Фур'є інтеграл, формула для розкладання неперіодичної функції на гармонійні компоненти, частоти яких пробігають безперервну сукупність значень. Якщо функція f ( x ) задовольняє на кожному кінцевому відрізку умові Дирихле (див. Фур'є ряд ) і якщо сходиться
,
те
. (1)
Ця формула вперше зустрічається при вирішенні деяких завдань теплопровідності у Ж. Фур'є (1811), але її доказ був даний пізніше іншими математиками. Формулу (1) можна представити також у вигляді
, (2)
де
;
.
Зокрема для парних функцій
,
де
.
Формулу (2) можна розглядати як граничну форму ряду Фур'є для функцій, що мають період 2 T , коли Т ® ¥. При цьому а ( u ) і b ( u ) аналогічні коефіцієнтам Фур'є функції f ( x ). Вживаючи комплексні числа, можна замінити формулу (1) формулою
.
Формулу (1) можна перетворити також до вигляду
(3)
(простий інтеграл Фур'є).
Якщо інтеграли у формулах (2), (3) розходяться (див. Невласні інтеграли ), то у багатьох випадках їх можна підсумувати до f ( x ) за допомогою того або іншого методу підсумовування . При вирішенні багатьох завдань використовуються формули Ф. і. для функцій два і більшого числа змінних.
Літ.: Тітчмарш Е., Введення в теорію інтегралів Фур'є, пер.(переведення) з англ.(англійський), М. — Л., 1948.
