Цилиндрические функции
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Цилиндрические функции

Цилиндрические функции, весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций, являющихся решениями дифференциального уравнения:

загрузка...

     (1)

где n — произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид: 

[где Г (z) — гамма-функция; ряд справа сходится при всех значениях х], называется Ц. ф. первого рода порядка n. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет вид:

  Если n — целое отрицательное: n = — n, то Jn(x) определяется так:

J-n (x) = (— 1) n Jn (x).

  Ц. ф. порядка n = + 1/2, где m — целое число, сводится к элементарным функциям, например:

,

  Функции Jn(x) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя (Бесселя функции, Бесселя уравнение). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли, посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка 1/3 в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу (1703).

  Если n не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид

y = C1Jn(x) + C2J-n(x),     (2)

где C1 и C2  — постоянные. Если же n — целое, то Jn(x) и J-n(x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):

  При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде

у = C1Jn(x) + C2Yn(x)

(как при целом, так и при нецелом n).

В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента  

и

(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению

общее решение которого имеет вид

y = C1ln(x) + C2Kn(x)

(как при целом, так и нецелом n). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)

,

а также функции Томсона ber (х) и bei (x), определяемые соотношением

ber (x) + i bei (x) = I0(x ).

  Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента:

,

,

,

,

из которых, в частности, вытекает, что Ц. ф. Jn(x) и Yn(x) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно,

 и

  Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф.

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер.(перевод) с англ.(английский), ч. 1—2, М., 1949; Бейтмен Г., Эрдей А., Высшие трансцендентные функции, пер.(перевод) с англ.(английский), 2 изд., т. 2, М., 1974.