаймні одного із співмножників, і т.п. Найважливіша система Р. ч. — кватерніони — виходить при відмові від комутативності (переместітельності) множення і збереження останніх властивостей складання і множення.
Літ.: Математика, її вміст, методи і значення, т. 3, М., 1956, гл.(глав) 20.
