Вірогідності теорія, математична наука, що дозволяє по вірогідності одних випадкових подій знаходити вірогідність інших випадкових подій, зв'язаних яким-небудь чином з першими.
Твердження про те, що яка-небудь подія настає з вірогідністю, рівною, наприклад, , ще не представляє само по собі остаточній цінності, оскільки ми прагнемо до достовірного знання. Остаточну пізнавальну цінність мають ті результати Ст т., які дозволяють стверджувати, що вірогідність настання якої-небудь події А вельми близька до одиниці або (що те ж саме) вірогідність не настання події А вельми мала. Відповідно до принципу «зневаги досить малою вірогідністю» таку подію справедливо вважають практично достовірною. Нижче (у розділі Граничні теореми) показано, що що мають науковий і практичний інтерес виводи такого роду зазвичай засновані на допущенні, що настання або не настання події А залежить від великого числа випадкових, мало зв'язаних один з одним чинників (див. із цього приводу Великих чисел закон ) . Тому можна також сказати, що Ст т. є математична наука, що з'ясовує закономірності, які виникають при взаємодії великого числа випадкових чинників.
Предмет теорії вірогідності. Для опису закономірного зв'язку між деякими умовами S і подією А, настання або не настання якого за даних умов може бути точно встановлене, природознавство використовує зазвичай одну з наступних двох схем:
а) при кожному здійсненні умов S настає подія А. Такий вигляд, наприклад, мають всі закони класичної механіки, які стверджують, що за заданих початкових умов і сил, що діють на тіло або систему тіл, рух відбуватиметься однозначно певним чином.
би) За умов S подія А має певну вірогідність P ( A / S ) , рівний р. Так, наприклад, закони радіоактивного випромінювання стверджують, що для кожної радіоактивної речовини існує певна вірогідність того, що з даної кількості речовини за даний проміжок часу розпадеться яке-небудь число N атомів.
Назвемо частотою події А в даній серії з n випробувань (тобто з n повторних здійснень умов S ) відношення h = m/n числа m тих випробувань, в яких А настало, до загального їх числа n. Наявність в події А за умов S певної вірогідності, рівної р, виявляється в тому, що майже в кожній досить довгій серії випробувань частота події А приблизно дорівнює р.
Статистичні закономірності, тобто закономірності, що описуються схемою типа (б), були вперше виявлені на прикладі азартних ігор, подібних до гри в кісті. Дуже давно відомі також статистичні закономірності народження, смерті (наприклад, вірогідність новонародженому бути хлопчиком рівна 0,515). Кінець 19 ст і 1-я половина 20 ст відмічено відкриттям великого числа статистичних закономірностей у фізиці, хімії, біології і тому подібне
Можливість вживання методів Ст т. до вивчення статистичних закономірностей, що відносяться до вельми далеких один від одного галузей науки, заснована на тому, що вірогідність подій завжди задовольняє деяким простим співвідношенням, про які буде сказано нижче (див. розділ Основні поняття теорії вірогідності). Вивчення властивостей вірогідності подій на основі цих простих співвідношень і складає предмет Ст т.
Основні поняття теорії вірогідності. найпростіше визначаються основні поняття Ст т. як математичної дисципліни в рамках так званої елементарної Ст т. Кожне випробування Т, що розглядається в елементарною Ст т., таке, що воно закінчується одним і лише однією з подій E 1 , E 2 ..., E S (тим або іншим, залежно від випадку). Ці події називаються результатами випробування. З кожним результатом E до зв'язується позитивне число р до — вірогідність цього результату. Числа p до повинні при цьому в сумі давати одиницю. Розглядаються потім події А, що полягають в тому, що «настає або E i , або E j ..., або E до ». Результати E i , E j ..., E до називаються сприяючими А, і за визначенням вважають вірогідність Р ( А ) події А , рівній сумі вірогідності результатів, що сприяють йому:
P ( A ) = p i + p s + . + p до . (1)
Окремий випадок p 1 = p 2 =... p s = 1/s приводить до формули
Р ( А ) = r/s. (2)
Формула (2) виражає так зване класичне визначення вірогідності, відповідно до якого вірогідність якої-небудь події А дорівнює відношенню числа r результатів, сприяючих А, до s всіх «равновозможних» результатів. Класичне визначення вірогідності лише зводить поняття «вірогідність» до поняття «равновозможності», яке залишається без ясного визначення.
