Великих чисел закон (математіч.)
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Великих чисел закон (математіч.)

Великих чисел закон , загальний принцип, через який сукупна дія великого числа випадкових чинників приводить, за деяких вельми загальних умов, до результату, майже не залежного від випадку. Точне формулювання і умови застосовності Б. ч. з. даються в теорії вірогідності. Б. ч. з. є одним з виразів діалектичному зв'язку між випадковістю і необхідністю. Перша точно доведена теорема належить Я. Бернуллі (опублікована після його смерті, в 1713, див.(дивися) Бернуллі теорема ). Теорема Бернуллі була узагальнена С. Пуассоном, у вигадуванні якого «Дослідження про вірогідність думки» (1837) вперше з'явився термін «закон великих чисел». Значно загальніше розуміння цього терміну засноване на роботі П. Л. Чебишева «Про середні величини» (1867). У цьому сучасному розумінні Б. ч. з. стверджує, що при тих, що деяких підлягають точній вказівці умовах середнє арифметичне

загрузка...

 

досить великого числа n випадкових величин X до з вірогідністю, скільки завгодно близькою до одиниці, скільки завгодно мало відрізняється від свого математичного чекання

 

Новим і вельми плідним виявився запропонований Чебишевим метод доказу Б. ч. з., заснований на вживанні т.з. Чебишева нерівності .

  Для незалежних випадкових величин, що мають однакові розподіли вірогідності і кінцеве математичне чекання а, Би. ч. з. стверджує, що при будь-якому e > 0 вірогідність нерівності | х - а | < e прагне до одиниці при n ®¥. Порядок відхилень  від а вказується граничними теоремами теорії вірогідності. У типових випадках відхилення мають порядок

 

Відповідно, випадкові відхилення суми

 

від її математичного чекання na зростають як

 

Цей факт (званий в спрощених популярних викладах «законом кореня квадратного з n ») дає деяке, хоча і грубе, уявлення про характер дії Б. ч. з.

  Наочне пояснення сенсу і значення Б. ч. з. дає наступний приклад. Хай в замкнутій судині поміщене N молекул газу. Відповідно до кінетичної теорії кожна молекула безладно рухається усередині судини, випробовуючи безліч зіткнень з іншими молекулами і стінками судини. Ударяючись об який-небудь майданчик s стінки протягом вибраного проміжку часу в t секунд, окрема молекула повідомляє цьому майданчику імпульс f до (див. Ударний імпульс ). Імпульс f до є типовим випадковим величиною, т.к. состояніє даного газу визначає лише математичне чекання а = E ( f до ) цього імпульсу, фактичне ж значення імпульсу даної молекули за даний проміжок часу може бути самим різним (починаючи від нуля — у випадку, якщо за даний проміжок часу дана молекула не ударялася об майданчик s). Сума

 

імпульсів всіх молекул, що повідомляються майданчику s за даний проміжок часу, є також випадковою величиною з математичним чеканням, рівним А = Na. Проте в силу Б. ч. з. (який виявляється тут з винятковою точністю завдяки тому, що число N дуже велике) F насправді виявляється майже незалежним від випадкових обставин руху окремих молекул а саме — майже точно рівним своєму математичному чеканню А. Цим, з точки зору кінетичної теорії, і пояснюється той факт, що тиск газу на майданчик s є практично строго постійним, а не вагається безладно.

  Часто доводиться застосовувати Б. ч. з. і в такій обстановці, коли кількість випадкових доданків не настільки велика, як в прикладі з газовими молекулами; тоді відхилення суми випадкових величин від її математичного чекання можуть бути значними. В цьому випадку украй поважно уміти оцінювати розміри цих відхилень. Хай, наприклад, з 1000 партій яких-небудь виробів, по 100 шт. в кожній, узято для випробування наугад по 10 шт. з кожної партії і серед випробуваних 10 000 шт. виявлено 125 дефектних. Якщо позначити n до число дефектних виробів в к-й партії, то загальне число дефектних виробів рівне

 

математичне чекання числа дефектних виробів серед тих десяти, які узяті для випробувань з к-й партії, рівне S до = ( 10 / 100 ) n до , а математичне чекання загального числа дефектних виробів в 1000 пробах по 10 штук рівне

 

В силу Б. ч. з. природно вважати, що n / 10 ~ 125, тобто серед 100 000 виробів у всіх партіях є приблизно 1250 дефектних. Точніше дослідження за допомогою теорії вірогідності приводить до такого результату: якщо вибірка виробів з кожної партії була дійсно випадковою, то можна з достатньою упевненістю стверджувати, що фактично 1000 < n < 1500, але вже оцінка 1100 < n < 1400 не була б досить надійною, а для оцінки 1200 < n < 1300 зовсім немає серйозних підстав. Отримати точнішу оцінку n можна, лише випробувавши більше число виробів.

  Умова незалежності складових в більшості вживань Би. ч. з. якщо і виконується, то лише з тим або іншим наближенням. Так, вже в першому прикладі руху окремих молекул газу не можна, строго кажучи, вважати незалежними. Тому важливе дослідження умов застосовності Б. ч. з. до випадку залежних доданків. Основні математичні роботи в цьому напрямі належать А. А. Маркова, С. Н. Бернштейну і А. Я. Хинчину . Якісно результати їх досліджень зводяться до того, що Б. ч. з. застосуємо, якщо між доданками з далекими номерами залежність досить слабка. Таке, наприклад, положення в рядах метеорологічних спостережень над температурою або тиском повітря.

  Математична сторона питань, пов'язаних з Би. ч. з., висвітлена також в ст. Граничні теореми теорії вірогідності і Вірогідності теорія . У вживаннях Би. ч. з. необхідно ретельно перевіряти відповідність умов його застосовності реальній обстановці.

  Літ.: Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, 1713 (у русявий.(російський) пер.(переведення)— Частина 4 соч.(вигадування) Я. Бернуллі..., СП(Збори постанов) Би, 1913); Poisson S.-D., Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilités, P., 1837; Чебишев П. Л., Про середніх величинах, Полн. собр. соч.(вигадування), т. 2, М-код.—Л., 1947, с. 431—37; Гнеденко Б. Ст, Курс теорії вірогідності, 4 видавництва, М., 1965.

  Л. Н. Колмогоров.