Метричний простір
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Метричний простір

Метричний простір, безліч об'єктів (крапок), на якій введена метрика . Всяке М. п. є топологічним простором ; за околиці в нім приймаються всілякі відкриті кулі [при цьому відкритою кулею радіусу R з центром в точці x 0 називається сукупність всіх точок х , для яких відстань r( х, x 0 )< R ]. Топологія однієї і тієї ж безлічі може бути різною залежно від метрики, введеної на нім. Наприклад, на безлічі речових функцій, визначених і безперервних на відрізку [ а, b ] числової осі, можна ввести дві метрики:

загрузка...

  Відповідні М. п. володіють різними топологічними властивостями. М. п. з метрикою (1) є повним [для будь-якої послідовності його крапок { x n } такий, що r 1 ( x n , x m ) ® 0 При n, m ® ¥, знайдеться елемент x 0 М. п., що є межею цієї послідовності]; М. п. з метрикою (2) цією властивістю не володіє. У М. п. можна вводити фундаментальні поняття аналізу: безперервність відображення одного М. п. в інше, збіжність, компактність і т.д. Поняття «М-код. п.» було введене М. Фреше в 1906.

 

  Літ.: Александров П. С., Введення в загальну теорію безлічі і функцій, М. — Л. 1948; Колмогоров А. Н., Фомін С. Ст, Елементи теорії функцій і функціонального аналізу, 3 видавництва, М., 1972; Люстерник Л. А., Собольов Ст І., Елементи функціонального аналізу, 2 видавництва, М., 1965.

  Ст І. Собольов.