Приклад. При киданні двох гральних кісток кожен з 36 можливих результатів може бути позначений ( i , j ) , де i — число окулярів, випадне на першій кісті, j — на другій. Результати передбачаються рівноімовірними. Події А — «сума окулярів дорівнює 4», сприяють три результати (1; 3) (2; 2) (3; 1). Отже, Р ( A ) = 3/36 = 1/12.
Виходячи з яких-небудь даних подій, можна визначити дві нові події: їх об'єднання (суму) і поєднання (твір). Подія В називається об'єднанням подій A 1 , A 2 ..., A r ,-, якщо воно має вигляд: «настає або A 1 , або А 2 ..., або A r ».
Подія З називається поєднанням подій A 1 , А. 2 ..., A r , якщо воно має вигляд: «настає і A 1 , і A 2 ..., і A r » . Об'єднання подій позначають знаком È, а поєднання — знаком Ç. Таким чином, пишуть:
B = A 1 È A 2 È . È A r , C = A 1 Ç A 2 Ç . Ç A r .
Події А і В називають неспільними, якщо їх одночасне здійснення неможливе, тобто якщо не існує серед результатів випробування що жодного сприяє і А, і Ст
З введеними операціями об'єднання і поєднання подій пов'язано дві основні теореми Ст т. — теореми складання і множення вірогідності.
Теорема складання вірогідності. Якщо події A 1 , A 2 ..., A r такі, що кожні два з них неспільні, то вірогідність їх об'єднання дорівнює сумі їх вірогідності.
Так, в наведеному вище прикладі з киданням двох кісток подія В — «сума окулярів не перевершує 4», є об'єднання трьох неспільних подій A 2 , A 3 , A 4 , що полягають в тому, що сума окулярів рівна відповідно 2, 3, 4. Вірогідність цих подій 1/36; 2/36; 3/36. По теоремі складання вірогідність Р ( В ) рівна
1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.
Умовну вірогідність події В за умови А визначають формулою
що, як можна показати знаходиться в повній відповідності з властивостями частот. Події A 1 , A 2 ..., A r називаються незалежними, якщо умовна вірогідність кожного з них за умови, що які-небудь з останніх настали, рівна його «безумовній» вірогідності (див. також Незалежність в теорії вірогідності).
Теорема множення вірогідності. Вірогідність поєднання подій A 1 , A 2 ..., A r дорівнює вірогідності події A 1 , помноженою на вірогідність події A 2 , узяту за умови, що А 1 настало..., помноженою на вірогідність події A r за умови, що A 1 , A 2 ..., A r-1 настали. Для незалежних подій теорема множення приводить до формули:
P ( A 1 Ç A 2 Ç . Ç A r ) = P ( A 1 ) · P ( A 2 ) · . · P ( A r ) , (3)
тобто вірогідність поєднання незалежних подій дорівнює твору вірогідності цих подій. Формула (3) залишається справедливою, якщо в обох її частинах деякі з подій замінити на протилежних ім.
Приклад. Робиться 4 постріли по меті з вірогідністю попадання 0,2 при окремому пострілі. Попадання в ціль при різних пострілах передбачаються незалежними подіями. Яка вірогідність попадання в ціль рівно три рази?
