Аналітичні функції, функції, які можуть бути представлені статечними рядами . Виняткова важливість класу А. ф. визначається наступним. По-перше, цей клас досить широкий; він охоплює більшість функцій, що зустрічаються в основних питаннях математики і її додатків до природознавства і техніки. Аналітичними є елементарні функції — многочлени, раціональні функції, показова і логарифмічна, статечна, тригонометричні і зворотні тригонометричні, гіперболічні і ним зворотні, алгебра функції, і спеціальні функції — еліптичні, циліндрові і ін. По-друге, клас А. ф. замкнутий відносно основних операцій арифметики, алгебри і аналізу; вживання арифметичних дій до функцій цього класу, вирішення рівнянь алгебри з аналітичними коефіцієнтами, диференціювання і інтеграція А. ф. приводять знову к А. ф. Нарешті, А. ф. володіють важливою властивістю єдиності; кожна А. ф. утворює одне «органічно зв'язане ціле», є «єдиною» функцією у всієї своєї природної області існування. Це властивість, яка в 18 ст вважалася невіддільною від самого поняття функції, придбало принципове значення після встановлення в 1-ій половині 19 ст загальної точки зору на функцію як на довільну відповідність.
Теорія А. ф. створена в 19 ст, в першу чергу завдяки роботам О. Коші, Би. Рімана і К. Вейерштраса . Вирішальну роль в побудові цієї теорії зіграв «вихід в комплексну область» — перехід від дійсного змінного х до комплексного змінного z = х + iy, яке може мінятися в довільної області комплексної плоскості. Теорія А. ф. виникла як теорія функцій комплексного змінного; в деякому розумінні саме аналітичні (а не довільні комплексні функції двох дійсних змінних х і в ) природно вважати функціями комплексного змінного z. Теорія А. ф. складає основний вміст загальної теорії функцій комплексного змінного. Тому часто під теорією функцій комплексного змінного розуміють саме теорію А. ф.
Існують різні підходи до поняття аналітичної. У основі одного з них, вперше розвиненого Коші і далеко просунутого Ріманом, лежить структурна властивість функції — існування похідної по комплексному змінному, або комплексна діфференцируємость. Цей підхід тісно пов'язаний з геометричними міркуванням і. Інший підхід, що систематично розвивався Вейерштрасом, грунтується на можливості представлення функцій статечними рядами; він зв'язаний, тим самим, з аналітичним апаратом, яким може бути змальована функція. Основний факт теорії А. ф. полягає в тотожності відповідних класів функцій, що розглядаються в довільної області комплексної плоскості.
Приведемо точні визначення. Усюди надалі через z позначається комплексне число х + iy, де x і в — дійсні числа. Геометрично число z зображається точкою плоскості з координатами х і в; евклідова плоскість, точки якої ототожнюються з комплексними числами, називається комплексною плоскістю. Хай D — область (відкрита зв'язна безліч) в комплексній плоскості. Якщо кожній точці z області D приведене у відповідність деяке комплексне число w, те говорять, що в області D визначена (однозначна) функція f комплексного змінного z, і пишуть: w = f ( z ) , z ( D. Функція w = f ( z ) = f ( x + iy ) комплексного змінного z ( D може розглядатися як комплексна функція двох дійсних змінних х і в, визначена в області D. Вважаючи w = u + iv, де u і v — дійсні числа, помічають, що завдання такій функції f еквівалентно завданню двох дійсних функцій j і в двох дійсних змінних х і в, визначених в тій же області:
u = j( x, в ) , v = в( x, в ) , ( x, в )Î D.
