Ортогональна система функцій, система функцій {(j n ( x )}, n = 1, 2..., ортогональних з вагою r ( х ) на відрізку [ а , b ], тобто таких, що
Приклади. Тригонометрична система 1, cos nx , sin nx ; n = 1, 2..., — О. с. ф. з вагою 1 на відрізку [—p, p]. Бесселя функції, де n = 1, 2..., — позитивні нулі J n ( x ), утворюють для кожного n > — 1 / 2 О. с. ф. з вагою х на відрізку [0, l ].
Якщо кожна функція j ( х ) з О. с. ф. така, що (умова нормірованності), то така система функцій називається нормованою. Будь-яку О. с. ф. можна нормувати, помноживши j ( х ) на число — нормуючий множник.
Систематичне вивчення О. с. ф. було почато у зв'язку з методом Фур'є вирішення краєвих завдань рівнянь математичної фізики. Цей метод приводить, наприклад, до розшуку вирішень Штурму — Ліувіля завдання для рівняння [r( х ) у'' ] '' + q ( x ) в = l в , що задовольняють граничним умовам в ( а ) + hy'' ( а ) = 0, в ( b ) + Hy'' ( b ) = 0, де h і Н — постійні. Ці рішення — т.з. власні функції завдання — утворюють О. с. ф. з вагою r ( х ) на відрізку [ а , b ].
Надзвичайно важливий клас О. с. ф. — ортогональні многочлени — був відкритий П. Л. Чебишевим в його дослідженнях по інтерполяції способом найменших квадратів і проблемі моментів. У 20 ст дослідження по О. с. ф. проводяться в основному на базі теорії інтеграла і міри Лебега. Це сприяло виділенню цих досліджень в самостійний розділ математики. Одне з основних завдань теорії О. с. ф.— завдання про розкладання функції f ( x ) в ряд вигляду, де {j п ( х )} — О. с. ф. Якщо покласти формально, де {j п ( х )} — нормована О. с. ф., і допустити можливість почленного інтеграції, то, умножаючи цей ряд на j п ( х ) r( х ) і інтегруючи від а до b , отримаємо:
(*)
Коефіцієнти С п , звані коефіцієнтами Фур'є функції відносно системи {j n ( x )}, володіють наступною екстремальною властивістю: лінійна форма щонайкраще наближає в середньому цю функцію. Іншими словами, середня квадратична помилка з вагою r( х ):
(*)
має найменше значення в порівнянні з помилками, що даються при тому ж n іншими лінійними виразами вигляду . Звідси, зокрема, виходить т.з. нерівність Бесселя
Ряд з коефіцієнтами С п , обчисленими за формулою (*), називається рядом Фур'є функції f ( x ) по нормованій О. с. ф. {j n ( x )}. Для додатків першорядну вагу має питання, чи визначається однозначно функція f ( x ) своїми коефіцієнтами Фур'є. О. с. ф., для яких це має місце, називається повними, або замкнутими. Умови замкнутості О. с. ф. можуть бути дани в декількох еквівалентних формах. 1) Будь-яка безперервна функція f ( x ) може бути з будь-якою мірою точності наближена в середньому лінійними комбінаціями функцій j до ( x ), тобто в цьому випадку говорять, що ряд сходиться в середньому до функції f ( x )]. 2) Для всякої функції f ( x ), квадрат якої інтегрований відносно ваги r( х ), виконується умова замкнутості Ляпунова — Стеклова:
3) Не існує відмінної від нуля функції з інтегрованим на відрізку [ а , b ] квадратом, ортогональної до всіх функцій j n ( x ), n = 1, 2....
Якщо розглядати функції з інтегрованим квадратом як елементи гильбертова простори, то нормовані О. с. ф. будуть системами координатних ортов цього простору, а розкладання в ряд по нормованим О. с. ф. — розкладанням вектора по ортам. При цьому підході багато понять теорії нормованих О. с. ф. набувають наочного геометричного сенсу. Наприклад, формула (*) означає, що проекція вектора на орт дорівнює скалярному твору вектора і орта; рівність Ляпунова — Стеклова може тлумачити як теорема Піфагора для безконечномірного простору: квадрат довжини вектора дорівнює сумі квадратів його проекцій на осі координат; замкнутість О. с. ф. означає, що найменший замкнутий підпростір, що містить всі вектори цієї системи, збігається зі всім простором і т.д.
Літ.: Толстов Р. П., Ряди Фур'є, 2 видавництво, М., 1960; Натансон І. П., Конструктивна теорія функцій, М. — Л., 1949; його ж, Теорія функцій речової змінної, 2 видавництва, М., 1957; Джексон Д., Ряди Фур'є і ортогональні поліноми, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1948; Качмаж С., Штейнгауз Р., Теорія ортогональних рядів, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1958.
