Функціональний аналіз, частина сучасної математики, головним завданням якої є вивчення безконечномірних просторів і їх відображень. Найбільш вивчені лінійні простори і лінійні відображення. Для Ф. а. характерне поєднання методів класичного аналізу, топології і алгебри. Абстрагуючись від конкретних ситуацій, удається виділити аксіоми і на їх основі побудувати теорії, що включають класичні завдання як окремий випадок і що дають можливість вирішувати нові завдання. Сам процес абстрагування має самостійне значення, прояснюючи ситуацію, відкидаючи зайве і відкриваючи несподівані зв'язки. В результаті удається глибше проникнути в суть математичних понять і прокласти нові дороги дослідження.
Розвиток Ф. а. відбувалося паралельно з розвитком сучасної теоретичної фізики, при цьому з'ясувалося, що мова Ф. а. найадекватніше відображає закономірності квантової механіки, квантової теорії поля і т.п. У свою чергу ці фізичні теорії зробили істотний вплив на проблематику і методи Ф. а.
1. Виникнення функціонального аналізу. Ф. а. як самостійний розділ математики склався на рубежі 19 і 20 вв.(століття) Велику роль у формуванні загальних понять Ф. а. зіграла створена Р. Кантором теорія безлічі. Розвиток цієї теорії, а також аксіоматичній геометрії привело до виникнення в роботах М. Фреше і Ф. Хаусдорфа метричною і загальнішою т.з. теоретико-множинній топології, що вивчає абстрактні простори, тобто безліч довільних елементів, для яких встановлено тим або іншим способом поняття близькості.
Серед абстрактних просторів для математичного аналізу і Ф. а. виявилися важливими функціональні простори (тобто простори, елементами яких є функції — звідки і назва «Ф. а.»). У роботах Д. Гильберта по поглибленню теорії інтегральних рівнянь виникли простори l 2 і L 2 ( а , b ) (див. нижче). Узагальнюючи ці простори, Ф. Рис вивчив простори l p і L p ( а , b ), а С. Банах в 1922 виділив повні лінійні нормовані простори (банахови простори). У 1930—40-х рр. в роботах Т. Карлеману, Ф. Рису, американських математиків М. Стоуна і Дж. Неймана була побудована абстрактна теорія самосопряженних операторів в Гільбертовому просторі.
В СРСР перші дослідження по Ф. а. з'явилися в 30-х гг.: роботи
А. Н. Колмогорова (1934) по теорії лінійних топологічних просторів;
Н. Н. Боголюбова (1936) по інваріантних заходах в динамічних системах;
Л. Ст Канторовіча (1937) і його учнів по теорії напіввпорядкованих просторів, вживанням Ф. а. до обчислювальної математики і др.; М. Г. Крейна і його учнів (1938) по поглибленому вивченню геометрії Банахових просторів, опуклої безлічі і конусів в них, теорії операторів і зв'язків з різними проблемами класичного математичного аналізу і др.; І. М. Гельфанда і його учнів (1940) по теорії нормованих кілець (Банахової алгебри) і ін.
Для сучасного етапу розвитку Ф. а. характерне посилення зв'язків з теоретичною фізикою, а також з різними розділами класичного аналізу і алгебри, наприклад теорією функцій багатьох комплексних змінних, теорією диференціальних рівнянь з приватними похідними і т.п.
2. Поняття простору. Найбільш загальними просторами, що фігурують у Ф. а., є лінійні (векторні) топологічні простори, тобто лінійні простори Х над полем комплексних чисел (або дійсних чисел ), які одночасно і топологічні, причому лінійні операції безперервні в даній топології. Більш приватна, але дуже важлива ситуація виникає, коли в лінійному просторі Х можна ввести норму (довжину) векторів, властивості якої є узагальненням властивостей довжини векторів в звичайному евклідовом просторі. Саме, нормою елементу x Î Х називається дійсне число || x || таке, що завжди || x || ³ 0 і || x || = 0 тоді і лише тоді, коли x = 0;
||l x || = |l| || x ||, l Î x , якщо || x n — x || 0.
У великому числі завдань виникає ще більш приватна ситуація, коли в лінійному просторі Х можна ввести скалярний твір — узагальнення звичайного скалярного твору в евклідовом просторі. Саме, скалярним твором елементів x , в Î Х називається комплексне число ( x , в ) таке, що завжди ( x , x ) ³ 0 і ( x , x ) = 0 тоді і лише тоді, коли x = 0;
, l, m Î є нормою елементу x . Такий простір називається ПередГільбертовим. Для конструкцій Ф. а. поважно, щоб дані простори були повними (тобто з того, що для x m , x n Î X, слідує існування межі, що також є елементом Х ). Повне лінійне нормоване і повне предгильбертово простори називаються, відповідно, Банаховим і Гільбертовим. При цьому відома процедура поповнення метричного простори (аналогічна переходу від раціональних чисел до дійсних) в разі лінійного нормованого (предгильбертова) простору приводить до банахову (гильбертову) простору.