Хай z — фіксированная точка області D . Додамо z довільний приріст D z = D x + i D в (так, щоб точка z +D z залишалася в межах області D ) і розглянемо відповідний приріст функції f : D f ( z ) = f ( z + ( z ) — f ( z ) . Якщо різницеве відношення D f ( z ) /d z має межу при Dz®0, тобто існує комплексне число А таке, що для будь-якого e > 0 буде ïD f ( z ) /d z - Aï < e як тільки ïDzï < d (d = d(e)> 0), то функція f називається моногенною в точці z, а число А — її похідній в цій крапці: А = f'' ( z ) = df ( z ) / dz. Функція, моногенна в кожній точці області D, називається моногенною в області D.
Якщо функція f моногенна в точці z Î D, те f і відповідні функції j і в мають в цій крапці приватні похідні по х і в; при цьому ¶ f /¶ x = ¶y/¶x + i (¶y/¶x) ¶ f /¶y = ¶j/¶y + i (¶y/¶y) . Проїзводную f’ ( z ) мо-пермалой жно виразити через приватні похідні f по х і по в (досить обчислити межу відношення D f ( z ) /d z двома різними способами — при D z = Dx ® 0 і при D z = i D в ® 0; прирівнюючи відповідні вирази, отримуємо ¶ f /¶ x = (1/ i )¶ f /¶ в або, що те ж саме ¶ f /¶ x + i(¶ f /¶ в )= 0. Переходячи до функцій j і в, цю рівність можна переписати так: ¶j/¶ x = ¶y/¶ в ¶j/¶ в = — ¶y/¶ x . Якщо функція f моногенна в області D, те останні співвідношення справедливі в кожній точці області D; вони називаються рівняннями Коші — Рімана. Слід зазначити, що ці рівняння зустрічалися вже в 18 ст у зв'язку з вивченням функцій комплексного змінного в працях Д''Аламбера і Л. Ейлера .
Моногенность функції f еквівалентна її діфференцируємості в сенсі комплексного аналізу. При цьому під діфференцируємостио f в точці z Î D розуміється можливість представлення її приросту у вигляді D f ( z ) = A D z + а(D z ) D z , де а(Dz)® 0 при D z ® 0; диференціал df ( z ) функції f в точці z, рівний головній частині A D z її приросту D f ( z ), в цьому випадку пропорційний dz = D z і має вигляд f’ ( z ) dz. Корисно порівняти поняття діфференцируємості функції f — в сенсі дійсного аналізу і в сенсі комплексного аналізу. У першому випадку диференціал df має вигляд (¶ f /¶ x ) dx + (¶ f /¶ в ) dy. Зручно переписати цей вираз в комплексній формі. Для цього переходять від незалежних змінних x, в до змінних z,, які формально можна вважати новими незалежними змінними, пов'язаними із старими співвідношеннями: z = х + iy = x - iy (стаючи на цю точку зору, функцію f інколи записують у вигляді f (z, ) . Виражаючи dx і dy через dz і d по звичайних правилах обчислення диференціалів, отримують df = (¶ f/ ¶ z ) dz + (¶ f/ ¶) d, де ¶f/¶z = ( 1 / 2 ) (¶f/¶x - i¶f/¶y) і ¶f/¶ = ( 1 / 2 ) (¶f/¶x + i¶f/¶y) (формальні) похідні функції f по z і відповідно.
Звідси вже неважко укласти, що діфференцируємость функциі f в сенсі комплексного аналізу має місце в тому і лише тому випадку, коли вона діфференцируєма в сенсі дійсного аналізу і справедлива рівність ¶f/¶ = 0, що є короткою формою запису рівнянь Коші — Рімана; при цьому
¶ f /¶ z = f’ = df / dz.
Рівність ¶f/¶ = 0 показує, що диференціюються в сенсі комплексного аналізу є ті і лише ті функції f, які, що розглядаються формально як функції незалежних змінних z і «залежать лише від z», є «функціями комплексного змінного z».
