Штурму — Ліувіля завдання, завдання про знаходження відмінних від нуля вирішень диференціального рівняння
-[ p ( x ) y'' ] '' + q ( x ) в = l в , (1)
що задовольняють граничним умовам вигляду
A 1 в ( а ) + B 1 y'' ( а ) = 0, А 2 в ( b ) + B 2 y'' ( b ) = 0
(т.з. власних функцій ), а також про знаходження значень параметра l (власних значень), при яких існують такі рішення. За деяких умов на коефіцієнти р ( х ), q ( x ) Ш.—Л. з. можна звести до розгляду аналогічного завдання для рівняння вигляду
- y" + q ( x ) в = l в. (2)
Була вперше (1837—41) досліджена Ж. Ліувілем і Ж. Ш. Ф. Штурмом .
Вирішення деяких видів рівнянь математичної фізики методом Фур'є приводить до Ш.— Л. з. Наприклад, завдання про коливання однорідної струни, закріпленої на кінцях, приводить до Ш.— Л. з. для рівняння — у" = l в з граничними умовами в (0) = в (p) = 0. В цьому випадку існує безконечна послідовність значень 1 2 , 2 2 ..., n 2 , ... , яким відповідають власні функції sin nx , створюючі на відрізку [0, p] повну ортогональну систему функцій (див. Ортогональна система функцій ) . Аналогічно йде справу і в загальному випадку, що виникає, наприклад, при вивченні поширення тепла в неоднорідному стрижні і т.д. І тут, якщо функція q ( x ) в рівнянні (2) безперервна і дійсна на відрізку> [ а , b ], а A 1 , B 1 , A 2 , B 2 — дійсні числа, існує зростаюча послідовність дійсних власних значень l 1 , ... , l п , ... , прагнуча до нескінченності, причому кожному з l п відповідає визначена з точністю до постійного множника власна функція j п ( х ), що має n нулів на ділянці а < х < b. Функції j п ( х ) утворюють на [ а , b ] повну ортогональну систему функцій [для рівняння (1) має місце ортогональность з вагою р ( х )] . Повнота такої системи функцій була доведена Ст А. Стекловим в 1896. Вельми загальні теореми про розкладання функцій в ряди Фур'є за системою j п ( х ) довів Д. Гільберт (1904) за допомогою теорії лінійних інтегральних рівнянь. При зростанні п власні значення і власні функції Ш.¾ Л. з. для рівняння (2) прагнуть до власних значень і власних функцій для рівняння — у" = l в за тих же граничних умов. Більшість ортогональних систем функцій, що зустрічаються в математиці, наприклад, многочлени Лежандра, многочлени Ерміта, є системами власних функцій деяких Ш.— Л. з.
Інколи Ш.— Л. з. називають краєве завдання для рівняння (1) за загальніших краєвих умов:
a i в ( а ) + b i y'' ( а ) + g i в ( b ) + d i y'' ( b ) = 0, i = 1, 2,
де a i , b i , g i , d i — постійні числа. Серед краєвих умов такого вигляду найбільш важливими є в ( а ) = в ( b ), y'' ( а ) =y'' ( b ) (періодичні умови) і в ( а ) = -у ( b ), у'' ( а ) = —y'' ( b ) (напівперіодичні умови).
Багато завдань математичної фізики (наприклад, завдання про поширення тепла в безконечному неоднорідному стрижні) приводить до Ш.— Л. з. на піввісь або на всій осі. У 1-м-коді випадку розглядаються рішення рівняння (2), що задовольняють умові A 1 в (0)+ B 1 y'' (0) = 0; замість послідовності власних функцій тут з'являється сукупність власних функцій j( х , l), залежних від параметра l, що безперервно змінюється. Замість розкладання в ряди Фур'є розглядаються розкладання вигляду
,
де r(l) — деяка неубутна функція. Ці розкладання аналогічні Фур'є інтегралу . При цьому
і
.
Аналогічні факти мають місце і для Ш.— Л. з. на всій осі. Для деяких завдань математичної фізики важливе значення має зворотна Ш.—Л. з., тобто завдання про відновлення диференціального рівняння по функції r(l). Це завдання було поставлене в окремому випадку Ст А. Амбарцумяном, а в загальнішому випадку швед.(шведський) математиком Г. Бортом і вирішена М. Р. Крейном, І. М. Гельфандом і Б. М. Льовітаном.
Ш.— Л. з. виникає також в деяких питаннях квантової механіки і варіаційного числення.
Літ.: Курант Р., Гільберт Д., Методи математичної фізики, пер.(переведення) з йому.(німецький), 3 видавництва, т. 1, М.— Л., 1951; Сансоне Дж., Звичайні диференціальні рівняння, пер.(переведення) з італ.(італійський), т. 1, М. 1953; Льовітан Би. М., Розкладання по власних функціях диференціальних рівнянь другого порядку, М.— Л., 1950.
