Великих чисел закон в економічній науці і в соціально-економічній статистиці, прояв один з найважливіших об'єктивних законів, супутній формуванню закономірностей масових соціально-економічних процесів. У якісно однорідних совокупностях, що складаються з випадкових одиничних явищ, закономірності виявляються (і, отже, можуть вивчатися) лише на чималому числі одиниць (випадків); ці закономірності можуть бути кількісно виражені лише у формі середніх чисел (наприклад, середніх рівнів, середніх доль ознаки або груп в сукупності, різних коефіцієнтів і інших узагальнювальних характеристик); середні числа виражають їх тим точніше, чим більше число одиниць явища ними охоплюється; відхилення цих окремих одиниць в ту і іншу сторону від характеристики загальної закономірності всього явища, що викликаються випадковими причинами, при чималому числі одиниць майже взаїмопогашаются. У будь-якому масовому явищі поряд з чинниками, загальними для всієї маси одиниць, діють чинники випадкові, тобто такі, які в індивідуальних одиницях можуть бути різні, і їх дія може бути направлене в різні боки — оскільки між цими одиницями є відома міра взаємної незалежності. В результаті взаїмопогашенія дії випадкових чинників виявляється дія чинників, загальних явищу, тобто виявляється необхідність, закономірність всього масового явища. Б. ч. з. не має відношення до другої групи чинників (причин), отже, до суті масового явища. Він не створює ні самих, що виявляються в середньому, закономірностей, ні їх загальної середньої міри для маси одиниць явища (наприклад, рівня вартості або продуктивності праці, середньої норми прибули, вірогідність захворювання і т.д.); отже, Би. ч. з. не в змозі ні змінити середній рівень явища, ні викликати стійкість динамічного ряду рівнів, ні зумовити розміри відхилень від середнього рівня, ні, тим більше, служити поясненню реальних причин виникнення самого рівня або відхилень від нього. Звідси ясна повна неспроможність антинаукових спроб деяких буржуазних учених приписати Б. ч. з. чудодійну, майже містичну здатність творити закономірність з хаосу будь-яких випадковостей, навіть якщо в них внутрішня необхідність, внутрішня закономірність і не закладена, — аби було «велике число» одиниць, яке нібито само по собі, незалежно від суті масового явища, приводить до виникнення закономірності в нім. Би. ч. з. не утворює закономірність, а лише управляє її проявом. На інтуїтивному визнанні Б. ч. з. вже грунтувалися в своїх демографічних і статистичних дослідженнях Дж. Граунт (1662), В. Петті, Е. Галлей (1693), І. Зюсмільх (1741), А. Кетле. У 19 ст тлумачення економічних явищ, як масових з супутнім дією Б. ч. з., набуває всього більшого поширення. У працях До. Маркса, особливо в «Капіталі», всі категорії економічної дійсності і економічної науки виступають як середні величини (середнє суспільне необхідний робочий час, простий середня праця, середня в даному суспільстві рівень умілості і інтенсивності праці, середня швидкість звернення грошей, середня норма прибули і т.д.). Рівним чином лише як середні рівні, лише в середньому можуть виявлятися, по концепції Маркса, будь-які економічні закони і закономірності (при капіталізмі що діють «сліпо», стихійно). В той же час Маркс і Енгельс неодноразово писали про специфічну форму прояви економічних законів і закономірностей: «Сукупний рух цього безладу є його порядок» (Маркс До., див.(дивися) Маркс До. і Енгельс Ф., Соч., 2 видавництва, т. 6, с. 438; йдеться про русі цін); «...Общие закони здійснюються... лише як пануюча тенденція як деяка ніколи твердо середня, що не встановлюється, постійних коливань» (Маркс До., там же, т. 25, ч. 1, с. 176); «...внутренній закон, що прокладає собі дорогу через ці випадковості і регулюючий їх, стає видимим лише тоді, коли вони охоплюються у великих масах, і... він залишається тому невидимим і незрозумілим для самих окремих агентів виробництва» (там же, т. 25, ч. 2, с. 396); про «економічні закони взагалі» Енгельс писав: «...