Інтеграл від функції f = j + iy уздовж (що орієнтованою випрямляється) кривий Г можна визначити з допомогою поняття криволінійного інтеграла:
Центральне місце в теорії моногенних функцій (теорії Коші) займає наступна ітегральная теорема Коші: якщо функція моногенна в одинзв'язної області D, те S Г f ( z ) dz = 0 для будь-якої замкнутої кривої Г, лежачої в цій області. У довільної області D те ж твердження справедливе для замкнутих кривих Г, які безперервною деформацією можуть бути поцуплені в точку (залишаючись в межах області D ) . Спираючись на інтегральну теорему Коші, неважко довести інтегральну формулу Коші: якщо функція f моногенна в області D і Г — проста замкнута крива, що належить області D разом зі своєю внутрішністю D Г те для будь-якої точки z Î D Г
(орієнтація кривий Г передбачається позитивною відносно області D Г )
Хай функція f моногенна в області D. Фіксуємо довільну точку z 0 області D і позначимо через g коло з центром в точці z 0 і радіусом r > 0, що належить, разом зі всім кругом: До: Iz - z 0 I < r, області D. Тоді
Представимо ядро Коші 1/( t — z ) для t Îg і z Î K у вигляді суми безконечної геометричної прогресії:
тому ряд сходиться рівномірно відносно t Îg при будь-якому фіксованому z Î K, інтегруючи цей ряд — після множення на
— почленно, отримують розкладання функції f в статечній ряд
K, що сходиться в крузі: I z - z 0 I < r.
Уточнимо тепер поняття аналітичної. Хай f — функція, визначена в області D; вона називається аналітичною (або голоморфною) в крапці z 0 області, якщо існує околиця цієї крапки (круг з центром в z 0 ), в якій функція f представляється статечним рядом:
f ( z ) = а 0 + а 1 ( z - z 0 ) + а 2 ( z - z 0 ) 2 +. . . . + а n ( z - z 0 ) n + . . .
Якщо ця властивість має місце в кожній точці z 0 області D, те функція f називається аналітичною (голоморфною) в області D.
Вище було показане, що функція f , моногенна в області D, аналітічна в цій області. У окремій крапці це твердження невірне; наприклад, функція f ( z ) = êzê 2 = z моногенна в точці z 0 = 0, але ніде не аналітічна. З іншого боку, функція f , аналітична в точці z 0 області D, моногенна в цій крапці. Більш того, сума статечного ряду, що сходиться, має похідні всіх порядків (нескінченно діфференцируєма) по комплексному змінному z ; коефіцієнти ряду можуть бути виражені через похідні функції f в точці z 0 по формулах: а n = f (n) ( z 0 ) / n ! . Статечною ряд, записаний у формі
називається рядом Тейлора функції f в точці z 0 . Тим самим, аналітичну функції f в області D означає, що в кожній точці області D функція f нескінченно діфференцируєма і її ряд Тейлора сходиться до неї в деякій околиці цієї крапки.
Отже, поняття моногенності і аналітичній функції в області тотожні і кожна з наступних властивостей функції f в області D — моногенность, діфференцируємость в сенсі комплексного аналізу, діфференцируємость в сенсі дійсного аналізу разом з виконанням рівнянь Коші — Рімана — може служити визначенням аналітичній f в цій області.
Найважливіша властивість А. ф. виражається наступною теоремою єдиності: дві функції, аналітичні в області D і співпадаючі на якій-небудь безлічі, що має граничну крапку в D, збігаються і у всій області D (тотожні). Зокрема, аналітична в області функція, відмінна від тотожного нуля, може мати в області лише ізольовані нулі.
