Комплексні числа, числа вигляду х + iy, де х і в — дійсні числа, а i — так звана уявна одиниця (число, квадрат якого рівний —1); х називають дійсною частиною, а в — уявною частиною До. ч. z = х +iy (позначають х =Re z, в =Im z ) . Дійсні числа — окремий випадок До. ч. (при в = 0); До. ч., що немає дійсними ( в ¹ 0), називають уявними числами; при х = 0 До. ч. Називають чисто уявним. До. ч. z = х+iy і z = х — iy називають комплексно-зв'язаними. Арифметичні дії над До. ч. виробляються по звичайних правилах дій над многочленами з врахуванням умови i 2 = — 1. Геометрично кожне До. ч. х + iy зображається точкою плоскості, що має прямокутні координати х і в (див. мал. ). Якщо полярні координати цієї точки позначити через r і j :, те відповідне До. ч. можна представити у вигляді:
r (cos j + i sin j)
(тригонометрична, або полярна, форма До. ч.);
називають модулем До. ч. х+iy, а j = arg z — аргументом його. Тригонометрична форма До. ч. особливо зручна для дій піднесення до ступеня і витягання кореня:
[r (cos j + i sin j)] n = r n (cos nj + i sin n j) ,
, зокрема
, до = 0, 1 ., n—1
По своїх властивостях алгебри сукупність До. ч. утворює поле . Це поле алгебра замкнуте, тобто будь-яке рівняння x n + a 1 x n-1 +...+a n =0; де a 1 ..., a n — До. ч., має (при обліку кратності) серед До. ч. точно n коріння.
Вже в давнину математики стикалися в процесі вирішення деяких завдань з витяганням квадратного кореня з негативних чисел; в цьому випадку завдання вважалося нерозв'язним. Коли ж в 1-ій половині 16 ст було знайдено формули для вирішення кубічних рівнянь, виявилось, що в так званому випадку, що не приводиться, дійсне коріння рівнянь з дійсними коефіцієнтами виходить в результаті дій над До. ч. Це сприяло визнанню До. ч. Перше обгрунтування простих дій з До. ч. зустрічається в Р. Бомбеллі в 1572. Проте довгий час до До. ч. відносилися, як до чогось надприродного. Так, Р. Лейбніц в 1702 писав: «Уявні числа — це прекрасний і дивний притулок божественного духу, майже амфібія буття з небуттям». У 1748 Л. Ейлер знайшов чудову формулу e i j = cosj + isin j, що з'явилася першим важливим результатом теорії функцій комплексного змінного, але дійсний характер До. ч. з'ясувався лише до кінця 18 ст, коли була відкрита їх геометрична інтерпретація (див. вищий). Термін «До. ч.» запропонований До. Гаусом в 1831. Введення До. ч. робить багато математичних розглядів одноманітнішими і яснішими і є важливим етапом в розвитку поняття про число (див. Число ). До. ч. Уживаються тепер при математичному описі багатьох питань фізики і техніки (у гідродинаміці, аеромеханіці, електротехніці, атомній фізиці і т.д.). Основні розділи класичного математичного аналізу набувають повної ясності і закінченості лише при використанні До. ч., чим обумовлюється центральне місце, займане теорією функцій комплексного змінного. Див. Аналітичні функції .
Літ.: Маркушевіч А. І., Комплексні числа і конформні відображення, 2 видавництва, М., 1960; Курош А. Р., Курс вищої алгебри, 9 видавництво, М., 1968.
