Ляпунов Олександр Михайлович [25.5(6.6) .1857, Ярославль, — 3.11.1918, Одеса], російський математик і механік, академік Петербурзької АН(Академія наук) (1901; член-кореспондент 1900). Учень П. Л. Чебишева . У 1880 закінчив Петербурзький університет. З 1885 доцент, з 1892 професор Харківського університету; з 1902 працював в Петербурзькій АН(Академія наук). Л. створив сучасну строгу теорію стійкості рівноваги і руху механічних систем, визначуваних кінцевим числом параметрів. З математичного боку це питання зводиться до дослідження граничної поведінки вирішень систем звичайних диференціальних рівнянь при прагненні незалежного змінного до нескінченності. Стійкість визначалася Л. по відношенню до обурень початкових даних руху. До робіт Л. питання про стійкість зазвичай вирішувалися по першому наближенню тобто шляхом відкидання всіх нелінійних членів рівнянь, причому не з'ясовувалася законність такої лінеаризації рівнянь руху. Видатна заслуга Л. — побудова загального методу для вирішення завдань про стійкість; основна праця — докторська дисертація Л. «Загальне завдання про стійкість руху» (1892). У цій роботі дається строге визначення основних понять теорії стійкості, вказуються випадки, коли розгляд лінійних рівнянь першого наближення дає рішення питання про стійкість, і проводиться детальне дослідження деяких важливих випадків, коли перше наближення не дає відповіді на це питання. Дисертація і подальші роботи Л. у даної області містять цілий ряд фундаментальних результатів в теорії звичайних диференціальних рівнянь як лінійних, так і нелінійних.
Великий цикл досліджень Л. присвячений теорії фігур рівноваги рідини, що рівномірно обертається, частки якій взаємно притягуються за законом усесвітнього тяжіння. До Л. були встановлені для однорідної рідини еліпсоїдні фігури рівноваги. Л. вперше довів існування фігур рівноваги однорідною і слабо неоднорідною рідині, близьких до еліпсоїдних. Він встановив, що від деяких еліпсоїдних фігур рівноваги відгалужуються близькі до них нееліпсоїдні фігури рівноваги однорідної рідини, а від інших еліпсоїдних фігур рівноваги відгалужуються фігури рівноваги слабо неоднорідній рідині. Л. вирішив також завдання, запропоноване йому ще в початку його наукової діяльності П. Л. Чебишевим, про можливість відгалуження від еліпсоїдної фігури рівноваги з найбільшою (можливою для еліпсоїдів) кутовою швидкістю нееліпсоїдних фігур рівноваги. Відповідь вийшла негативною. Л. вперше строго довів існування близьких до сфери фігур рівноваги неоднорідної рідини, що повільно оберталася, при вельми загальних припущеннях про зміні щільності з глибиною. Л. займався також дослідженням стійкості як еліпсоїдних фігур, так і відкритих їм нових фігур для випадку однорідної рідини. Сама постановка питання про стійкість для суцільного середовища (рідина) до робіт Л. була неясною. Він вперше строго поставив питання і за допомогою тонкого математичного аналізу провів дослідження стійкості фігур рівноваги. Зокрема, він довів нестійкість так званих грушовидних фігур рівноваги і тим самим спростував протилежне затвердження англійського астронома Дж. Дарвіна . Цикл робіт Л. по фігурах рівноваги рідини, що обертається, і стійкості цих фігур займає центральне місце у всій теорії фігур рівноваги.
Невеликим за об'ємом, але вельми важливим для подальшого розвитку науки був цикл робіт Л. по деяких питаннях математичної фізики. Серед робіт циклу основне значення має його праця «Про деякі питання, пов'язані із завданням Дирихле» (1898). Ця робота заснована на дослідженні властивостей потенціалу від зарядів і диполів, безперервно розподілених по деякій поверхні. Найбільш істотне дослідження так званого потенціалу подвійного шару (випадок диполів). Далі Л. отримав важливі результати, що стосуються поведінки похідних рішення задачі Дирихле (див. Гармонійні функції ) при наближенні до поверхні, на якій задана гранична умова. На цій основі ним вперше були доведені симетрія функції Гріна для завдання Дирихле і формула, що дає рішення задачі у вигляді інтеграла по поверхні від твору функції, що входить в граничну умову, на нормальну похідну функції Гріна. За всіх цих умов Л. накладає на граничну поверхню деякі обмеження; поверхні, що задовольняють їм називаються тепер поверхнями Л.
В теорії вірогідності Л. запропонував новий метод дослідження (метод «характеристичних функцій»), чудовий по своїй спільності і плідності; узагальнюючи дослідження П. Л. Чебишева і А. А. Марков (старшого), Л. довів так звану центральну граничну теорему теорії вірогідності за значно загальніших умов, ніж його попередники (див. Ляпунова теорема ).
Соч.: Загальне завдання про стійкість руху, М. — Л., 1950; Вибрані праці, під редакцією Ст І. Смирнова, Л., 1948 (є бібліографія праць Л. і література про нього); Зібрання творів, т. 1—5, М., 1954—65.
Літ.: Матеріали для біографічного словника дійсних членів Академії наук, ч. 1, П., 1915 (Імператорська Академія наук 1889—1914, т. 3); Ляпунов Би. М., Короткий нарис життя і діяльності А. М. Ляпунова, Л., 1930; Олександр Михайлович Ляпунов. Бібліографія, укладач А. М. Лукомськая, М. — Л., 1953.
