Граничні теореми теорії вірогідності, загальна назва ряду теорем вірогідності теорії, вказуючих умови виникнення тих або інших закономірностей в результаті дії великого числа випадкових чинників. Історично перші П. т. — теорема Бернуллі (1713) і теорема Лапласа (1812) — відносяться до розподілу відхилень частоти появи деякої події Е при n незалежних випробуваннях від його вірогідності р (0 < р < 1). Частотою називається відношення m/n, де m — число настань події Е при n випробуваннях (точні формулювання див.(дивися) в ст. Бернуллі теорема і Лапласа теорема ). С. Пуассон (1837) розповсюдив ці теореми на випадок, коли вірогідність p до настання Е в k- м-коду випробуванні може залежати від до, описавши граничну поведінку при n ® ¥ розподіли відхилень частоти m/n від середнього арифметичного вірогідності p до (1 £ до £ n ):
(див. Великих чисел закон ) . Якщо позначити через X до випадкову величину, що набуває значення, рівного одиниці при появі події Е в k- м-коду випробуванні, і значення, рівне нулю при його непояві, то m можна представити у вигляді суми
m = X 1 + X 2 +... + X n ,
що дозволяє розглядати перераховані теореми як окремі випадки загальних П. т., незалежних випадкових величин, що відносяться до сум (закону великих чисел і центральної граничної теореми).
Закон великих чисел . Хай
X 1 , X 2 ..., X n ... (*)
— яка-небудь послідовність незалежних випадкових величин, s n — сума перших n з них
суми s n . Говорять, що послідовність (*) підкоряється закону великих чисел, якщо при будь-якому e > 0 вірогідність нерівності
прагне до нуля при n ® ¥.
Широкі умови прикладеності закону великих чисел знайдені вперше П. Л. Чебишевим (у 1867) (див. Великих чисел закон ) . Ці умови потім були узагальнені А. А. Марковом (старшим). Питання про необхідні і достатні умови прикладеності закону великих чисел було остаточно вирішене А. Н. Колмогоровим (1928). У разі, коли величини X n мають одну і ту ж функцію розподілу, ці умови, як показав А. Я. Хинчин (1929), зводяться до одного: величини X n повинні мати кінцеві математичні чекання.
Центральна гранична теорема . Говорять, що до послідовності (*) застосовна центральна гранична теорема, якщо при будь-яких z 1 і z 2 вірогідність нерівності
z 1 B n < s n — A n < z 2 B n
має межею при n ® ¥ — величину
(див. Нормальний розподіл ) . Досить загальні достатні умови застосовності центральної граничної теореми були вказані Чебишевим (1887), але і в його доказі виявилися пропуски, заповнені лише пізніше Марковом (1898). Рішення питання, близьке до остаточного, було отримане А. М. Ляпуновим (1901). Точне формулювання теореми Ляпунова таке: хай
c до = E | X до — Е Х до | 2+ d , d > 0
C n = c 1 + c 2 +... + c n .
Якщо відношення прагне до нуля при n ® ¥, то до послідовності (*) застосовна центральна гранична теорема. Остаточне рішення питання про умови прикладеності центральної граничної теореми отримане в основних межах С. Н. Бернштейном (1926) і доповнено Ст Феллером (1935).
З ін. напрямів робіт в області П. т. можна відзначити наступні.
1) Початі Марковом і продовжені Бернштейном і ін. дослідження умов прикладеності закону великих чисел і центральної граничної теореми до сум залежних величин.
2) Навіть в разі послідовності однаково розподілених випадкових величин можна вказати прості приклади, коли суми мають в межі розподіл, відмінний від нормального (йдеться про невироджених розподілах, тобто про розподіли, не зосереджені цілком в одній крапці). У роботах радянських математиків А. Я. Хинчина, Би. Ст Гнеденко, французьких математиків П. Льові, В. Дебліна і ін. повністю вивчені як клас можливих граничних розподілі для сум незалежних випадкових величин, так і умови збіжності розподілів сум до того або іншого граничного розподілу.
3) Значна увага приділяється т.з. локальним П. т. Хай, наприклад, величини X n приймають лише цілі значення. Тоді суми s n приймають також лише цілі значення і природно поставити питання про граничну поведінку вірогідності P n ( m ) того, що s n = m (де m — ціле). Простим прикладом локальною П. т. може служити локальна теорема Лапласа (див. Лапласа теорема ) .
4) П. т. в їх класичній постановці описують поведінку окремої суми s n із зростанням номера n. Досить загальні П. т. для вірогідності подій, залежних відразу від декількох сум, отримані вперше Колмогоровим (1931). Так, наприклад, з його результатів виходить, що за вельми широких умов вірогідність нерівності
має межею величину
( z > 0)
5) Перераховані вище П, т. відносяться до сум випадкових величин. Прикладом П. т. іншого роду можуть служити П. т. для членів варіаційного ряду . Ці П. т. детально вивчені радянськими математиками Б. В. Гнеденко і Н. Ст Смирновим.
6) Нарешті, до П. т. відносять також і теореми, що встановлюють властивості послідовностей випадкових величин, що мають місце з вірогідністю, рівній одиниці (див., наприклад, Повторного логарифма закон ) .
Літ.: Гнеденко Б. Ст, Колмогоров А. Н., Граничні розподіли для сум незалежних випадкових величин, М. — Л., 1949; Ібрагимов І. А., Лінник Ю. Ст, Незалежні і стаціонарно зв'язані величини, М., 1965; Прохоров Ю. Ст, Розанців Ю. А., Теорія вірогідності. Основні поняття. Граничні теореми. Випадкові процеси, 2 видавництва, М., 1973.