Якщо Е — довільна безліч (у комплексній плоскості і, зокрема, на дійсній прямій), то функція f (z), z Î E, називається аналітичною на безлічі E, якщо кожна точка цієї безлічі має околицю, на пересіченні якої з безліччю Е функція f представляється статечним рядом, що сходиться; це означає насправді, що f аналітічна на деякій відкритій безлічі, що містить Е (точніше, існує відкрита безліч, що містить Е, і аналітична на нім функція, f співпадаюча з f на безлічі E ) . Для відкритої безлічі поняття аналітичної збігається з поняттям діфференцируємості по безлічі (моногенності). Проте в загальному випадку це не так; зокрема, на дійсній прямій існують функції, не лише що мають похідну, але і що нескінченно диференціюються в кожній крапці, які немає аналітичними ні в одній точці цієї прямої. Наприклад,
З іншого боку, для справедливості теореми єдиності А. ф. істотна властивість зв'язності безлічі E. Тому А. ф. розглядаються зазвичай в областях, тобто на відкритій і зв'язній безлічі.
Важливу роль у вивченні А. ф. грають крапки, в яких порушується властивість аналітичної, — т.з. особливі точки А. ф. Розглянемо тут ізольовані особливі крапки (однозначних) А. ф. Хай f — А. ф. в області вигляду 0 < | z - z 0 | < r; у цій області f розкладається в ряд Лорана:
що містить, взагалі кажучи, не лише позитивні, але і негативні міри z - z 0 . Якщо в цьому розкладанні члени з негативними мірами відсутні ( а n = 0 для n = -1, -2,...), то z 0 називається правильною точкою f . У правильній крапці існує і кінцевий
вважаючи f ( z 0 ) = а 0 , отримують функцію, аналітичну у всьому крузі ïz - z 0 ï < r .
Якщо ряд Лорана функції f містить лише кінцеве число членів з негативними мірами z - z 0 :
те точка z 0 називається полюсом функції f (порядку m); полюс z 0 характеризується тим, що
У випадку, якщо ряд Лорана містить безконечне число негативних мір z — z 0 , то z 0 називається істотно особливою крапкою; у таких крапках не існує ні кінцевої, ні безконечної межі функції f . Якщо z 0 — ізольована особлива точка функції f, то коефіцієнт a -1 в її розкладанні в ряд Лорана називається вирахуванням функції f в точці z 0 .
Функції, уявні у вигляді відношення двох функцій, аналітичних в області D, називається мероморфнимі в області D. Мероморфная в області функція аналітічна в цій області за виключенням, мабуть, кінцевої або рахункової безлічі полюсів; у полюсах значення мероморфной функції вважаються рівними нескінченність. Якщо допустити такі значення, то мероморфниє в області D функції можуть бути визначені як функції, які в околиці кожної точки z 0 області D представіми поруч по мірах z, — z 0 , що містить кінцеве (залежне від z 0 ) число членів з негативними мірами z — z 0 .
Часто аналітичними в області D називають як аналітичні (голоморфні), так і мероморфниє в цій області функції. В цьому випадку голоморфні функції називають також регулярними аналітичними або просто регулярними. Простий клас А. ф. складають функції, аналітичні у всій плоскості; такі функції називають цілими. Цілі функції представляються рядами вигляду
а 0 + а 1 z + а 2 z 2 + ... + а n z n +...,
що сходяться у всій комплексній плоскості. До них відносяться многочлени від z , функції
Функції, мероморфниє у всій плоскості (тобто уявні у вигляді відношення цілих функцій), називаються мероморфнимі функціями. Такими є раціональні функції від z (стосунки многочленів),
еліптичні функції і так далі
Для вивчення А. ф. важливе значення мають пов'язані з ними геометричні вистави. Функцію w = f ( z ) , z ( D можна розглядати як відображення області D в плоскість змінного w . Якщо f є А. ф., то образ f ( D ) області D також є областю (принцип збереження області). З умови комплексної діфференцируємості функції f в точці z 0 Î D слідує, що при f’(z 0 )¹ 0 відповідне відображення зберігає кути в z 0 , як по абсолютному значенню, так і по знаку, тобто є конформним. Т.ч., існує тісний зв'язок між аналітичною і важливим геометричним поняттям конформного відображення . Якщо f аналітічна в D і f ( z ¢) ¹ f ( z ¢¢) при z ¢ ¹ z ¢¢ (такі функції називаються однолистними), то f ¢ ( z ) ¹ 0 в D і f визначає взаємно однозначне і конформне відображення області D на область G = f ( D ) . Теорема Рімана — основна теорема теорії конформних відображень — стверджує, що в будь-якої одинзв'язної області, кордон якої містить більш за одну крапку, існують однолистні А. ф., що конформно відображують цю область на круг або напівплощину.
