Скалярний твір векторів а і b , скаляр, рівний твору довжин цих векторів і косинуса кута між ними; позначається ( а, b ) (або ab ) . Наприклад, робота постійної сили F уздовж прямолінійної дороги S рівна ( F , S ). Властивості С. п.: 1) ( а, b ) = ( b, а ), 2) (a а , b ) = а, 3) ( а , b + з ) = ( а, b ) + ( а , з ), 4) ( а , а ) > 0, якщо а ¹ 0, і ( а , а ) = 0, якщо а = 0.
Довжина вектора а рівна . Якщо ( а, b ) = 0, то або а = 0, або b = 0, або а ^ b. Якщо а = ( a 1 , a 2 , a 3 ) і b = ( b 1 , b 2 , b 3 ), то ( а, b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (у прямокутних декартових координатах). Поняття «З. п.» узагальнюють на n -мерниє векторні простори, де рівність ( а, b ) = приймають за визначення С. і. і за допомогою такого визначеного С. п. вводять геометричне поняття довжини вектора, кута між векторами і т. д. Безконечномірне лінійний простір, в якому визначено С. п. і виконана аксіома повноти відносно норми (див. Повний простір ), називають Гільбертовим простором . Гільбертові простори грають важливу роль у функціональному аналізі і квантовій механіці. Для векторних просторів над полем комплексних чисел умова 1) замінюють умовою ( а, b ) = і С. п. визначають як .
Вектори а і b можна розглядати як кватерніони a 1 i + a 2 j + a 3 до і b 1 i + b 2 j + b 3 до. Тоді їх С. п. дорівнює узятій із зворотним знаком скалярній частині твору цих кватерніонов (а векторний твір — векторній частині).
