Векторне числення, математична дисципліна, в якій вивчають властивості операцій над векторами евклідова простори. При цьому поняття вектора є математичною абстракцією величин, що характеризуються не лише чисельним значенням, але і спрямованістю (наприклад, сила, прискорення, швидкість).
Виникнення і розвиток Ст і. Виникнення Ст і. тісно пов'язано з потребами механіки і фізики. До 19 ст для завдання векторів використовувався лише координатний спосіб, і операції над векторами зводилися до операцій над їх координатами. Лише в середині 19 ст зусиллями ряду учених було створено Ст і., у якому операції проводилися безпосередньо над векторами, без звернення до координатного способу завдання. Основи Ст і. були закладені дослідженнями англійського математика У. Гамільтона і німецького математика Г. Грасмана по гіперкомплексних числах (1844—50). Їх ідеї були використані англійським фізиком Дж. К. Максвеллом в його роботах по електриці і магнетизму. Сучасний вигляд Ст і. додав американський фізик Дж. Гіббс. Значний внесок у розвиток Ст і. внесли росіяни учені. В першу чергу слід зазначити роботи М. Ст Остроградського. Їм була доведена основна теорема векторного аналізу (див. Остроградського формула ) . Дослідження казанського математика А. П. Котельникова по розвитку гвинтового числення мали важливе значення для механіки і геометрії. Ці дослідження були продовжені радянськими математиками Д. Н. Зейлігером і П. А. Широковим. Великий вплив на розвиток Ст і. мала книга «Векторний аналіз», написана в 1907 російським математиком П. О. Сомовим.
Векторна алгебра. Вектором називають направлений відрізок ( мал. 1 ), тобто відрізок, в якого вказані початок (називається також точкою додатка вектора) і кінець. Довжина направленого відрізання, що змальовує вектор, називається завдовжки, або модулем, вектора. Довжина вектора а позначається | а | . Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать або на одній прямій, або на паралельних прямих. Два вектори називаються рівними, якщо вони коллінеарни, мають однакову довжину і однаково направлені. Всі нульові вектори вважаються рівними. Змальовані на мал. 1 вектори а і b коллінеарни і рівні. У Ст і. розглядаються вільні вектори.
У векторній алгебрі важливу роль грають лінійні операції над векторами: операція складання векторів і множення вектора на дійсне число. Сумою а + b векторів а і b називають вектор, що йде з початку вектора а в кінець вектора b за умови, що початок вектора b прикладений до кінця вектора а ( мал. 2 ). Походження цього правила пов'язане з правилом паралелограма складання векторів ( мал. 3 ), джерелом якого є експериментальний факт складання сил (векторних величин) за цим правилом. Побудова суми декількох векторів ясна з мал. 4 . Твором a а вектора а на число а називається вектор, колінеарний вектору а , що має довжину, рівну l а l . l а l, і напрям, співпадаючий з напрямом а при а > 0 і протилежне а при а < 0. Вектор —1 · а називається протилежним до вектора а і позначається — а . Операції складання векторів і множення вектора на число володіють наступними властивостями:
1) а + b = b + а ,
2) ( а + b ) + з = а + ( b + з ),
3) а + 0 = а ,
4) а + ( -a ) = 0 ,
5) 1 · а = а ,
6) а ( b а ) = ( ab ) а ,
7) а ( а + b ) = a а + a b ,
8) ( а + b ) а = a а + b а .
У векторній алгебрі часто використовується поняття лінійно залежних і лінійно незалежних векторів. Вектори a 1 , a 2 , ..., а n називаються лінійно залежними, якщо знайдуться такі числа a 1 , a 2 ..., a n з яких хоч би одне відмінне від нуля, що лінійна комбінація ( a 1 a 1 + ... + a n а n ) цих векторів дорівнює нулю. Вектори a 1 , a 2 ..., a n , що немає лінійно залежними, називаються лінійно незалежними. Відзначимо, що будь-які три ненульові вектори, не лежачі в одній плоскості, є лінійно незалежними.
