Стационарный случайный процесс

Стационарный случайный процесс, важный специальный класс случайных процессов, часто встречающийся в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Случайный процесс X (t) называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени t (так что, например, распределение вероятностей величины X (t) при всех t является одним и тем же, а совместное распределение вероятностей величин X (t₁) и X (t₂) зависит только от продолжительности промежутка времени t₂—t₁, т. е. распределения пар величин {X (t₁), X (t₂)} и {X (t₁ + s), X (t₂ + s)} одинаковы при любых t₁, t₂ и s и т.д.).

  Схема С. с. п. с хорошим приближением описывает многие реальные явления, сопровождающиеся неупорядоченными флуктуациями. Так, например, пульсации силы тока или напряжения в электрической цепи (электрический «шум») можно рассматривать как С. с. п., если цепь эта находится в стационарном режиме, т. е. если все её макроскопические характеристики и все условия, вызывающие протекание через неё тока, не меняются во времени; пульсации скорости в точке турбулентного течения представляют собой С. с. п., если не меняются общие условия, порождающие рассматриваемое течение (т. е. течение является установившимся), и т.д. Эти и другие примеры С. с. п., встречающиеся в физике (в частности, гео- и астрофизике), механике и технике, стимулировали развитие исследований в области С. с. п.; при этом существенными оказались также и некоторые обобщения понятия С. с. п. (например, понятия случайного процесса со стационарными приращениями заданного порядка, обобщённого С. с. п. и однородного случайного поля).

  В математической теории С. с. п. основную роль играют моменты распределении вероятностей значений процесса X (t), являющиеся простейшими числовыми характеристиками этих распределений. Особенно важны моменты первых двух порядков: среднее значение С. с. п. EX (t) = m — математическое ожидание случайной величины X (t) и корреляционная функция С. с. п. EX (t₁) X (t₂)= B (t₂—t₁) — математическое ожидание произведения X (t₁) X (t₂) (просто выражающееся через дисперсию величин X (t) и коэффициент корреляции между X (t₁) и X (t₂); см.(смотри) Корреляция). Во многих математических исследованиях, посвященных С. с. п., вообще изучаются только те их свойства, которые полностью определяются одними лишь характеристиками m и В (t) (т. н. корреляционная теория С. с. п.). В этой связи случайные процессы X (t), имеющие постоянное среднее значение EX (t) = m и корреляционную функцию В (t₂, t₁) = EX (t₁) X (t₂), зависящую только от t₂ — t₁, часто называют С. с. п. в широком смысле (а более частные случайные процессы, все характеристики которых не меняются с течением времени, в таком случае называются С. с. п. в узком смысле).

  Большое место в математической теории С. с. п. занимают исследования, опирающиеся на разложение случайного процесса X (t) и его корреляционной функции B (t₂ —t₁) = В (t) в интеграл Фурье, или Фурье — Стилтьеса (см. Фурье интеграл). Основную роль при этом играет теорема Хинчина, согласно которой корреляционная функция С. с. п. X (t) всегда может быть представлена в виде

  , (1)

  где F (l) — монотонно неубывающая функция l (а интеграл справа — это интеграл Стилтьеса); если же В (t) достаточно быстро убывает при |t|®¥ (как это чаще всего и бывает в приложениях при условии, что под X (t) понимается на самом деле разность X (t) — m), то интеграл в правой части (1) обращается в обычный интеграл Фурье:

  , (2)

  где f (l) = F’(l) — неотрицательная функция. Функция F (l) называемая спектральной функцией С. с. п. X (t), а функция F (l) [в случаях, когда имеет место равенство (2)] — его спектральной плотностью. Из теоремы Хинчина вытекает также, что сам процесс X (t) допускает спектральное разложение вида

  , (3)

  где Z (l) — случайная функция с некоррелированными приращениями, а интеграл справа понимается как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности интегральных сумм. Разложение (3) даёт основание рассматривать любой С. с. п. X (t) как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и фазами; при этом спектральная функция F (l) и спектральная плотность f (l) определяют распределение средней энергии входящих в состав X (t) гармонических колебаний по спектру частот l (в связи с чем в прикладных исследованиях функция f (l) часто называется также энергетическим спектром или спектром мощности С. с. п. X (t)).

  Выделение понятия С. с. п. и получение первых относящихся к нему математических результатов являются заслугой Е. Е. Слуцкого и относятся к концу 20-х и началу 30-х гг. 20 в. В дальнейшем важные работы по теории С. с. п. были выполнены А. Я. Хинчиным, А. Н. Колмогоровым, Г. Крамером, Н. Винером и др.

  Лит.: Слуцкий Е. Е., Избр. тр., М., 1960; Хинчин А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических процессов, «Успехи математических наук», 1938, в. 5, с, 42—51; Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы), 2 изд., М., 1973; Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971; Хеннан Э., Многомерные временные ряды, пер.(перевод) с англ.(английский), М., 1974.

  А. М. Яглом.