Конформне відображення, конформне перетворення (математичне), відображення однієї фігури (області) на іншу, при якому дві будь-які криві, пересічні під деяким кутом у внутрішній точці першої фігури, перетворяться в кривих другої фігури, пересічних під тим же кутом. Простий приклад До. о. представляє подібність. Інший приклад — До. о. прямого кута на напівплощину. Його можна отримати, якщо кожен промінь, що виходить з точки Про під кутом а до Ox, перетворити в промінь, що виходить з O'' під кутом 2 а до O''x'', і притому так, що кожна точка М-коду, для якої OM = r, перетвориться в точку M'', для якої O''M'' = r 2 . Т. до. М-код змальовує комплексне число z = r ( cos а + i sin а) , а M'' — число z'' = r ( cos2a + i sin2a ) = z 2 , те можна сказати, що що розглядається До. о. здійснюється за допомогою функції комплексного змінного z'' = z 2 . Неважко переконатися в тому, що напівпрямі, паралельні сторонам кута, перетворяться при цьому в напівпараболи із загальним фокусом в O'' .
Потрібно відмітити, що кути з вершиною в точці Про змінюються, збільшуючись удвічі; це не протіворечит визначенню До. о., т. до. Про не є внутрішньою точкою області. У загальному випадку До. о. будь-який криволінійний багатокутник Р, лежачий усередині області, що відображується, перетвориться в криволінійний багатокутник P'' з відповідно рівними кутами, але довжини сторін змінюються непропорційно. Якщо багатокутник Р зменшується, стягуючись в деяку точку A , то і P'' зменшується, стягуючись у відповідну точку A'', при цьому стосунки довжин сторін прагнуть до одного і того ж числа:
,
яке залежить лише від положення точки А (але не від даних багатокутників); воно називається розтягуванням в даній крапці. Вказаний факт дозволяє приблизно розглядати будь-яке. о. «в малому» (тобто в досить малій околиці кожної точки A ) як перетворення подібності, сполучене, взагалі кажучи ще з поворотом (наприклад, чотирикутники Р і P'' ).
До. о. застосовується з давніх пір в картографії, коли потрібна частина поверхні земної кулі змалювати на плоскості (на карті) із збереженням величин всіх кутів; прикладами таких До. о. є стереографічна проекція і Меркатора проекція . Загальніше завдання До. о. довільної поверхні (або її частини) на іншу поверхню (або її частина) вивчається в диференціальній геометрії. Особливе місце займають До. о. одних областей плоскості на інших; їх теорія має істотні застосування в гидро- і аеромеханіці, електростатиці і теорії пружності. Вирішення багатьох важливих завдань виходить без зусиль, коли область, для якої ставиться завдання, має досить простий вигляд (наприклад, круг або напівплощина). Якщо завдання ставиться для іншої, складнішої області, то виявляється достатнім відображувати конформно просту область на дану, щоб отримати рішення нової задачі з відомого рішення. Так, наприклад, завдання про визначення потоку нестискуваної однорідної рідини або газу, оточуючого циліндр з круговим перетином, вирішується порівняно легко. Лінії струму (тобто лінії, уздовж яких направлені швидкості часток рідини), для цього випадку, тут представлена течія при наявності циркуляції . Якщо відображувати конформно зовнішність кругового перетину циліндра на зовнішність поперечного перетину крила літака (профілю крила), то лінії струму для випадку круглого циліндра перейдуть, як можна показати, в лінії струму при обтіканні крила. Знання функції z'', що відображує = f (z) дозволяє підрахувати швидкість потоку в будь-якій крапці, обчислити підіймальну силу крила літака і т. д. Саме таким дорогою йшов Н. Е. Жуковський, створюючи теорію крила літака.
Не всякі області плоскості допускають До. о. один на одного. Так, наприклад, кругове кільце, обмежене концентричними колами радіусів R 1 і R 2 , де R 1 <R 2 , не можна відображувати конформно на інше кільце обмежене колами радіусів r 1 і r 2 , де r 1 <r 2 , якщо R 2 /r 1 ¹r 2 /r 1 . Тим більше чудово, що будь-які дві області, кожна з яких обмежена лише однією кривою (одинзв'язні області), можуть конформно відображувати один на одного (теорема Рімана). Наприклад, будь-який багатокутник допускає До. о. на будь-якій іншій багатокутник, а також на напівплощину або на круг. Тут кути на кордоні, взагалі кажучи, змінюються, але визначення До. о. і не вимагає їх збереження. Що стосується областей, обмежених декількома кривими, то таку область завжди можна відображувати конформно на область, обмежену таким же числом паралельних між собою прямолінійних відрізань (теорема Гільберта) або кіл (теорема Кебе). Але розміри і взаємне розташування цих відрізань або кіл не можна задати довільно.
До. о. однієї області плоскості на іншу або зберігає напрями відліку кутів між кривими — До. о. першого роду; або змінює їх на протилежних — До. про, другого роду. Якщо до будь-якого До. о. першого роду приєднати ще дзеркальне віддзеркалення відносно якої-небудь прямої., то вийде До. о. другого роду.
Якщо ввести комплексні змінні z і z'' в плоскості оригінала і образу, то z'', що розглядається при До. о. як функція від z, є або аналітичною функцією (До. о. першого роду), або функцією, зв'язаною з аналітичною (До. о. другого роду). Назад: будь-яка функція z'' = f (z), аналітична в даної області і що набуває в різних точках області різних значень [ f (z 1 )¹f (z 2 ), якщо z 1 ¹z 2 ] (така функція називається однолистною), відображує конформно дану область на деяку область плоскості z''. Тому вивчення До. о. областей плоскості зводиться до вивчення властивостей однолистних функцій.
Всяке До. о. тривимірних областей переводить сфери і плоскість в сфери і плоскість і зводиться або до перетворення подібності, або до послідовно виконаним одному перетворенню інверсії і одному перетворенню подібності (теорема Ліувіля). Внаслідок цього До. о. тривимірних (і взагалі багатовимірних) областей не мають такого великого значення і таких всіляких застосувань, як До. о. двовимірних областей.
Початок теорії До. о. було закладене Л. Ейлером (1777), що встановив значення функцій комплексного змінного у завданні До. о. частин сфери на плоскість (побудова географічних карт). Вивчення загального завдання До, о. однієї поверхні на іншу привело в 1822 До. Гауса до розвитку загальної теорії поверхонь. Би. Ріман (1851) встановив умови, при яких можливо До. о. однієї області (плоскість) на іншу; проте намічене ним рішення удалося обгрунтувати лише на початку 20 ст (у працях А. Пумнкаре і К. Каратеодорі ) . Дослідження Н. Е. Жуковського, С. А. Чаплигина, що відкрили широке поле додатків До. о. в аеро- і гідромеханіці, послужили потужною стимул-реакцією для розвитку теорії До. о. як великого розділу теорії аналітичних функцій. У цій області істотне значення мають теоретичні праці вітчизняних учених.
Літ.: Лаврентьев М. А., Шабат Би. Ст, Методи теорії функцій комплексного змінного, 3 видавництва, М., 1965; Голузін Р. М., Геометрична теорія функцій комплексного змінного, 2 видавництва, М., 1966; Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 8 видавництво, т. 3, ч. 2, М., 1969; Маркушевіч А. І., Теорія аналітичних функцій, 2 видавництва, т. 2, М., 1968: Коппенфельс Ст, Штальман Ф., Практика конформних відображень, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1963.