Кожен результат випробування може бути позначений послідовністю з чотирьох букв [напр., (в, н, н, в) означає, що при першому і четвертому пострілах були попадання (успіх), а при другому і третьому попадань не було (невдача)]. Всього буде 2·2·2·2 = 16 результатів. Відповідно до припущення про незалежність результатів окремих пострілів слід для визначення вірогідності цих результатів використовувати формулу (3) і примітку до неї. Так, вірогідність результату (в, н. н, н) слідує покласти рівною 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024; тут 0,8 = 1—0,2 — вірогідність промаху при окремому пострілі. Події «в мету потрапляють три рази» сприяють результати (в, в, в, н) (в, в, н, в) (в, н, в, в). (н, в, в, в), вірогідність кожного одна і та ж:
Узагальнюючи міркування розібраного прикладу, можна вивести одну з основних формул Ст т.: якщо події A 1 , A 2 ..., A n незалежні і мають кожне вірогідність р, те вірогідність настання рівно m з них рівна
P n ( m ) = C n m p m ( 1 - p ) n-m ; (4)
тут C n m позначає число поєднань з n елементів по m (див. Біноміальний розподіл ) . При великих n обчислення за формулою (4) стають скрутними. Хай в попередньому прикладі число пострілів дорівнює 100, і ставиться питання про відшуканні вірогідності х того, що число попадань лежить в межах від 8 до 32. Вживання формули (4) і теореми складання дає точне, але практично мале придатне вираження шуканій вірогідності
Наближене значення вірогідності х можна знайти по теоремі Лапласа (див. Лапласа теорема )
причому помилка не перевершує 0,0009. Знайдений результат показує, що подія 8 £ m £ 32 практично достовірно. Це найпростіший, але типовіший приклад використання граничних теорем Ст т.
До основних формул елементарною Ст т. відноситься також так звана формула повної вірогідність: якщо події A 1 , A 2 ..., A r попарно неспільні і їх об'єднання є достовірна подія, то для будь-якої події В його вірогідність дорівнює сумі
Теорема множення вірогідності виявляється особливо корисною при розгляді складених випробувань. Говорять, що випробування Т складене з випробувань T 1 , T 2 ..., T n-1 , T n , еслі кожен результат випробування Т є поєднання деяких результатів A i , B j ..., X до , Y l відповідних випробувань T 1 , T 2 ..., T n-1 , T n . З тих або інших міркувань часто бувають відома вірогідність
P ( A i ) , P ( B j /a i ) , ., P ( Y l /a i Ç B j Ç . Ç X до ). (5)
По вірогідності (5) за допомогою теореми множення може бути визначені вірогідність Р ( Е ) для всіх результатів Е складеного випробування, а в той же час і вірогідність всіх подій, пов'язаних з цим випробуванням (подібно до того, як це було зроблено в розібраному вище прикладі). Найбільш значними з практичної точки зору представляються два типи складених випробувань: а) складові випробування не залежні, тобто вірогідність (5) дорівнює безумовній вірогідності P ( A i ) , P ( B j ) ..., P ( Y l ) ; би) на вірогідності результатів якого-небудь випробування впливають результати лише безпосередньо попереднього випробування, тобто вірогідність (5) рівна відповідно: P ( A i ) , P ( B j /a i ) ..., P ( Y i / X до ) . В цьому випадку говорять про випробування, зв'язані в ланцюг Марков. Вірогідність всіх подій, пов'язаних із складеним випробуванням, сповна визначається тут початковою вірогідністю Р ( А i ) і перехідною вірогідністю P ( B j / A i ) ..., P ( Y l / X до ) (див. також Марківський процес ) .
Випадкові величини. Якщо кожному результату E r випробування Т поставлене у відповідність число х,, те говорять, що задана випадкова величина X . Серед чисел x 1 , х 2 ......, x s можуть бути і рівні; сукупність різних значень х г при r = 1, 2..., s називають сукупністю можливих значень випадкової величини. Набор можливих значень випадкової величини і відповідної ним вірогідності називається розподілом вірогідності випадкової величини (див. Розподіли ) . Так, в прикладі з киданням двох кісток з кожним результатом випробування ( i, j ) зв'язується випадкова величина Х = i + j — сума окулярів на обох кістках. Можливі значення суть 2, 3, 4..., 11, 12; відповідна вірогідність дорівнює 1/36, 2/36, 3/36..., 2/36, 1/36.
