Власні значення лінійного перетворення або оператора А , числа l, для яких існує ненульовий вектор х такий, що Ах = l х ; вектор х називається власним вектором . Так, С. з. диференціального оператора L ( в ) із заданими краєвими умовами служать такі числа l, при яких рівняння L ( в ) = l в має ненульове рішення, що задовольняє цим краєвим умовам. Наприклад, якщо оператора L ( в ) має вигляд у’’ , то його С. з. за краєвих умов в (0) = в (p) = 0 служать числа вигляду l n = n 2 , де n — натуральне число, т.к. уравненію — у’’ = n 2 в з вказаними краєвими умовами задовольняють функції у п = sin nx ; якщо ж l n ¹ n 2 ні при якому натуральному n , то рівнянню — у’’ = l в за тих же краєвих умов задовольняє лише функція в ( х ) º 0. До вивчення С. з. лінійних операторів приводять багато завдань математики, механіки і фізики (аналітичної геометрії і алгебри, теорії коливань квантової механіки і т.д.).
С. з. матриці ( i , до = 1, 2..., n ) називають С. з. відповідного їй лінійного перетворення п-мірного комплексного простору. Їх можна визначити також як коріння визначника матриці А — l Е (де Е — одинична матриця), тобто коріння рівняння
(*)
званого характеристичним рівнянням матриці. Ці числа збігаються для подібних матриць А і В –1 AB (де В — неособлива матриця) і характеризують тому властивості лінійного перетворення, не залежні від вибору системи координат. Кожному Корню l i ; рівняння (*) відповідає вектор x i ¹ 0 (власний вектор) такий, що Ax i = l i x i . Якщо все С. з. різні, ту безліч власних векторів можна вибрати за базис векторного простору . В цьому базисі лінійне перетворення описується діагональною матрицею
.
Кожну матрицю А з різними С. з. можна представити у вигляді З –1 L З . Якщо А — самосопряженная матриця, то її С. з. дійсні, власні вектори ортогональні, а матрицю З можна вибрати унітарною (див. Унітарна матриця ). Модуль кожного С. з. унітарної матриці рівний 1. Сума С. з. матриці дорівнює сумі її діагональних елементів, тобто сліду її матриці. Знання С. з. матриці грає важливу роль в дослідженні збіжності деяких наближених методів вирішення систем лінійних рівнянь. Див. також Власні функції .