Диференціюючи рівняння Коші — Рімана, неважко угледіти, що дійсна і уявна частини функції f = j +i y, аналітічни в області D, задовольняють в цій області рівнянню Лапласа:
тобто є гармонійними функціями . Дві гармонійні функції, зв'язані між собою рівняннями Коші, — Рімана називаються зв'язаними. У одинзв'язної області D будь-яка гармонійна функція j має зв'язану функцію в і є, тим самим, дійсною частиною деякою аналітичною в D функції f . Зв'язки з конформними відображеннями і гармонійними функціями лежать в основі багатьох додатків теорії А. ф.
Все сказане вище відносилося до однозначних А. ф. f що розглядається в даної області D комплексної плоскості. Задаючись питанням про можливість продовження функції f як А. ф. у велику область, приходять до поняття А. ф., що розглядається в цілому — у всієї своєї природної області існування. При такому продовженні даної функції область її аналітичної, розширюючись, може налягати сама на себе, доставляючи нові значення функції в точках плоскості, де вона вже була визначена. Тому А. ф., що розглядається в цілому, взагалі кажучи, виявляється багатозначною. До необхідності вивчення багатозначних А. ф. приводять багато питань теорії функцій (звернення функцій, знаходження первісних і побудова А. ф. із заданою дійсною частиною — в багатозв'язкових областях, вирішення рівнянь алгебри з аналітичними коефіцієнтами і др.); такими функціями є
функції алгебри і так далі Регулярний процес, що приводить до повної А. ф., що розглядається в своєї природної області існування, був вказаний До. Вейерштрасом; він носить назву аналітичного продовження по Вейерштрасу.
Початковим є поняття елементу А. ф. — статечного ряду з ненульовим радіусом збіжності. Такий елемент W 0 : a 0 + a 1 (z - z 0 ) + a 2 (z - z 0 ) 2 + ... + a n (z - z 0 ) n + ... визначає деяку А. ф. f в своєму колі збіжності K 0 . Хай z 1 — точка круга K 0 , відмінна від z 0 . Розкладаючи функцію f в ряд Тейлора з центром в точці z 1 , отримують новий елемент W 1 :
b 0 + b 1 ( z - z 1 ) + b 2 ( z- z 1 ) 2 + ... +b n ( z— z 1 ) n + ...,
круг збіжності якого позначають через K 1 . В загальній частині кругів K 0 і K 1 ряд W 1 сходиться до тієї ж функції, що і ряд W 0 . Якщо круг K 1 виходить за межі круга K 0 , то ряд W 1 визначає функцію, задану за допомогою W 0 , на деякій безлічі зовні K 0 (де ряд W 0 розходиться). У цьому випадку елемент W 1 називається безпосереднім аналітичним продовженням елементу W 0 . Хай W 0 , W 1 ..., W N — ланцюжок елементів такий, що W i+1 є безпосереднім аналітичним продовженням W i (i = 1 ..., N — 1); тоді елемент W N називається аналітичним продовженням елементу W 0 (за допомогою даного ланцюжка елементів). Може виявитися так, що центр круга K N належить кругу K 0 , але елемент W N не є безпосереднім аналітичним продовженням елементу W 0 . В цьому випадку суми рядів W 0 і W N в загальній частині кругів K 0 і K N мають різні значення; тим самим аналітичне продовження може привести до нових значень функції в крузі K 0 .