При одночасному вивченні декількох випадкових величин вводиться поняття їх спільного розподілу, який задається вказівкою можливих значень кожній з них і вірогідності поєднання подій
{X 1 = x 1 } {X 2 = x 2 } ., {X n = x n } , (6)
де x до — яке-небудь з можливих значень величини X до . Випадкові величини називаються незалежними, якщо при будь-якому виборі x до події (6) незалежні. За допомогою спільного розподілу випадкових величин можна обчислити вірогідність будь-якої події, визначуваної цими величинами, наприклад події а < X 1 + Х 2 +... + X n < b і т.п.
Часто замість повного завдання розподілу вірогідності випадкової величини вважають за краще користуватися невеликим кількістю числових характеристик. З них найбільш споживані математичне чекання і дисперсія .
В число основних характеристик спільного розподілу декількох випадкових величин, поряд з математичними чеканнями і дисперсіями цих величин, включаються коефіцієнти кореляції і т.п. Сенс перерахованих характеристик в значній мірі роз'яснюється граничними теоремами (див. розділ Граничні теореми).
Схема випробувань з кінцевим числом результатів недостатня вже для найпростіших вживань Ст т. Так, при вивченні випадкового розкиду точок попадань снарядів довкола центру мети, при вивченні випадкових помилок, що виникають при вимірі якої-небудь величини, і так далі вже неможливо обмежитися випробуваннями з кінцевим числом результатів. При цьому в одних випадках результат випробування може бути виражений числом або системою чисел, в інших — результатом випробування може бути функція (наприклад, запис зміни тиску в даній крапці атмосфери за даний проміжок часу), системи функцій і тому подібне Слід зазначити, що багато даних вище за визначення і теорему з незначними по суті змінами прикладено і в цих загальніших обставинах, хоча способи завдання розподілів вірогідності змінюються (див. Розподіли, Щільність вірогідності ) .
Найбільш серйозну зміну зазнає визначення вірогідності, яке в елементарному випадку давалося формулою (2). У загальніших схемах, про які йде мова, події є об'єднаннями безконечного числа результатів (або, як то кажуть, елементарних подій), вірогідність кожного з яких може дорівнювати нулю. Відповідно до цього властивість, виражена теоремою складання, не виводиться з визначення вірогідності, а включається в нього.
Найбільш поширена в даний час логічна схема побудови основ Ст т. розроблена в 1933 радянським математиком А. Н. Колмогоровим. Основні межі цієї схеми наступні. При вивченні якого-небудь реального завдання — методами Ст т. перш за все виділяється безліч U елементів u, званих елементарними подіями. Всяка подія сповна описується безліччю елементарних подій, що сприяють йому, і тому розглядається як якась безліч елементарних подій. З деякими з подій А зв'язуються певні числа Р ( A ), звані їх вірогідністю і що задовольняють умовам
1. 0 £ Р ( А ) £ 1,
2. P ( U ) = 1,
3. Якщо події A 1 ..., A n попарно неспільні і А — їх сума, то
Р ( А ) = Р ( A 1 ) + P ( A 2 ) + . + Р ( A n ) .
Для створення повноцінної математичної теорії вимагають, щоб умова 3 виконувалося і для безконечних послідовностей попарно неспільних подій. Властивості позитивності і аддитивності є основні властивості міри безлічі. Ст т. може, таким чином, з формальної точки зору розглядатися як частина заходи теорії . Основні поняття Ст т. отримують при такому підході нове освітлення. Випадкові величини перетворюються на вимірні функції, їх математичні чекання — в абстрактні інтеграли Лебега і тому подібне Проте основні проблеми Ст т. і теорії міри різні. Основним, специфічним для Ст т. є поняття незалежності подій, випробувань, випадкових величин. Поряд з цим Ст т. ретельно вивчає і такі об'єкти, як умовні розподіли, умовні математичні чекання і тому подібне
Граничні теореми. При формальному викладі Ст т. граничні теореми з'являються у вигляді свого роду надбудови над її елементарними розділами, в яких всі завдання мають кінцевий, чисто арифметичний характер. Проте пізнавальна цінність Ст т. розкривається лише граничними теоремами. Так, Бернуллі теорема показує, що при незалежних випробуваннях частота появи якої-небудь події, як правило, мало відхиляється від його вірогідності, а Лапласа теорема вказує вірогідність тих або інших відхилень. Аналогічно сенс таких характеристик випадкової величини, як її математичне чекання і дисперсія, роз'яснюється законом великих чисел і центральною граничною теоремою (див. Великих чисел закон . Граничні теореми теорії вірогідності).
