Цилиндрические функции, весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций, являющихся решениями дифференциального уравнения:
(1)
где n — произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид:
[где Г (z) — гамма-функция; ряд справа сходится при всех значениях х], называется Ц. ф. первого рода порядка n. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет вид:
Если n — целое отрицательное: n = — n, то Jn(x) определяется так:
J-n (x) = (— 1) n Jn(x).
Ц. ф. порядка n = m + 1/2, где m — целое число, сводится к элементарным функциям, например:
,
Функции Jn(x) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя(Бесселя функции, Бесселя уравнение). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлеромпри изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли, посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка 1/3 в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу(1703).
Если n не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид
y = C1Jn(x) + C2J-n(x), (2)
где C1 и C2— постоянные. Если же n — целое, то Jn(x) и J-n(x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):
При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде
у = C1Jn(x) + C2Yn(x)
(как при целом, так и при нецелом n).
В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента
и
(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению
общее решение которого имеет вид
y = C1ln(x) + C2Kn(x)
(как при целом, так и нецелом n). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)
,
а также функции Томсона ber (х) и bei (x), определяемые соотношением
ber (x) + i bei (x) = I0(x ).
Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента:
,
,
,
,
из которых, в частности, вытекает, что Ц. ф. Jn(x) и Yn(x) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно,
и
Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер.(перевод) с англ.(английский), ч. 1—2, М., 1949; Бейтмен Г., Эрдей А., Высшие трансцендентные функции, пер.(перевод) с англ.(английский), 2 изд., т. 2, М., 1974.
