1) Особлива точка кривої, заданої рівнянням F ( x, в ) = 0, — точка М 0 ( х 0 , y 0 ), в якій обидві приватні похідні функції F ( x, в ) перетворюються на нуль:
Якщо при цьому не всі другі приватні похідні функції F ( x, в ) в точці М 0 дорівнюють нулю, те О. т. називають подвійною. Якщо поряд з перетворенням на нуль перших похідних в точці М 0 перетворюються на нуль і всі другі похідні, але не всі треті похідні дорівнюють нулю, то О. т. називається потрійною, і т.д. При дослідженні будови кривої поблизу подвійний О. т. важливу роль грає знак вираження
Якщо D > 0, те О. т. називається ізольованою; наприклад, в крівой в 2 — х 4 + 4x 2 = 0 початок координат є ізольована О. т. (см. мал.(малюнок) 1 ). Якщо D < 0, те О. т. називається вузловою, або точкою самопересеченія; наприклад, в кривої ( x 2 + в 2 + a 2 ) 2 — 4a 2 x 2 — а 4 = 0 початок координат є вузлова О. т. (см. мал.(малюнок) 2 ). Якщо D = 0, те О. т. кривої є або ізольованою, або характеризується тим, що різні гілки кривої мають в цій крапці загальну дотичну, наприклад: а) точка повернення 1-го роду — різні гілки кривої розташовані по різні сторони від загальної дотичної і утворюють вістря, як в кривої в 2 — х 3 = 0 (см. мал.(малюнок) 3 , а ); би) точка повернення 2-го роду — різні гілки кривої розташовані по одну сторону від загальної дотичної, як в крівой ( в — x 2 ) 2 — х 5 = 0 (см. мал.(малюнок) 3 , би); у) точка самопрікосновенія (для кривої в 2 — х 4 = 0 початок координат є точкою самопрікосновенія; (см. мал.(малюнок) 3 , в). Поряд з вказаними О. т. є багато інших О. т. із спеціальними назвами; наприклад, асимптотична крапка — вершина спіралі з безконечним числом витків (см. мал.(малюнок) 4 ), точка припинення, кутова точка і т.д.
2) Особлива точка диференціального рівняння — крапка, в якій одночасно перетворюються на нуль і чисельник і знаменник правої частини диференціального рівняння
, (1)
де Р і Q — функції, що безперервно диференціюються. Передбачаючи О. т. розташованою на початку координат і використовуючи Тейлора формулу, можна представити рівняння (1) у вигляді
,
де P 1 ( x, в ) і Q 1 ( x, в ) — нескінченно малі по відношенню до Характер поведінки інтегральних кривих біля О. т. залежить від коріння l 1 і l 2 характеристичного рівняння
.
Саме, якщо l 1 ¹ l 2 і l 1 l 2 > 0 або l 1 = l 2 , те О. т. є вузол; всі інтегральні криві, що проходять через крапки досить малої околиці вузла, входять в нього. Якщо l 1 ¹ l 2 і l 1 l 2 < 0, те О. т. є сідло; у околиці сідла чотири інтегральні криві (сепаратріси) входять в О. т., а між ними розташовуються інтегральні криві типа гіпербол. Якщо l 1,2 = а ± i b, а ¹ 0 і b ¹ 0, то О. т. є фокус; всі інтегральні криві, що проходять через крапки досить малої околиці фокусу, є спіралями з безконечним числом витків в будь-якій скільки завгодно малій околиці фокусу. Якщо, нарешті, l 1,2 = ± i b, b ¹ 0, то характер О. т. не визначається одними лінійними членами в розкладаннях Р ( х, в ) і Q ( x, в ), як це мало місце у всіх перерахованих випадках; тут О. т. може бути фокусом або центром а може мати і складніший характер. У околиці центру всі інтегральні криві є замкнутими і містять центр усередині себе. Так, наприклад, крапка (0, 0) є вузлом для рівнянь в '' = 2 у/х (l 1 = 1, l 2 = 2; див.(дивися) мал.(малюнок) 5 , а) і в '' = у/х (l 1 = l 2 = 1; див.(дивися) мал.(малюнок) 5 , би), сідлом для рівняння у'' = —у/х (l 1 = —1, l 2 = 1 ; див.(дивися) мал.(малюнок) 6 ), фокусом для рівняння у'' = ( х + в ) / ( х — в ) (l 1 = 1 — i , l 2 = 1 + i ; див.(дивися) мал. 7 ) і центром для рівняння у'' = -х / в (l 1 = —i , l 2 = i ; див.(дивися) мал.(малюнок) 8 ).