Вектори евклідова простори володіють наступною властивістю: існують три лінійно незалежних вектора, будь-які ж чотири вектори лінійно залежні. Це властивість характеризує тривимірність даної безлічі векторів. У поєднанні з перерахованими вище властивостями вказана властивість означає, що сукупність всіх векторів евклідова простори утворює, так зване, векторний простір . Лінійно незалежні вектори e 2 , e 2 , e 3 , утворюють базис. Будь-який вектор а може бути єдиним чином розкладений по базису: а = X e 2 + Y e 2 + Z e 3 ; коефіцієнти X, Y, Z називаються координатами (компонентамі) вектора а в даному базисі. Якщо вектор а має координати X, Y, Z , те це записують так: а = í X, Y, Z ý . Три взаємно ортогональних (перпендикулярних) вектора, довжини яких дорівнюють одиниці і які зазвичай позначають так : i, j, до , утворюють, так званий ортонормований базис. Якщо ці вектори помістити початками в одну крапку Про, то вони утворюють в просторі декартову прямокутну систему координат. Координати X, Y, Z будь-якої точки М-коду в цій системі визначаються як координати вектора ОМ ( мал. 5 ). Вказаним вище лінійним операціям над векторами відповідають аналогічні операції над їх координатами: якщо координати векторів а і b рівні відповідно í X 1 , Y 1 , Z 1 ý і í X 2 , Y 2 , Z 2 ý, те координати суми а + b цих векторів рівні íX 1 + X 2 , Y 1 + Y 2 , Z 1 + Z 2 ý, координати вектора l а рівні í lx 1 + ly 1 + lz 1 ý .
Розвиток і вживання векторної алгебри тісно пов'язаний з різними типами векторних творів: скалярного, векторного і змішаного. Поняття скалярного твору векторів виникає, наприклад, при розгляді роботи сили F на заданій дорозі S : робота рівна | F || S | cosj, де j — кут між векторами F і S . Математично скалярний твір векторів а і b визначається як число, що позначається ( а , b ) і рівне твору довжин цих векторів на косинус кута між ними:
( а , b ) = | а || b | cosj.
Величина | b | cosj називається проекцією вектора b на вісь, визначувану вектором а , і позначається пр а b . Тому ( а, b ) = | а | пр а b . Зокрема, якщо а — одиничний вектор (| а | = 1 ) , те ( а, b ) = пр а b . Очевидні наступні властивості скалярного твору:
( а , b ) = ( b , а ), ( l а , b ) = l ( а , b ) ,
( а + b , з ) = ( а , з ) + ( b , з ), ( а , а ) ³ 0,
причому рівність нулю має місце лише прі а = 0 . Якщо в ортонормованому базисі i, j, до вектори а і b мають відповідно координати í X 1 , Y 1 , Z 1 ý і í Х 2 , Y 2 , Z 2 ý, то ( а , b ) = X 1 X 2 + Y 1 Y 2 + Z 1 Z 2,
Для визначення векторного твору векторів потрібне поняття лівої і правої впорядкованої трійки векторів. Впорядкована трійка векторів а, b, з ( а — перший вектор, b — второй, з — третій), приведених до загального початку і не лежачих в одній плоскості, називається правою (лівою), якщо вони розташовуються так, як можуть бути розташовані відповідно великій, незігнутий вказівний і середній пальці правої (лівою) руки. На мал. 6 змальовані справа — права, а зліва — ліва трійки векторів.