Пусть
X 1 , Х 2 ..., X n , ... (7)
— незалежні випадкові величини, що мають один і той же розподіл вірогідності з Ex до = а, Dx до = s 2 і Y n — середнє арифметичне перших n величин з послідовності (7):
Y n = ( X 1 + X 2 + . +X n ) /n.
Відповідно до закону великих чисел, як би не було e > 0, вірогідність нерівності |Y n — a| £ e має при n ®¥ межею 1, і, таким чином, Y n як правило, мало відрізняється від а. Центральна гранична теорема уточнює цей результат, показуючи, що відхилення Y n від а приблизно підпорядковані нормальному розподілу з середнім 0 і дисперсією s 2 / n. Таким чином, для визначення вірогідності тих або інших відхилень Y n від а при великих n немає потреби знати у всіх деталях розподіл величин X n , досить знати лише їх дисперсію.
В 20-х рр. 20 ст було виявлено, що навіть в схемі послідовності однаково розподілених і незалежних випадкових величин можуть сповна природним чином виникати граничні розподіли, відмінні від нормального. Так, наприклад, якщо X 1 час до першого повернення деякій випадково змінної системи у вихідне положення, Х 2 — час між першим і другим поверненнями і так далі, то за дуже загальних умов розподіл суми X 1 +... + X n (тобто часу до n- го повернення) після множення на n 1 / а ( а — постійна, менша 1) сходиться до деякого граничного розподілу. Таким чином, час до n- г об повернення зростає, грубо кажучи, як n 1 / а , тобто швидше n (в разі прикладеності закону великих чисел воно було б порядку n ).
Механізм виникнення більшості граничних закономірностей може до кінця зрозуміти лише у зв'язку з теорією випадкових процесів.
Випадкові процеси. У ряді фізичних і хімічних досліджень останніх десятиліть виникла потреба, поряд з одновимірними і багатовимірними випадковими величинами, розглядати випадкові процеси, тобто процеси, для яких визначена вірогідність того або іншого їх течії. Прикладом випадкового процесу може служити координата частки, що здійснює броунівський рух. У Ст т. випадковий процес розглядають зазвичай як однопараметричне сімейство випадкових величин Х ( t ) . В переважному числі додатків параметр t є часом, але цим параметром може бути, наприклад, точка простору, і тоді зазвичай говорять про випадкову функцію. У тому випадку, коли параметр t пробігає цілочисельні значення, випадкова функція називається випадковою послідовністю. Подібно до того, як випадкова величина характеризується законом розподіли, випадковий процес може бути охарактеризований сукупністю спільних законів розподілу для X ( t 1 ) , X ( t 2 ) ..., X ( t n ) для всіляких моментів часу t 1 , t 2 ..., t n при будь-якому n > 0. В даний час найцікавіші конкретні результати теорії випадкових процесів отримані в двох спеціальних напрямах.
Історично першими вивчалися марківські процеси . Випадковий процес Х ( t ) називається марківським, якщо для будь-яких двох моментів часу t 0 і t 1 ( t 0 < t 1 ) умовний розподіл вірогідності X ( t 1 ) при умові, що задані всі значення Х ( t ) при t £ t 0 , залежить лише від X ( t 0 ) (через це марківські випадкові процеси інколи називають процесами без післядії). Марківські процеси є природним узагальненням детермінованих процесів, що розглядаються в класичній фізиці. У детермінованих процесах стан системи у момент часу t 0 однозначно визначає хід процесу в майбутньому; у марківських процесах стан системи у момент часу t 0 однозначно визначає розподіл вірогідності ходу процесу при t > t 0 , причому жодні відомості про хід процесу до моменту часу t 0 не змінюють цей розподіл.
