Стаціонарний випадковий процес, важливий спеціальний клас випадкових процесів, що часто зустрічається в додатках теорії вірогідності до різних розділів природознавства і техніки. Випадковий процес X ( t ) називається стаціонарним, якщо всі його імовірнісні характеристики не міняються з часом t (отже, наприклад, розподіл вірогідності величини X ( t ) при всіх t є одним і тим же, а спільний розподіл вірогідності величин X ( t 1 ) і X ( t 2 ) залежить лише від тривалості проміжку часу t 2 —t 1 , тобто розподіли пар величин {X ( t 1 ) , X ( t 2 ) } і { X ( t 1 + s ), X ( t 2 + s )} однакові при будь-яких t 1 , t 2 і s і т. д.).
Схема С. с. п. з хорошим наближенням описує багато реальних явищ, що супроводяться неврегульованими флуктуаціями. Так, наприклад, пульсації сили струму або напруги в електричному ланцюзі (електричний «шум») можна розглядати як С. с. п., якщо ланцюг цей знаходиться у стаціонарному режимі, тобто якщо всі її макроскопічні характеристики і всі умови, що викликають протікання через неї струму, не міняються в часі; пульсації швидкості в точці турбулентної течії є С. с. п., якщо не міняються загальні умови, що породжують дану течію (тобто течія є сталою), і т.д. Ці і інші приклади С. с. п., що зустрічаються у фізиці (зокрема, гео- і астрофізиці), механіці і техніці, стимулювали розвиток досліджень в області С. с. п.; при цьому істотними виявилися також і деякі узагальнення поняття С. с. п. (наприклад, поняття випадкового процесу із стаціонарними приростами заданого порядку, узагальненого С. с. п. і однорідного випадкового поля).
В математичній теорії С. с. п. основну роль грають моменти розподілі вірогідності значень процесу X ( t ) , що є простими числовими характеристиками цих розподілів. Особливо важливі моменти перших двох порядків: середнє значення С. с. п. E X ( t ) = m — математичне чекання випадкової величини X ( t ) і кореляційна функція С. с. п. E X ( t 1 ) X ( t 2 ) = B ( t 2 —t 1 ) — математичне чекання твору X ( t 1 ) X ( t 2 ) (що просто виражається через дисперсію величин X ( t ) і коефіцієнт кореляції між X ( t 1 ) і X ( t 2 ) ; див.(дивися) Кореляція ) . В багатьох математичних дослідженнях, присвячених С. с. п., взагалі вивчаються лише ті їх властивості, які повністю визначаються одними лише характеристиками m і В (t) (т.з. кореляційна теорія С. с. п.). В зв'язку з цим випадкові процеси X ( t ) , що мають постійне середнє значення E X ( t ) = m і кореляційну функцію В ( t 2 , t 1 ) = E X ( t 1 ) X ( t 2 ) , залежну лише від t 2 — t 1 , часто називають С. с. п. в широкому сенсі (а більш приватні випадкові процеси, всі характеристики яких не міняються з часом, у такому разі називаються С. с. п. у вузькому сенсі).
Велике місце в математичній теорії С. с. п. займають дослідження, що спираються на розкладання випадкового процесу X ( t ) і його кореляційній функції B ( t 2 —t 1 ) = В (t) в інтеграл Фур'є, або Фур'є — Стилт'єсу (див. Фур'є інтеграл ) . Основну роль при цьому грає теорема Хинчина, згідно якої кореляційна функція С. с. п. X ( t ) завжди може бути представлена у вигляді
, (1)
де F (l) — монотонно неубутна функція l (а інтеграл справа — це інтеграл Стилт'єсу); якщо ж В (t) досить швидкий убуває при |t|®¥ (як це найчастіше і буває в додатках за умови, що під X ( t ) розуміється насправді різниця X ( t ) — m ), те інтеграл в правій частині (1) звертається в звичайний інтеграл Фур'є:
, (2)
де f (l) = F’ (l) — ненегативна функція. Функція F (l) звана спектральною функцією С. с. п. X ( t ), а функція F (l) [у випадках, коли має місце рівність (2)] — його спектральною щільністю. З теореми Хинчина витікає також, що сам процес X ( t ) допускає спектральне розкладання вигляду
, (3)
де Z (l) — випадкова функція з некорельованими приростами, а інтеграл справа розуміється як межа в середньому квадратичному відповідній послідовності інтегральних сум. Розкладання (3) дає підстава розглядати будь-який С. с. п. X ( t ) як накладення некорельованих один з одним гармонійних коливань різних частот з випадковими амплітудами і фазами; при цьому спектральна функція F (l) і спектральна щільність f (l) визначають розподіл середньої енергії що входять до складу X ( t ) гармонійних коливань по спектру частот l (у зв'язку з чим в прикладних дослідженнях функція f (l) часто називається також енергетичним спектром або спектром потужності С. с. п. X ( t )) .
Виділення поняття С. с. п. і здобуття перших математичних результатів, що відносяться до нього, є заслугою Е. Е. Слуцкого і відносяться до кінця 20-х і початку 30-х рр. 20 ст Надалі важливі роботи по теорії С. с. п. були виконані А. Я. Хинчиним, А. Н. Колмогоровим, Р. Крамером, Н. Вінером і ін.
Літ.: Слуцкий Е. Е., Ізбр. тр., М., 1960; Хинчин А. Я., Теорія кореляції стаціонарних стохастичних процесів, «Успіхи математичних наук», 1938, ст 5, з, 42—51; Розанців Ю. А., Стаціонарні випадкові процеси, М., 1963; Прохоров Ю. Ст, Розанців Ю. А., Теорія вірогідності. (Основні поняття. Граничні теореми. Випадкові процеси), 2 видавництва, М., 1973; Гихман І. І., Скорохід А. Ст Теорія випадкових процесів, т. 1, М., 1971; Хеннан Е., Багатовимірні тимчасові ряди, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1974.
