Ляпунова теорема в теорії вірогідності, теорема, що встановлює деякі вельми загальні достатні умови для збіжності розподілу сум незалежних випадкових величин до нормального закону. Сформульована і доведена А. М. Ляпуновим в 1901. Л. т. завершує дослідження П. Л. Чебишева, А. А. Марков (старшого) і самого А. М. Ляпунова в цьому основному для всієї теорії вірогідності напрямі. Точне формулювання Л. т. така: хай незалежні випадкові величини X i ..., X n , ... мають кінцеві математичні чекання Ex до , дисперсії Dx до і при d > 0 абсолютних моментів і хай — дисперсія суми X i ..., X n . Затверджується, що, якщо при деякому d>0
(умова Ляпунова), то вірогідність нерівності
прагне при n ® ¥ до межі
рівномірно відносно всіх значень x 1 і x 2 . Ляпунов дав також оцінку швидкості збіжності в Л. т. Надалі були встановлені умови, що розширюють умову Ляпунова і що є не лише достатніми, але в деякому розумінні необхідними. Див. Граничні теореми теорії вірогідності.
Літ.: Ляпунов А. М., Нова форма теореми про межу вірогідності, Зібрання творів, т. 1, М., 1954, с. 157; Бернштейн С. Н., Теорія вірогідності, 4 видавництва, М. — Л., 1946 с. 275.