Другим крупним напрямом теорії випадкових процесів є теорія стаціонарних випадкових процесів . Стаціонарність процесу, тобто незмінність в часі його імовірнісних закономірностей, накладає сильне обмеження на процес і дозволяє з одного цього допущення витягувати ряд важливих следствій (наприклад, можливість так званого спектрального розкладання
де z ( l ) випадкова функція з незалежними приростами). В той же час схема стаціонарних процесів з хорошим наближенням описує багато фізичних явищ.
Теорія випадкових процесів тісно пов'язана з класичною проблематикою граничних теорем для сум випадкових величин. Ті закони розподіли, які виступають при вивченні сум випадкових величин як граничні, в теорії випадкових процесів є точними законами розподілу відповідних характеристик. Цей факт дозволяє доводити багато граничних теорем за допомогою відповідних випадкових процесів.
Історична довідка . Ст т. виникла в середині 17 ст Перші роботи по Ст т., що належать французьким ученим Б. Паськалю і П. Ферма і голландському ученому X. Гюйгенсу, з'явилися у зв'язку з підрахунком різної вірогідності в азартних іграх. Крупний успіх Ст т. пов'язаний з ім'ям швейцарського математика Я. Бернуллі що встановив закон великих чисел для схеми незалежних випробувань з двома результатами (опубліковано в 1713).
Наступний (другий) період історії Ст т. (18 ст і початок 19 ст) пов'язаний з іменами А. Муавра (Англія), П. Лапласа (Франція), К. Гаусса (Німеччина) і С. Пуассона (Франція). Це — період, коли Ст т. вже знаходить ряд вельми актуальних вживань в природознавстві і техніці (головним чином в теорії помилок спостережень, що розвинулася у зв'язку з потребами геодезії і астрономії, і в теорії стрілянини). До цього періоду відноситься доказ перших граничних теорем, що носять тепер назви теорем Лапласа (1812) і Пуассона (1837); А. Лежандром (Франція, 1806) і Гаусом (1808) в цей же час був розроблений спосіб найменших квадратів.
Третій період історії Ст т. (2-я половина 19 ст) пов'язаний в основному з іменами російських математиків П. Л. Чебишева, А. М. Ляпунова і А. А. Маркова (старшого). Ст т. розвивалася в Росії і раніше (у 18 ст ряд праць по Ст т. були написані Л, що працювали в Росії. Ейлером, Н. Бернуллі і Д. Бернуллі; у другий період розвитку Ст т. слід зазначити роботи М. В. Остроградського по питаннях Ст т., пов'язаним з математичною статистикою, і В. Я. Буняковського по застосуваннях Ст т. до страхової справи, статистики і демографії). З 2-ої половини 19 ст дослідження по Ст т. в Росії займають провідне місце в світі. Чебишев і його учні Ляпунов н Марков поставили і вирішили ряд загальних завдань в Ст т., узагальнювальних теореми Бернуллі і Лапласа. Чебишев надзвичайно просто довів (1867) закон великих чисел при вельми загальних припущеннях. Він же вперше сформулював (1887) центральну граничну теорему для сум незалежних випадкових величин і вказав один з методів її доказу. Іншим методом Ляпунов отримав (1901) близьке до остаточного рішення цього питання. Марков вперше розглянув (1907) один випадок залежних випробувань, який згодом отримав назву ланцюгів Марков.