Сукупність всіх елементів, які можуть бути отримані аналітичним продовженням елементу W 0 , утворює повну А. ф. (у сенсі Вейерштраса), породжену елементом W 0 ; об'єднанням їх кругів збіжності є (вейерштрассову) область існування цієї функції. З теореми єдиності А. ф. витікає, що А. ф. у сенсі Вейерштраса повністю визначається завданням елементу W 0 При цьому як початковий може бути узятий будь-якій ін. елемент, що належить цій функції; повна А. ф. від цього не зміниться.
Повна А. ф. f , що розглядається як функція точок плоскості, що належать її області існування D, взагалі кажучи, є багатозначною. Щоб позбавитися від багатозначності, функцію f розглядають не як функцію точок плоскої області D, а як функцію крапок деякій (лежачою над областю D ) багатолистій поверхні R такий, що кожній точці області D відповідає стільки (що проектуються в неї) точок поверхні R, скільки різних значень набуває функція f в цій крапці: на поверхні R функція f стає однозначною функцією. Ідея переходу до таких поверхонь належить Би. Ріману, а самі вони називаються ріманови поверхні. Схематичне зображення ріманових поверхонь функцій приведені на мал. 1 і 2 (відповідно). Абстрактне визначення поняття ріманової поверхні дозволило замінити теорію багатозначних А. ф. теорією однозначних А. ф. на ріманових поверхнях.
Фіксуємо область D, що належить області існування D повною А. ф. f , і який-небудь елемент W функції f з центром в точці області D. Сукупність всіх елементів, які можуть бути отримані аналітичним продовженням елементу W за допомогою ланцюжків, центри яких належать D, називається гілкою А. ф. f . Гілка багатозначної А. ф. може виявитися однозначною А. ф. в області D. Так, наприклад, довільні гілки функцій відповідні будь-якої одинзв'язної області, що не містить точку O, є однозначними функціями; при цьому має рівно n, а Lnz — безконечна безліч різних гілок в кожній такій області. Виділення однозначних гілок (за допомогою тих або інших розрізів області існування) і їх вивчення засобами теорії однозначних А. ф. є одним з основних прийомів дослідження конкретних багатозначних А. ф.
Поняття А. ф. декілька змінних вводиться за допомогою кратних статечних рядів — абсолютно аналогічно тому, як це було зроблене вищим для А. ф. одного змінного. А. ф. декількох комплексних змінних по своїх властивостях також багато в чому аналогічні А. ф. одного комплексного змінного; проте вони володіють і рядом принципово нових властивостей, що не мають аналогів в теорії А. ф. одного змінного. Загальнішим є поняття А. ф. на комплексних многообразіях (поняття комплексного різноманіття є узагальненням поняття ріманової поверхні для багатовимірного випадку).
Літ.: Привалів І. І., Введення в теорію функцій комплексного змінного, 11 видавництво, М., 1967; Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 8 видавництво, т. 3, ч. 2, М-код.—Л., 1969; Маркушевіч А. І., Теорія аналітичних функцій, 2 видавництва, т. 1—2, М., 1967—68; Лаврентьев М. А., Шабат Би. Ст, Методи теорії функцій комплексного змінного, 3 видавництва, М., 1965; Голузін Р. М., Геометрична теорія функцій комплексного змінного, 2 видавництва, М., 1966; Евграфов М. А., Аналітичні функції, 2 видавництва, М., 1968; Свешников А. Р., Тіхонов А. Н., Теорія функцій комплексної змінної, М., 1967; Фукс Би. А., Теорія аналітичних функцій багатьох комплексних змінних, 2 видавництва, М., 1963; Володимирів Ст С., Методи теорії функцій багатьох комплексних змінних, М., 1964; Маркушевіч А. І., Нариси по історії теорії аналітичних функцій, М.— Л., 1951; Математика в СРСР за тридцять років, 1917 — 1947, М.— Л., 1948, с. 319—414; Математика в СРСР за сорок років, 1917 — 1957, т. 1, М., 1959, с. 381—510.