Векторним твором векторів а і b називають вектор, що позначається [ а, b ] і задовольняє наступним вимогам: 1) довжина вектора [ а, b ] дорівнює твору довжин векторів а і b на синус кута j між ними (таким чином, якщо а і b коллінеарни, то [ а, b ] = 0 ); 2) якщо а і b неколлінеарни, то [ а, b ] перпендикулярний кожному з векторів а і b і направлений так, що трійка векторів а , b, [ а, b ] є правою. Векторний твір володіє наступними властивостями:
[ а , b ] = — [ b , а ], [( l а ), b ] = l [ а , b ],
[ з , ( а + b )] = [ з , а ] + [ з , b ], [ а [ b , з ]] = b ( а , з ) — з ( а , b ) ,
([ а , b ], [ з , d ]) = ( а , з )( b , d ) — ( а , d )( b , з ) .
Якщо в ортонормованому базисі i, j, до , створюючому праву трійку, вектори а і b мають відповідно координати í X 1 , Y 1 , Z 1 ý і í X 2 , Y 2 , Z 2 ý, те [ а, b ] = í Y 1 Z 2 — Y 2 Z 1 , Z 1 X 2 — Z 2 X 1 , X 1 Y 2 — X 2 Y 1 ý. Поняття векторного твору пов'язане з різними питаннями механіки і фізики. Наприклад, швидкість v точки М-коду тіла, що обертається з кутовою швидкістю з довкола осі l, рівна [ w, r ], де
Змішаним твором векторів а, b і з називається скалярний твір вектора [ а, b ] на вектор з : ([ а, b ], з ) . Позначається змішаний твір символом abc . Змішаний твір не паралельних одній плоскості векторів а , b і з чисельно дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на приведених до загального початку векторах а , b і з , узятому із знаком плюс, якщо трійка а , b і з права, і із знаком мінус, якщо трійка ліва. Якщо ж вектори а , b і з паралельні одній плоскості, то abc = 0 . Справедливо також наступне свойство abc = bca = cab . Якщо координати векторів а , b і з в ортонормованому базисі i, j, до , створюючому праву трійку, відповідно рівні í X 1 , Y 1 , Z 1 ý, í X 2 , Y 2 , Z 2 ý і í Х 3 , Y 3 Z 3 ý, то
Вектор-функції скалярних аргументів. В механіці, фізиці, диференціальній геометрії широко використовується поняття вектор-функції одного або декількох скалярних аргументів. Якщо кожному значенню змінної t з деякої безлічі í t ý ставиться у відповідність по відомому закону певний вектор r , то говорять, що на безлічі í t ý задана вектор-функція (векторна функція) r = r ( t ) . Оскільки вектор r визначається координатами í x, в, z ý, те завдання вектор-функції r = r ( t ) еквівалентно завданню трьох скалярних функцій: х = x ( t ) , в = в ( t ) , z = z ( t ). Поняття вектор-функції стає особливо наочним, якщо звернутися до так званого годографу цієї функції, тобто до геометричного місця кінців всіх векторів r ( t ) , прикладених до початку координат Про ( мал. 7 ). Якщо при цьому розглядати аргумент t як час, то вектор-функція r ( t ) є законом руху крапки М-кодом, рухомою по кривій L — годографу функції r ( t ) .
Для вивчення вектор-функцій важливу роль грає поняття похідної. Це поняття вводиться таким чином: аргументу t додається приріст Dt ¹ 0 і вектор D r = r ( t + Dt ) — r ( t ) ( на мал.(малюнок) 7 це вектор ) множиться на 1/dt . Межа вираження D r /dt при Dt ® 0 називається похідній вектор-функції r ( t ) і позначається r '' ( t ) або d r /dt . Похідна є вектором, дотичним до годографа L у даній точці М. Якщо вектор-функція розглядається як закон руху крапки по кривій L, те похідна r '' ( t ) дорівнює швидкості руху цієї крапки. Правила обчислення похідних різних творів вектор-функцій подібні до правил обчислення похідних творів звичайних функцій. Наприклад,
( r 1 , r 2 ) '' = ( r '' 1 , r 2 ) + ( r 1 , r '' 2 ) ,
[ r 1 , r 2 ] ’ = [ r '' 1 , r 2 ] + [ r 1 , r '' 2 ] .