Звичайне евклідовий простір є одним з простих прикладів (дійсного) гильбертова простори . Проте у Ф. а. грають основну роль безконечномірні простори, тобто такі, в яких існує безконечне число лінійно незалежних векторів. Ось приклади таких просторів, елементами яких є класи комплекснозначних (тобто із значеннями в, норма || x || = ; Банаховий простір L p ( T ) всіх підсумовуваних з р -ою ( p ³ 1) мірою функцій на Т , норма ; Банаховий простір l p всіх послідовностей таких, що, тут (безлічі цілих чисел), норма || x || =(å| x j | p ) 1/ p ; в разі p = 2 простори l 2 і L 2 ( T ) гильбертови, при цьому, наприклад, в L 2 ( T ) скалярний твір ; лінійний топологічний простір D (), що складається з функцій, що нескінченно диференціюються, на, кожна з яких фінітна [тобто дорівнює нулю поза деяким інтервалом ( а , b )]; при цьому x n x, якщо x n ( t ) рівномірно фінітни [тобто ( а , b ) не залежить від n ] і сходяться рівномірно зі всіма своїми похідними до відповідних похідних x ( t ).
Всі ці простори беськонечномерни, найпростіше це видно для l 2 : вектори e j = {0..., 0, 1, 0...} лінійно незалежні.
З геометричної точки зору найбільш простими є гильбертови простори Н , властивості яких більш всього нагадують властивості скінченномірних евклідових просторів. Зокрема, два вектори x , в Î Н називаються ортогональними ( x ^ в ), якщо ( x , в ) = 0. Для будь-якого x Î Н існує його проекція на довільний підпростір F — лінійна замкнута підмножина Н , тобто такий вектор x F , що x — x F ^ f для будь-якого f Î F . Завдяки цьому факту велика кількість геометричних конструкцій, що мають місце в евклідовом просторі, переноситься на Н , де вони часто набувають аналітичного характеру. Так, наприклад, звичайна процедура ортогоналізації приводить до існування в Н ортонормованого базису — послідовності векторів e j , j Î, з Н таких, що || e j || = 1, e j ^ e до при j ¹ до , і для будь-якого x Î H справедливо «покоордінатноє» розкладання
x = å x j e j (1)
де x j = ( x , e j ), || x || = å| x j | 2 (для простоти Н передбачається сепарабельним, тобто в нім існує рахункова усюди щільна безліч). Якщо як Н узяти L 2 (0, 2p) і покласти, j =...,—1, 0, 1..., то (1) дасть розкладання функції x ( t ) Î L 2 (0, 2p) в ряд Фур'є, що сходиться в середньому квадратичному. Крім того, співвідношення (1) показує, що відповідність між Н і l 2 '' {xj} , j Î Гільбертових просторів H j — конструкція, подібна до утворення Н одновимірними підпросторами, описуваному формулою (1); факторизація і поповнення: на вихідному лінійному просторі Х задається квазіскалярний твір [тобто можлива рівність ( x , x ) = 0 для x ¹ 0], часто вельми екзотичного характеру, і Н будується процедурою поповнення Х відносно (.,.) після попереднього ототожнення з 0 векторів x , для яких ( x , x ) = 0; тензорне твір — освіта його аналогічно переходу від функцій однієї змінної f ( x 1 ) до функцій багатьох змінних f ( x 1 ..., x q ); проектна межа Банахових просторів — тут (грубо кажучи), якщо для кожного а; індуктивна межа Банахових просторів X 1 Ì X 2 Ì..., тут, якщо все x j починаючи з деякого j 0 , лежать в одному X j0 , і в нім . Дві останні процедури зазвичай застосовуються для побудови лінійних топологічних просторів. Такі, наприклад, ядерні простори — проектна межа Гільбертових просторів Н а , що володіють тією властивістю, що для кожного а знайдеться b таке, що h b Ì Н а , і це — т.з. вкладення Гільберта — Шмідта [D () — приклад ядерного простору].
Розроблений важливий розділ Ф, а., у якому вивчаються простори з конічною структурою «x 0» (напіввпорядкованістю). Приклад такого простору — дійсне З ( Т ), в нім вважається x 0, якщо x ( t ³) 0 для всіх t Î T .