Якщо, то О. т. називають особливою точкою вищого порядку. О. т. вищого порядку можуть належати до вказаних типів, але можуть мати і складніший характер. У разі, коли функції Р ( х, в ) і Q ( х, в ) аналітичні, околиця О. т. вищого порядку може розпадатися на області: D 1 — заповнені інтегральними кривими, обома кінцями вхідними в О. т. (еліптичні області), D 2 — заповнені інтегральними кривими, одним кінцем вхідними в О. т. (параболічні області), і D 3 — області, обмежені двома інтегральними кривими, вхідними в О. т., між якими розташовані інтегральні криві типа гіпербол (гіперболічні області) (см. мал.(малюнок) 9 ). Якщо немає інтегральних кривих, вхідних в О. т., те О. т. називається точкою стійкого типа. Околиця стійкою О. т. складається із замкнутих інтегральних кривих, що містять О. т. усередині себе, між якими розташовані спіралі (см. мал.(малюнок) 10 ).
Вивчення О. т. диференціальних рівнянь, тобто по суті вивчення поведінки сімейств інтегральних кривих в околиці О. т., складає один з розділів якісної теорії диференціальних рівнянь і грає важливу роль в додатках, зокрема в питаннях стійкості руху (роботи А. М-код.Ляпунова, А. Пумнкаре і ін.).
3) Особлива точка однозначної аналітичної функції — крапка, в якій порушується аналітична функції (див. Аналітичні функції ). Якщо існує околиця О. т. а , вільна від інших О. т., то точку а називають ізольованою О. т. Якщо а — ізольована О. т. і існує кінцевий, то а називають усуненою О. т. Шляхом належної зміни визначення функції в крапці а, саме, вважаючи f ( а ) = b , можна добитися того, що а стане звичайною точкою виправленої функції. Наприклад, точка z = 0 є усуненим О. т. для функції, оскільки ; для функції f 1 ( z ) = f ( z ), якщо z ¹ 0, і f 1 (0) = 1, точка z = 0 є звичайною крапкою [ f 1 ( z ) аналітічна в точці z = 0]. Якщо а — ізольована О. т. і, то а називають полюсом або неістотно особливою точкою функції f ( z ), якщо ж не існує, то істотно особливою крапкою. Ряд Лорана (див. Лорана ряд ) функції f ( z ) в околиці ізольованою О. т. не містить негативних мір z — а , якщо а — усунена О. т., містить кінцеве число негативних мір z — а , якщо а — полюс (при цьому порядок полюса р визначається як найвища міра, що зустрічається у ряді Лорана), і містить як завгодно високі міри, якщо а — істотно особлива крапка. Наприклад, для функції
( p = 2, 3 .)
точка z = 0 є полюсом порядку р , для функції
крапка z = 0 є істотно особливою крапкою.
На кордоні круга збіжності статечного ряду повинна знаходитися принаймні одна О. т. функції, що представляється усередині цього круга даним статечним рядом. Всі граничні точки області існування однозначної аналітичної функції (природного кордону) є О. т. цієї функції. Так, всі точки одиничного круга | z | = 1 є особливими для функції
.
Для багатозначної аналітичної функції поняття «Про. т.» складніше. Окрім О. т., в окремих листах ріманової поверхні функції (тобто О. т. однозначних аналітичних елементів) всяка точка галуження також є О. т. функції. Ізольовані точки галуження ріманової поверхні (тобто такі точки галуження, що в деякій їх околиці ні в одному аркуші немає інших О. т. функції) класифікуються наступним образом. Якщо а — ізольована точка галуження кінцевого порядку і існує кінцевий, то О. т. називають звичайною критичною крапкою; якщо ж, то а називають критичним полюсом. Якщо а — ізольована точка галуження безконечного порядку і існує (кінцевий або безконечний), то а називають трансцендентною О. т. Всі останні ізольовані точки галуження називають критичними істотно особливими крапками. Приклади: точка z = 0 є звичайною критичною точкою функції, критичним полюсом функції, трансцендентної О. т. функції f ( z ) = ln z і критичною істотно особливою точкою функції f ( z ) = sin ln z .
Всяка О. т., окрім усуненої, є перешкодою при аналітичному продовженні, тобто аналітичне продовження уподовж кривою, такою, що проходить через неусувну О. т., неможливо.