В диференціальній геометрії вектор-функції одного аргументу використовуються для завдання кривих. Для завдання поверхонь користуються вектор-функціями двох аргументів.
Векторний аналіз. В механіці, фізиці і геометрії широко використовуються поняття скалярного і векторного поля. Температура нерівномірно нагрітої пластинки, щільність неоднорідного тіла є фізичними прикладами відповідно плоского і просторового скалярного поля. Векторне поле утворює безліч всіх векторів швидкостей часток сталого потоку рідини. Прикладами векторних полів можуть служити також поле сили тяжіння, магнітна і електрична напруга електромагнітного поля.
Для математичного завдання скалярних і векторних полів використовуються відповідно скалярні і векторні функції. Ясно, що щільність тіла є скалярною функцією крапки, а поле швидкостей часток сталого потоку рідини — векторну функцію крапки. Математичний апарат теорії поля зазвичай називають векторним аналізом. Для геометричної характеристики скалярного поля використовуються поняття ліній і поверхонь рівня. Лінією рівня плоского скалярного поля називається лінія, на якій функція, задаюча поле, має постійне значення. Аналогічно визначається поверхня рівня просторового поля. Прикладами лінії рівня можуть служити ізотерми — лінії рівня скалярного поля температур нерівномірно нагрітої пластинки.
Звернемося до поверхні (лінії) рівня скалярного поля, що проходить через дану точку М. При зсуві по нормалі до цієї поверхні (лінії) в точці М-коду спостерігається максимальна зміна в цій точці функції f задаючою поле. Ця зміна характеризується за допомогою градієнта скалярного поля. Градієнтом є вектор, направлений по нормалі до поверхні (лінії) рівня в точці М-коду у бік зростання f цій крапці. Величина градієнта рівна похідною f вказаному напрямі. Позначається градієнт символом grad f . У базисі i, j до градієнт grad f має координати
для плоского поля координати градієнта рівні
Градієнтом скалярного поля є векторне поле.
Для характеристики векторних полів вводиться цілий ряд понять: векторної лінії, векторної трубки, циркуляції векторного поля, дивергенції і вихору (ротора) векторного поля. Хай в деякій області W задане векторне поле за допомогою векторної функції а ( М-код ) змінної точки М-коду з W . Лінія L в області W називається векторною лінією, якщо вектор дотичної в кожній її точці М-коду направлений по вектору а ( М-код ) ( мал. 8 ). Якщо поле а ( М-код ) — поле швидкостей часток стаціонарного потоку рідини, то векторні лінії цього поля — траєкторії часток рідини. Частина простору в W , що полягає з векторних ліній, називається векторною трубкою ( мал. 9 ). Якщо звернутися до векторного поля швидкостей часток стаціонарного потоку рідини, то векторна трубка є частина простору, яку «замітає» при своєму переміщенні деякий фіксований об'єм рідини.
Хай АВ — деяка гладка лінія в W , l — довжина дуги АВ, відлічувана від точки А до змінної точки М-коду цієї лінії, t — одиничний вектор дотичної до АВ в М. Циркуляцією поля а ( М-код ) уподовж кривий АВ називається вираження
Якщо b ( M ) — силове поле, то циркуляція а уподовж АВ є роботою цього поля уздовж дороги АВ.
Дивергенція векторного поля а ( М-код ) , що має в базисі i, j, до координати Р, Q, R , визначається як сума
і позначається символом div а . Наприклад, дивергенція гравітація поля, що створюється деяким розподілом мас, дорівнює щільності (об'ємною) r ( х, в, z ) цього поля, помноженою на 4p.
