Фур'є перетворення (даній функції), функція, що виражається через дану функцію f ( x ) формулою:
, (1)
Якщо функція f ( x ) парна, то єє ф. п. рівне
(2)
(косинус-перетворення), а якщо f ( x ) — непарна функція, то
(3)
(синус-перетворення). Формули (1), (2) і (3) обратіми, тобто для парних функцій
, (4)
а для непарних функцій
. (5)
В загальному випадку має місце формула
. (6)
Кожної операції над функціями відповідає операція над їх Ф. п., яка у багатьох випадках простіше відповідній операції над f ( x ). Наприклад, Ф. п. f ''( x ) є iug ( u ). Якщо
, (7)
те g ( u ) = g 1 ( u ) g 2 ( u ). Для f ( x + а ) Ф. п. є e iua g ( u ), а для c 1 f 1 ( x ) + c 2 f 2 ( x ) — функція c 1 g 1 ( u ) + c 2 g 2 ( u ).
Якщо існує, то інтеграли у формулах (1) і (6) сходяться в середньому (див. Збіжність ), причому
(8)
(теорема Планшереля). Формула (8) є узагальненням на Ф. п. формули Парсеваля (див. Парсеваля рівність ) для рядів Фур'є (див. Фур'є ряд ). Фізичний сенс формули (8) полягає в рівності енергії деякого вагання сумі енергій його гармонійних компонент. Відображення F : f ( x ) ® g ( u ) є унітарним оператором в Гільбертовому просторі функцій f ( x ), — ¥ < x < ¥, з інтегрованим квадратом. Цей оператор може бути представлений також у вигляді
. (9)
За деяких умов на f ( x ) справедлива формула Пуассона
Якщо функція f ( x ) досить швидкий убуває, то її Ф. п. можна визначити і при деяких комплексних значеннях u = v + iw . Наприклад, якщо існує, а > 0, то Ф. п. визначено при | w | < а. Ф. п. при комплексних значеннях тісно пов'язано з двостороннім перетворенням Лапласа (див. Лапласа перетворення )
.
Оператор Ф. п. може бути розширений на обширніші класи функцій, ніж сукупність підсумовуваних функцій [наприклад, для функцій f ( x ) таких, що (1 + | x |) –1 f ( x ) сумміруєма, Ф. п. визначається формулою (9)], і навіть на деякі класи узагальнених функцій (т.з. повільного зростання).
Є узагальнення Ф. п. Одне з них використовує різного роду спеціальні функції, наприклад Бесселя функції, цей напрям отримує завершення в теорії представлень безперервних груп . Іншим є т.з. перетворення Фур'є — Стилт'єсу, широко вживане, наприклад, в теорії вірогідності; воно визначається для довільної обмеженої неубутної функції j( x ) Стилт'єсу інтегралом
(10)
і називається характеристичною функцією розподілу j. Для уявності функції g ( u ) у вигляді (10) необхідний і досить, щоб при будь-яких u 1 ..., u n , x 1 ,...,x n було
(теорема Бохнера — Хинчина).
Ф. п., що спочатку виникло в теорії теплопровідності, має багаточисельні вживання як в самій математиці (наприклад, при вирішенні диференціальних, різницевих і інтегральних рівнянь, в теорії спеціальних функцій і т.д.), так і в різних розділах теоретичної фізики. Наприклад, Ф. п. стало стандартним апаратом квантовій теорії поля, широко використовується в методі функцій Гріна для нерівноважних завдань квантової механіки і термодинаміки, в теорії розсіяння і т.д.
Літ.: Снеддон І., Перетворення Фур'є, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1955; Володимирів Ст С., Узагальнені функції в математичній фізиці, М., 1976.
