Циліндрові функції, вельми важливий з точки зору додатків у фізиці і техніці клас трансцендентних функцій, що є вирішеннями диференціального рівняння:
(1)
де n — довільний параметр. До цього рівняння зводяться багато питань рівноваги (пружного, теплового електричного) і коливань тіл циліндрової форми. Рішення, що має вигляд:
[де Г ( z ) — гамма-функція ; ряд справа сходиться при всіх значеннях х ], називається Ц. ф. першого роду порядку n. Зокрема, Ц. ф. нульового порядку має вигляд:
Якщо n — ціле негативне: n = — n, те J n ( x ) визначається так:
J -n ( x ) = (— 1) n J n ( x ) .
Ц. ф. порядку n = m + 1 / 2 , де m — ціле число, зводиться до елементарних функцій, наприклад:
,
Функції J n ( x ) і рівняння (1) називають також на ім'я Ф. Бесселя (Бесселя функції, Бесселя рівняння ) . Проте ці функції і рівняння (1) були отримані ще Л. Ейлером при вивченні коливань мембрани в 1766, тобто майже за 50 років до робіт Бесселя; функція нульового порядку зустрічається ще раніше в роботі Д. Бернуллі, присвяченого ваганню важкого ланцюга (опублікована в 1738), а функція порядку 1 / 3 в листі Я. Бернуллі к Г. Лейбніцу (1703) .
Якщо n не є цілим числом, то загальне вирішення рівняння (1) має вигляд
в = C 1 J n ( x ) + C 2 J - n ( x ) , (2)
де C 1 і C 2 — постійні. Якщо ж n — ціле, то J n ( x ) і J - n (x) лінійно залежні, і їх лінійна комбінація (2) вже не є загальним вирішенням рівняння (1). Тому, поряд з Ц. ф. першого роду, вводять ще Ц. ф. другого роду (звані також функціями Вебера):
За допомогою цих функцій загальне вирішення рівняння (1) може бути записане у вигляді
в = C 1 J n (x) + C 2 Y n ( x )
(як при цілому, так і при нецілому n).
В додатках зустрічається також Ц. ф. уявного аргументу
і
(функція Макдональда). Ці функції задовольняють рівнянню
загальне вирішення якого має вигляд
в = C 1 l n ( x ) + C 2 K n ( x )
(як при цілому, так і нецілому n). Часто уживаються ще Ц. ф. третього роду (або функції Ганкеля)
,
а також функції Томсона ber ( х ) і bei ( x ), визначувані співвідношенням
ber ( x ) + i bei ( x ) = I 0 ( x ).
Важливу роль грають асимптотичні вирази Ц. ф. для великих значень аргументу:
,
,
,
,
з яких, зокрема, витікає, що Ц. ф. J n ( x ) і Y n ( x ) мають безконечну безліч дійсних нулів, розташованих так, що далеко від початку координат вони як завгодно близькі до нулів функцій, відповідно,
і
Ц. ф. вивчені дуже детально і для комплексних значень аргументів. Для обчислень існує велике число таблиць Ц. ф.
Літ.: Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 8 видавництво, т. 3, ч. 2, М., 1969; Никіфоров А. Ф., Уварів Ст Би., Основи теорії спеціальних функцій, М., 1974; Ватсон Р. Н., Теорія бессельових функцій, пер.(переведення) з англ.(англійський), ч. 1—2, М., 1949; Бейтмен Р., Ердей А., Вищі трансцендентні функції, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, т. 2, М., 1974.