все вони не мають іншого реальності, окрім як в наближенні, в тенденції, в середньому, але не в безпосередній дійсності» (там же, т. 39, с. 355). Відхилення безлічі цін від вартості Маркс трактує як форму прояву закону вартості: «...возможность відхилення ціни від величини вартості поміщена вже в самій формі ціни. І це не є недоліком цієї форми, — навпаки, саме ця відмінна риса робить її адекватной формою такого способу виробництва, при якому правило може прокладати собі дорогу крізь безладний хаос лише як закон середніх чисел, що сліпо діє» (там же, т. 23, с. 112). Пізніше В. І. Ленін писав про те ж в декілька інших виразах: «...вполне природно, що в товаристві розрізнених товаровиробників, зв'язаних лише ринком, закономірність не може виявлятися інакше як в середній, суспільній, масовій закономірності при взаїмопогашенії індивідуальних ухилень в ту або іншу сторону» (Полн. собр. соч.(вигадування), 5 видавництво, т. 26, с. 68). Не виникає сумнівів, що і Маркс, і Ленін говорять тут о Б. ч. з., проте Маркс називає його іншим терміном: Durchschnittsgesetz, тобто «законом усереднювання», «усереднюючим законом», «законом середніх чисел»; причину цього треба бачити в тому, що факт прояву будь-якого закону у вигляді середньої величини Маркс вважав істотнішим за факт його прояву лише на великому числі випадків. Звідси — стале в сучасній статистичній науці ототожнення понять і термінів «Би. ч. з.» і «закон середніх чисел», часто «закон великих (середніх) чисел».
Необхідно строго розрізняти взаїмопогашеніє випадкових відхилень окремих одиниць від середнього рівня всього масового явища при дії Б. ч. з. і чисте урівноваження алгебри суми позитивних і суми негативних відхилень при обчисленні будь-якої арифметичної середньої. Ці останні врівноважуються через саме правило обчислення середньою і притому повністю, як в разі типової середньої для однорідної сукупності (коли індивідуальні відхилення дійсно випадкові), так і при чисто фіктивною, «огульною» середньою для явно різнорідної сукупності (коли в індивідуальних відхиленнях переплетені і істотні і випадкові елементи), і притому при будь-якому числі індивідуальних значень, що об'єднуються арифметичною середньою. Дія ж Б. ч. з. полягає у взаїмопогашенії випадкових відхилень від рівня, відповідного закономірності масового явища і лише приблизно відбиваного середньою величиною, а тому таке взаїмопогашеніє не може бути повним, і воно залежить від чисельності вхідних в масу одиничних явищ.
Значення факту дії Б. ч. з. велике для будь-якої сучасної науки, зокрема і особливо — для наукової розробки теорії статистики і методів статистичного пізнання. Дія Б. ч. з. має загальне значення для самих об'єктів статистичного вивчення — статистичних совокупностей з їх звідними ознаками і масовими закономірностями. На планомірному використанні дії Б. ч. з. при випадковому відборі одиниць масової сукупності для утворення вибірки заснований важливий статистичний метод вибіркового спостереження.
Літ.: Слуцкий Е. Е., До питання про закон великих чисел, «Вісник статистики», 1925, кн. 22 № 7—9; Ястремський Би. С., Праці по статистиці..., М., 1937, с. 311-348, 459-498; Лівшиц Ф. Д., Закон великих (середніх) чисел в суспільних явищах, «Уч. зап.(західний) за статистикою АН(Академія наук) СРСР», 1955, т. 1, с. 166—92; його ж, До питання про оцінку робіт А. А. Чупрова і С. Пуассона, «Вісник статистики», 1958 № 4; Пасхавер І. З,, Закон великих чисел і закономірності масового процесу, М., 1966; Питання статистичної методології і статістіко-економічного аналізу. Матеріали міжвузівської наукової конференції, М., 1966, с. 63—102; Малий І. Р., Питання статистики в «Капіталі» Карла Маркса, М., 1967, гл.(глав) III (в главі також приведено багато висловів До. Маркса, Ф. Енгельса і В. І. Леніна про середні величини і Б. ч. з.).