Вихор (або ротор) векторного поля а ( М-код ) є векторною характеристикою «обертальної складової» цього поля. Вихор поля а позначається rot а . Якщо Р, Q, R — координати а в базисі i, j, до , те
Хай поле а є поле швидкостей потоку рідини. Помістимо в даній точці потоку мале коліщатко з лопатями і орієнтуємо його вісь по напряму rot а в цій крапці. Тоді швидкість потоку буде максимальною, а її значення буде рівне
Градієнт скалярного поля, дивергенція і вихор векторного поля зазвичай називають основними диференціальними операціями векторного аналізу. Справедливі наступні формули, що зв'язують ці операції:
grad ( fh ) = f grad h + h grad f,
div ( f а ) = ( а , grad f ) + f div а ,
rot ( f а ) = f rot а + [ grad f, а ],
div [ а , b ] = ( b , rot а ) - ( а , rot b ) .
Векторне поле а ( М-код ) називається потенційним, якщо це поле є градієнт деякого скалярного поля f ( M ) . При цьому полі f ( M ) називається потенціалом векторного поля а . Для того, щоб поле а , координати якого Р, Q, R мають безперервні приватні похідні, було потенційним, необхідно і достатнє перетворення на нуль вихору цього поля. Якщо в одинзв'язної області W задане потенційне поле а ( М-код ), то потенціал f ( M ) цього поля може бути знайдений по формулі
в якій AM — будь-яка гладка крива, що сполучає фіксовану точку А з W з точкою М-коду , t — одиничний вектор дотичної кривої AM і l — довжина дуги AM, відлічувана від точки А.
Векторне поле а ( М-код ) називається соленоїдом, або трубчастим, якщо цим полем є вихор деякого поля b ( M ) . Поле b ( M ) називається векторним потенціалом поля а . Для того, щоб а було соленоїдом, необхідно і достатнє перетворення на нуль дивергенції цього поля. У векторному аналізі важливу роль грають інтегральні співвідношення: Остроградського формула, іменована також основною формулою векторного аналізу, і Стоксу формула . Хай V — область, кордон Г якою складається з кінцевого числа шматків гладких поверхонь, n — одиничний вектор зовнішньої нормалі до Г . Хай в області V задано таке векторне поле а ( М-код ) , що div а є безперервною функцією. Тоді справедливе співвідношення
зване формулою Остроградського.
Якщо а — поле швидкостей сталого потоку нестискуваної рідини, то ( а , n ) ds — об'єм рідини, що протікає в одиницю часу через майданчик ds на кордоні Г . Тому права частина формули (1) є потоком рідини через кордон Г тіла V в одиницю часу. Оскільки в даному випадку div а характеризує інтенсивність джерел рідини, то формула Остроградського виражає наступний наочний факт: потік рідини через замкнуту поверхню Г дорівнює кількості рідини, що породжується всіма джерелами, розташованими усередині Г. Пусть в області W задане безперервне векторне поле , що диференціюється, а , що має безперервний вихор rot а . Хай Г — орієнтована поверхня, що складається з кінцевого числа шматків гладких поверхонь, n — одиничний вектор нормалі до Г , t — одиничний вектор дотичної до краю g поверхні Г , l — довжина дуги g. Справедливо наступне співвідношення
зване формулою Стоксу. Формула (2) виражає наступний фізичний факт: потік вихору векторного поля а через поверхню Г дорівнює циркуляції цього поля уподовж кривий g. Формула Остроградського служить джерелом інваріантного (незалежного від вибору системи координат) визначення основних операцій векторного аналізу. Наприклад, з цієї формули витікає, що
Оскільки вираженням
є потік рідини через Г , а
величину цього потоку на одиницю об'єму, те визначення div а за допомогою співвідношення (3) показує, що div а характеризує інтенсивність джерела в даній крапці.
Літ.: Кочин Н. Е., Векторне числення і початки тензорного числення, 6 видавництво, Л.—М., 1938; Дубнов Я. С., Основи векторного числення, 4 видавництва, т. 1—2, М., 1950—52; Будак Би. М., Фомін С. Ст, Кратні інтеграли і ряди, 2 видавництва, М., 1967.
