Векторний простір
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Векторний простір

Векторний простір, математичне поняття, узагальнювальне поняття сукупності всіх (вільних) векторів звичайного тривимірного простору.

  Визначення Ст п. Для векторів тривимірного простору вказані правила складання векторів і множення їх на дійсні числа (див. Векторне числення ) . В застосуванні до будь-яких векторів х, в, z і будь-яким числам а, b ці правила задовольняють наступним умовам (умови А):

загрузка...

  1) х + в = в + х (перестановочность складання);

  2) ( х + в ) + z = x + ( в + z ) (асоціативність складання);

  3) є нульовий вектор 0 (або нуль-вектор), що задовольняє умові x + 0 = x: для будь-якого вектора x ;

  4) для будь-якого вектора х існує протилежний до нього вектор в такий, що х + в = 0 ,

  5) 1 · х = х,

  6) а ( bx ) = ( ab ) х (асоціативність множення);

  7) ( а + b ) х = ах + (розподільна властивість відносно числового множника);

  8) а ( х + в ) = ах + ау (розподільна властивість відносно векторного множника).

  Векторним (або лінійним) простором називається безліч R, що складається з елементів будь-якої природи (званих векторами), в якому визначені операції складання елементів і множення елементів на дійсні числа, що задовольняють умовам А (умови 1—3 виражають, що операція складання, визначена в Ст п., перетворює його на комутативну групу). Вираження

  a 1 e 1 + a 2 e 2 + . + a n e n    (1)

  називається лінійною комбінацією векторів e 1 , e 2 ..., e n з коефіцієнтами a 1 , a 2 , ..., a n . Лінійна комбінація (1) називається нетривіальною, якщо хоч би один з коефіцієнтів a 1 , a 2 ..., a n відмінний від нуля. Вектори e 1 , e 2 ..., e n називаються лінійно залежними, якщо існує нетривіальна комбінація (1), що є нульовим вектором. Інакше (тобто якщо лише тривіальна комбінація векторів e 1 , e 2 ..., e n дорівнює нульовому вектору) вектори e 1 , e 2 ..., e n називається лінійно незалежними.

  Вектори (вільні) тривимірного простору задовольняють наступній умові (умова В): існують три лінійно незалежних вектора; будь-які чотири вектори лінійно залежні (будь-які три ненульові вектори, не лежачі в одній плоскості, є лінійно незалежними).

  Ст п. називається n-мірнім (або має «розмірність ) , якщо в нім існують n лінійно незалежних елементів e 1 , e 2 ..., e n , а будь-які n + 1 елементів лінійно залежні (узагальнена умова В). Ст п. називаються безконечномірним, якщо в нім для будь-якого натурального n існує n лінійно незалежних векторів. Будь-які n лінійно незалежних векторів n-мірного Ст п. утворюють базис цього простору. Якщо e 1 , e 2 ..., e n — базис Ст п., то будь-який вектор х цього простору може бути представлений єдиним чином у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:

  x = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n .

  При цьому числа a 1 , a 2, ..., a n називаються координатами вектора х в даному базисі.

  Приклади Ст п. Безліч всіх векторів тривимірного простору утворює, очевидно, Ст п. Складнішим прикладом може служити так званий n-мірній арифметичний простір. Векторами цього простору є впорядковані системи з n дійсних чисел : l 1 , l 2 ..., l n . Сума двох векторів і твір на число визначаються співвідношеннями:

  ( l 1 , l 2 ., l n ) + ( m 1 , m 2 ., m n ) = ( l 1 + m 1 , l 2 + m 2 ., l n + m n ) ;

  а ( l 1 , l 2 ., l n ) = ( al 1 , al 2 ., al n ) .

  Базисом в цьому просторі може служити, наприклад, наступна система з n векторів e 1 = (1, 0..., 0), e 2 = (0, 1..., 0),..., e n = (0, 0..., 1).

  Безліч R всіх многочленів a 0 + a 1 u + . + a n u n (будь-яких мір n ) від одного змінного з дійсними коефіцієнтами a 0 , a 1 ..., a n із звичайними правилами алгебри складання многочленів і множення многочленів на дійсні числа утворює Ст п. Многочлени 1, u, u 2 ..., u n (при будь-якому n ) лінійно незалежні в R, тому R — безконечномірне Ст п.

  Многочлени міри не вище n утворюють Ст п. розмірності n + 1 ; його базисом можуть служити многочлени 1, u, u 2 ..., u n .

