Лінійний простір , теж, що векторний простір . В функціональному аналізі розглядаються головним чином безконечномірні простори. Прикладом безконечномірного Л. п. може служити простір всіх многочленів (з речовими або комплексними коефіцієнтами) при звичайному визначенні складання і множення на числа. Одним з перших прикладів безконечного Л. п. були Гільбертовий простір і простір З [ а, b ] безперервних функцій, заданих на відрізку [ а, b ]. Ці простори є нормованими, тобто такими Л. п., в яких введена норма елементу х — ненегативне число, що перетворюється на нуль лише при х = 0 і що володіє властивостями і (нерівність трикутника). Число називають відстанню між елементами х і в (див. також Метричний простір ) . В нормованому Л. п. вводяться поняття відкритої кулі, граничної точки безлічі, безперервності функціонала аналогічно тому, як це робиться в тривимірному просторі.
В скінченномірному просторі різні норми топологічно рівносильні: послідовність крапок, що сходяться при одній нормі, сходиться і при будь-якій іншій. У безконечномірних просторах норми можуть бути істотно різні. Наприклад, при рішенні задачі П. Л. Чебишева про розшук многочлена, що найменш ухиляється від нуля (завдання про найкраще наближення), треба знайти такий многочлен ( до — 1) -ої міри P к-i ( t ), щоб
мав найменше значення. Вводячи в простір З[0,1] норму формулою
=
це завдання можна сформулювати таким чином: потрібно знайти многочлен P до -i ( t ), відстань якого від функції t* була б найменшою. При розгляді ж многочленів, ортогональних з вагою p(t) (див. Ортогональна система функцій ) , природно розглядати норму, визначену формулою
,
і вирішувати задачу про найкраще наближення в сенсі цієї норми. Норми і істотно різні, оскільки, наприклад, послідовність функцій
по першій нормі розходиться, а по другій нормі при p ( t ) = 1 сходиться до функції
.
Слід зазначити, що хоча всі функції x n ( t ) були безперервні, функція x ( t ) розривна. Це пов'язано з тим, що простір безперервних функцій неповно відносно норми . При цьому нормоване Л. п. називається повним, якщо для будь-якої послідовності { x n } його елементів, що задовольняють умові
,
існує в Л. п. такий елемент х, що дана послідовність сходиться до нього, тобто
,
Якщо Л. п. неповно, то до нього можна приєднати нові елементи (поповнити його) так, що воно стане повним. Наприклад, поповнюючи простір безперервних функцій, узятий з нормою, отримують Гільбертовий простір L 2 p . Повні нормовані Л. п. називається Банаховими, або в-просторами, — по імені що вивчив їх основні властивості С. Банаха .
Узагальненням поняття B -пространства є поняття топологічного Л. п. Так, називають безліч Е, якщо: 1) воно є Л. п., 2) воно є топологічним простором, 3) операції складання і множення на числа в Е безперервні відносно заданої в Е топології. До топологічного Л. п. відносяться всі нормовані простори. А. Н. Колмогоров встановив (1934) необхідні і достатні умови норміруємості топологічного Л. п.
Літ.: Колмогоров А. Н., Фомін С. Ст, Елементи теорії функцій і функціонального аналізу, 2 видавництва, М., 1968; Люстерник Л. А., Собольов Ст І., Елементи функціонального аналізу, 2 видавництва, М., 1965.