В Західній Європі в 2-ій половині 19 ст отримали великий розвиток роботи за математичною статистикою (у Бельгії — А. Кетле, в Англії — Ф. Гальтон) і статистичною фізикою (у Австрії — Л. Больцман), які поряд з основними теоретичними роботами Чебишева, Ляпунова і Марков створили основу для істотного розширення проблематики Ст т. в четвертому (сучасному) періоді її розвитку. Цей період історії Ст т. характеризується надзвичайним розширенням круга її вживань, створенням декількох систем бездоганно строгого математичного обгрунтування Ст т., нових потужних методів, що вимагають інколи вживання (окрім класичного аналізу) засобів теорії безлічі, теорії функцій дійсного змінного і функціонального аналізу. У цей період при дуже великому посиленні роботи по Ст т. за кордоном (у Франції — Е. Борель, П. Льові, М. Фреше, в Німеччині — Р. Мізес, в США — Н. Вінер, Ст Феллер, Дж. Дуб, в Швеції — Р. Крамер) радянська наука продовжує займати значне, а у ряді напрямів і провідне положення. У нашій країні новий період розвитку Ст т. відкривається діяльністю С. Н. Бернштейна, що значно узагальнив класичні граничні теореми Чебишева, Ляпунова і Марков і вперше в Росії що широко поставив роботу по вживаннях Ст т. до природознавства. У Москві А. Я. Хинчин і А. Н. Колмогоров почали із застосування до питань Ст т. методів теорії функцій дійсного змінного. Пізніше (у 30-х рр.) вони (і Е. Е. Слуцкий) заклали основи теорії випадкових процесів. В. І. Романовський (Ташкент) і Н. В. Смірнов (Москва) поставили на велику висоту роботу по вживаннях Ст т. до математичної статистики. Окрім обширної московської групи фахівців із Ст т ., в даний час в СРСР розробкою проблем Ст т. займаються в Ленінграді (на чолі з Ю. Ст Лінником) і у Києві.
Літ.: Основоположники і класики теорії вірогідності. Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, 1713 (русявий. пер.(переведення), СП(Збори постанов) БИ. 1913); Laplace [P. S.], Théorie analytique des probabilités, 3 éd.. P., 1886 (Ceuvres complétes de Laplase, t. 7, livre 1—2); Чебишев П. Л., Поли. собр. соч.(вигадування), т. 2-3, М. — Л., 1947—48; Liapounoff A., Nouvelle forme du théoréme sur la limite de probabilité, СП(Збори постанов) Би, 1901 («Зап. АН(Академія наук) по фізико-математичному відділенню, 8 серія», т. 12 №5); Марков А. А., Дослідження чудового випадку залежних випробувань, «Ізв. АН(Академія наук), 6 серія», 1907, т 1 М-коду 3.
Популярна і учбова література. Гнеденко Б. Ст і Хинчин А. Я., Елементарне введення в теорію вірогідності, 3 видавництва, М. — Л., 1952; Гнеденко Б. Ст, Курс теорії вірогідності, 4 видавництва, М., 1965; Марков А. А., Числення вірогідності, 4 видавництва, М., 1924; Бернштейн С. Н., Теорія вірогідності, 4 видавництва, М. — Л., 1946; Феллер Ст, Введення в теорію вірогідності і її застосування (Дискретні розподіли), пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, т. 1—2, М., 1967.
Огляди і монографії . Гнеденко Б. Ст і Колмогоров А. Н., Теорія вірогідності, в кн.: Математика в СРСР за тридцять років. 1917—1947. Сб. ст., М. — Л., 1948; Колмогоров А. Н., Теорія вірогідності, в кн.: Математика в СРСР за сорок років. 1917—57. Сб. ст., т. 1, М., 1959; Колмогоров А. Н., Основні поняття теорії вірогідності, пер.(переведення) з йому.(німецький), М-код.—Л., 1936; його ж, Про аналітичні методи в теорії вірогідності, «Успіхи математичних наук», 1938, ст 5, с. 5—41; Хинчин А. Я., Асимптотичні закони теорії вірогідності, пер.(переведення) з йому.(німецький), М-код.—Л., 1936; Гнеденко Б. Ст і Колмогоров А. Н., Граничні розподіли для сум незалежних випадкових величин, М-коду.—Л., 1949; Дуб Дж. Л., Імовірнісні процеси, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1956: Чандрасекар С., Стохастичні проблеми у фізиці і астрономії, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1947; Прохоров Ю. Ст, Розанців Ю. А., Теорія вірогідності, М., 1967.
