Гармонійні функції , функції від n змінних ( n ³ 2), безперервні в деякій області разом з приватними похідними першого і другого порядків і що задовольняють в цій області диференціальному рівнянню Лапласа
В багатьох питаннях фізики і механіки, де йдеться про стані частини простору, залежному від положення крапки, але не від часу (рівновага, сталий рух і т. п.), відповідний стан представляється Р. ф. від координат точки. Так, наприклад, потенціал сил тяжіння в області, що не містить притягуючих мас, і потенціал постійного електричного поля в області, що не містить електричних зарядів, суть Р. ф. Так само Р. ф. є потенціал швидкостей сталого безвихорового руху нестискуваної рідини, температура тіла за умови сталого розподіли тепла, величина прогину мембрани, натягнутої на контур довільного вигляду, взагалі неплоский (вагою мембрани нехтують), і т. д.
Найбільш важливі для додатка до фізики і механіки Р. ф. від трьох змінних (координат точки). У окремому випадку, коли область простору обмежена циліндровою поверхнею, створюючі якою паралельні, наприклад, осі z , причому явище, що вивчається, протікає однаковим чином в будь-якій плоскості, перпендикулярній до створюючих (тобто не залежить від координати z ), відповідні Р. ф. від трьох змінних перетворюються на Р. ф. від двох змінних х і в . Останні знаходяться в тісному зв'язку з аналітичними функціями f (x) від комплексного змінного x = х + iy . А саме кожна Р. ф. від х і в є дійсна або уявна частина деякої функції f (x) , і, назад, дійсна і уявна частини будь-якої аналітичної функції суть Р. ф. від x і в . Наприклад, х 2 —у 2 і 2ху , будучи дійсною і уявною частямі функції x 2 = х 2 —у 2 + 2ixy , суть Р. ф. Найважливішими завданнями теорії Р. ф. є краєві, або граничні, завдання, в яких потрібно знайти Р. ф. усередині області на підставі даних, що відносяться до поведінки функції на кордоні цієї області. Таке завдання Дирихле, де Р. ф. шукається по її значеннях, заданих в точках кордону області (наприклад, визначення температури усередині тіла по температурі на його поверхні, підтримуваній так, що вона залежить лише від крапки, але не від часу, або визначення форми мембрани по вигляду контура, на який вона натягнута). Таке також завдання Неймана, де Р. ф. шукається по величині її нормальної похідної заданій на кордоні області (наприклад, визначення температури усередині тіла по заданому на поверхні градієнту температури або визначення потенціалу руху нестискуваної рідини, оточуючої тверде тіло, на підставі того, що нормальні складові швидкостей часток рідини, прилеглих до поверхні тіла, збігаються із заданими нормальними складовими швидкостей точок поверхні тіла).
Для вирішення завдань Дирихле, Неймана і ін. краєвих завдань теорії Р. ф. розроблені різні методи, що мають велике теоретичне значення. Наприклад, для завдання Дирихле відомі: альтернуючий метод (Шварца), метод виметення (Пумнкаре), метод інтегральних рівнянь (Фредгольма), метод верхніх і нижніх функцій (Перону) і ін. При розгляді краєвих завдань для областей загального вигляду виникають важливі питання про умови існування рішень, про стійкість рішень при малих змінах кордону області і ін. Цим питанням присвячені роботи М. Ст Келдиша, М. А. Лаврентьева і ін. радянських математиків. Вельми велике значення для додатків теорії Р. ф. до завдань фізики і техніки має також розробка методів чисельного вирішення краєвих завдань.
Літ.: Келдиш М. Ст, Про вирішувану і стійкості завдання Дирихле, «Успіхи математичних наук», 1940, ст 8; Сретенський Л. Н., Теорія ньютонівського потенціалу, М-код.—Л., 1946; Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 3 видавництво, т. 4, М., 1957; Петровський І. Р., Лекції про рівняння з приватними похідними, 3 видавництва, М., 1961.
