Власні функції, поняття математичного аналізу. При вирішенні багатьох завдань математичної фізики (у теорії коливань, теплопровідності і т.д.) виникає необхідність в знаходженні не рівних тотожно нулю вирішень однорідних лінійних диференціальних рівнянь L ( в ) = l в , що задовольняють тим або іншим краєвим умовам. Такі рішення називають С. ф. завдання, а відповідні значення l — власними значеннями . Якщо диференціальне рівняння з відповідними краєвими умовами самосопряженноє (див. Самосопряженноє диференціальне рівняння ), то його власні значення дійсні, а С. ф., відповідні різним власним значенням, ортогональні. Якщо диференціальне рівняння розглядається на кінцевому відрізку і його коефіцієнти не мають на цьому відрізку особливостей, та безліч С. ф. рахунковий (завдання має дискретний спектр); знання С. ф. і відповідних власних значень дозволяє тоді за деяких умов отримати рішення задачі у вигляді ряду по С. ф. (див. Фур'є метод ). Якщо ж рівняння розглядається на безконечному проміжку або його коефіцієнти мають особливості (наприклад, якщо коефіцієнт при старшій похідній перетворюється на нуль), може існувати континуум С. ф., і замість розкладання в ряд виходить розкладання в інтеграл по С. ф., аналогічне виставі у вигляді Фур'є інтеграла . В цьому випадку говорять, що завдання має безперервний спектр. Багато спеціальних функцій (ортогональні многочлени і ін.) служать С. ф. деяких рівнянь.
В теорії інтегральних рівнянь С. ф. ядра До ( х , в ) називають функцію, що задовольняє при деякому значенні l рівнянню
.
Всяке симетричне безперервне ядро має С. ф. В цьому випадку всяка функція, уявна у вигляді
,
може бути розкладена в ряд по С. ф. Якщо ядро має особливості або задано в безконечної області, то може також виникнути безперервний спектр.
Найбільш загальним чином С. ф. можна визначити як власні вектори лінійних операторів в лінійних функціональних просторах. У квантовій механіці С. ф. оператора, що відповідає якій-небудь фізичній величині (див. Оператори в квантовій теорії), відповідають станам системи, в яких дана фізична величина має певне значення.
Інколи С. ф. називають також фундаментальними функціями, характеристичними функціями і т.д.