  Підпростори Ст п. В . п. R'' називається підпростором R, якщо R'' Í R (тобто кожен вектор простору R'' є і вектор простору R ) і якщо для кожного вектора v Î r'' і для кожних двох векторів v 1 і v 2 ( v 1 , v 2 Î R'' ) вектор lv (при будь-якому l ) і вектор v 1 + v 2 один і той же незалежно від того, чи розглядаються вектори v, v 1 , v 2 як елементи простору R'' або R. Лінійною оболонкою векторів x 1 , x 2 ... x p називається безліч всіляких лінійних комбінацій цих векторів, тобто векторів вигляду a 1 x 1 + a 2 x 2 + . + a p x p . У тривимірному просторі лінійною оболонкою одного ненульового вектора x 1 буде, очевидно, сукупність всіх векторів, лежачих на прямій, визначуваній вектором x 1 . Лінійною оболонкою двох не лежачих на одній прямій векторів x 1 і x 2 буде сукупність всіх векторів, розташованих в плоскості, яку визначають вектори x 1 і x 2 . В загальному випадку довільного Ст п. R лінійна оболонка векторів x 1 , x 2 ..., x p цього простору є підпростором простору R розмірності р. В n-мірному Ст п. існують підпростори всієї розмірності, меншої р. Всякий скінченномірний (даній розмірності до ) підпростір R'' Ст п. R є лінійна оболонка будь-яких до лінійно незалежних векторів, лежачих в R''. Простір, що складається зі всіх многочленів міри £ n (лінійна оболонка многочленів 1, u, u 2 ..., u n ) , є ( n + 1 ) - мірний підпростір простору R всіх многочленів.

  Евклід простори. Для розвитку геометричних методів в теорії Ст п. потрібно вказати дороги узагальнення таких понять, як довжина вектора, кут між векторами і тому подібне Одна з можливих доріг полягає в тому, що будь-яким двом векторам х і в з R ставиться у відповідність число, що позначається ( х, в ) і зване скалярним твором векторів х і в. При цьому потрібний, щоб виконувалися наступні аксіоми скалярного твору:

  1) ( х, в ) = ( в, х ) (перестановочность);

  2) ( x 1 + x 2 , в ) = ( x 1 , в ) + ( x 2 , в ) (розподільна властивість);

  3) ( ах, в ) = а ( х, в ) ,

  4) ( х, х ) ³ 0 для будь-якого х , причому ( х, х ) = 0 лише для х = 0 .

  Звичайний скалярний твір в тривимірному просторі цим аксіомам задовольняє. Ст п., в якому визначений скалярний твір, що задовольняє перерахованим аксіомам, називається евклідовим простором; воно може бути як скінченномірним (n-мірнім), так і безконечномірним. Безконечномірне евклідове простір зазвичай називають Гільбертовим простором . Довжина | x | вектора x і кут  між векторами х і в евклідова простори визначаються через скалярний твір формулами

 

  Прикладом евклідова простори може служити звичайний тривимірний простір із скалярним твором, визначуваним в векторному численні. Евклід n-мірній (арифметичне) простір E n отримаємо, визначаючи в n -мepном арифметичному Ст п. скалярний твір векторів x = ( l 1 ., l n ) і в = ( m 1 ., m n ) співвідношенням

  ( x, в ) = l 1 m 1 + l 2 m 2 + . + l n m n .     (2)

  При цьому вимоги 1)—4), очевидно, виконуються.

  В евклідових просторах вводиться поняття ортогональних (перпендикулярних) векторів. Саме вектори х і в називаються ортогональними, якщо їх скалярний твір дорівнює нулю: ( х, в ) = 0. В розглянутому просторі E n умова ортогональності векторів x = ( l 1 ., l n ) і в = ( m 1 ., m n ) , як це витікає із співвідношення (2), має вигляд:

  l 1 m 1 + l 2 m 2 + . + l n m n = 0. (3)

  Вживання Ст п . Поняття Ст п. (і різні узагальнення) широко застосовується в математиці і її додатках до природознавства. Хай, наприклад, R — безліч всіх вирішень лінійного однорідного диференціального рівняння y n + a 1 ( x ) в ( n + 1 ) + . + a n ( x ) в = 0 . Ясно, що сума двох рішень і твір рішення на число є вирішеннями цього рівняння. Таким чином, R задовольняє умовам А. Доводиться, що для R виконане узагальнена умова Ст Отже, R є Ст п. Будь-який базис в розглянутому Ст п. називається фундаментальною системою рішень, знання якої дозволяє знайти всі вирішення даного рівняння. Поняття евклідова простори дозволяє повністю геометрізовать теорію систем однорідних лінійних рівнянь:

 

  Розглянемо в евклідовом просторі E n вектори a i = ( a i1 , a i2 ., a in ) , i = 1, 2..., n і вектор-вирішення u = ( u 1 , u 2 ..., u n ). Користуючись формулою (2) для скалярного твору векторів E n , надамо системі (4) наступному вигляду:

  ( a i , u ) = 0, i = 1, 2 ., m .   (5)

  Із співвідношень (5) і формули (3) виходить, що вектор-вирішення u ортогональний всім векторам a i . Іншими словами, цей вектор ортогональний лінійній оболонці векторів a i , тобто вирішення u є будь-який вектор з ортогонального доповнення лінійної оболонки векторів a i . Важливу роль в математиці і фізиці грають і безконечномірні лінійні простори . Прикладом такого простору може служити простір З безперервних функцій на відрізку з звичайною операцією складання і множення на дійсні числа. Згаданий вище простір всіх многочленів є підпростором простору З .

  Літ.: Александров П. С., Лекції з аналітичної геометрії, М., 1968; Гельфанд І, М., Лекції з лінійної алгебри, М. — Л., 1948.

  Е. Р. Позняк.