Бесселя функції, циліндрові функції 1-го роду; виникають при розгляді фізичних процесів (теплопровідності, дифузії, коливань і пр.) в областях з круговою і циліндровою симетрією; є вирішеннями Бесселя рівняння .
Би. ф. J p порядку (індексу) р, — ¥ < p < ¥, представляється поруч
що сходиться при всіх х. Її графік при х > 0 має вигляд затухаючого вагання; J p ( x ) має незліченну безліч нулів; поведінка J p ( x ) при малих | х | дається першим доданкам ряду (*), при великих х > 0 справедливе асимптотичне представлення
в якому виразно виявляється коливальний характер функції. Б. ф. «напівцілого» порядку р = n + 1 / 2 виражаються через елементарні функції; зокрема,
Би. ф. J p (m p n x/l ) (де m p n — позитивні нулі J p ( x ) , р > - 1 / 2 ) утворюють ортогональну з вагою х в проміжку (0, l ) систему (див. Ортогональна система функцій ) .
Функція J 0 була вперше розглянута Д. Бернуллі в роботі присвяченою ваганню важких ланцюгів (1732). Л. Ейлер, розглядаючи завдання про коливання круглої мембрани (1738), прийшов до рівняння Бесселя з цілими значеннями р = n і знайшов вираження J„ ( x ) у вигляді ряду по мірах х. В подальших роботах він розповсюдив цей вираз на випадок довільних значень р. Ф. Бессель досліджував (1824) функції J p ( x ) у зв'язку з вивченням руху планет довкола Сонця. Він склав перші таблиці для J 0 ( x ) , J 1 ( x ) , J 2 ( x ) .
Літ.: Ватсон Р. Н., Теорія бессельових функцій, пер.(переведення) з англ.(англійський), ч. 1—2, М., 1949; Лебедев Н. Н., Спеціальні функції і їх застосування 2 видавництва, М.— Л., 1963; Бейтмен Р., Ердейі А., Вищі трансцендентні функції, функції Бесселя, функції параболічного циліндра, ортогональні многочлени, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966.