3. Оператори (загальні поняття). Функціонали. Хай X , Y — лінійні простори; відображення A : X ® Y називається лінійним, якщо для x , в Î X , l, m Î,
де x 1 ..., x n і ( Ax ) 1 ..., ( Ax ) n — координати векторів x і Ax відповідно. При переході до безконечномірним лінійним топологічним просторам положення значно ускладнюється. Тут перш за все необхідно розрізняти безперервних і розривних лінійних операторів (для скінченномірних просторів вони завжди безперервні). Так, що діє з простору L 2 ( а , b ) в нього ж оператор
(2)
(де K ( t , s ) — обмежена функція — ядро А ) — безперервний, тоді як визначений на підпросторі C 1 ( а , b ) Ì L 2 ( а , b ) оператор диференціювання
(3)
є розривним (взагалі, характерною особливістю розривних операторів є те, що вони не визначені на всьому просторі).
Безперервний оператор A : X ® Y , де X , Y — банахови простори, характеризується тим, що
,
тому його називають також обмеженим. Сукупність всіх обмежених операторів ( X , Y ) відносно звичайних операцій алгебри утворює Банаховий простір з нормою || A ||. Властивості, якщо для кожного x Î X ], відносно якої куля, тобто безліч точок x Î Х таких, що || x || £ r , вже буде компактним (такого ефекту ніколи не буде в безконечномірному просторі відносно топології, породжуваною нормою). Це дозволяє детальніше вивчити низку геометричних запитань для безлічі з X'' , наприклад встановити структуру довільної компактної опуклої безлічі як замкнутої оболонки своїх крайніх крапок (теорема Крейна — Мільмана).
Важливим завданням Ф. а. є відшукання загального вигляду функціоналів для конкретних просторів. У ряді випадків (окрім гильбертова простору) це удається зробити, наприклад ( l p )¢, p > 1, складається з функцій вигляду å x j e j , де . Проте для більшості Банахових (і особливо лінійних топологічних) просторів функціонали будуть елементами нової природи, що не конструюються просто засобами класичного аналізу. Так, наприклад, при фіксованих t 0 і m на просторі D () визначений функціонал . В разі m = 0 його ще можна записати «класичним» чином — за допомогою інтеграла, проте при m ³ 1 це вже неможливо. Елементи з ( D ())¢ називаються узагальненими функціями (розподілами). Узагальнені функції як елементи зв'язаного простору можна будувати і тоді, коли D () замінено іншим простором Ф, що полягає як з нескінченно, так і кінцеве число разів функцій, що диференціюються; при цьому істотну роль грають трійки просторів Ф'' É Н É Ф, де Н — початкове Гільбертовий простір, а Ф — лінійне топологічне (зокрема, Гільбертовий з ін. скалярним твором) простір, наприклад
Ф = W l 2 ( T ).
Диференціальний оператор D , що фігурує в (3), буде безперервним, якщо його розуміти таким, що діє в L 2 [ а , b ] з простору C 1 [ а , b ], забезпеченого нормою, Проте для багатьох завдань, і раніше всього для спектральної теорії, таких диференціальних операторів необхідно інтерпретувати як що діють в одному і тому ж просторі. Ці і інші близькі завдання привели до побудови загальної теорії необмежених, зокрема необмежених самосопряженних, і ермітових операторів.
4. Спеціальні класи операторів. Спектральна теорія. Багато завдань приводять до необхідності вивчати вирішувану рівняння вигляду Cx = в , де З — деякий оператор, в Î Y — заданий, а x Î Х — шуканий вектори. Наприклад, якщо Х = Y = L 2 ( а , b ), З = Е — А , де А — оператор з (2), а Е — тотожний оператор, то виходить інтегральне рівняння Фредгольма 2-го роду; якщо З — диференціальний оператор, то виходить диференціальне рівняння, і т.п. Проте тут не можна розраховувати на досить повну аналогію з лінійною алгеброю, не обмежуючи клас даних операторів. Одним з найважливіших класів операторів, найбільш близьких до скінченномірного випадку, є компактні (сповна безперервні) оператори, що характеризуються тим, що переводять кожну обмежену безліч з Х в безліч з Y , замикання якого компактно [такий наприклад, оператор А з (2)]. Для компактних операторів побудована теорія вирішуваної рівняння x — Ax = в , сповна аналогічна скінченномірному випадку (і що містить, зокрема, теорію згаданих інтегральних рівнянь) (Ф. Рис).
У всіляких завданнях математичної фізики виникає т.з. завдання на власні значення : для деякого оператора А : Х ® Х потрібно з'ясувати можливість знаходження вирішення j ¹ 0 (власного вектора ) рівнянь А j = lj при деякому l Î l j x j e j , (4)
де l j , — власне значення, e j , що відповідає . Для скінченномірного Х питання про таку виставу повністю з'ясоване, при цьому в разі кратних власних значень для здобуття базису в Х потрібно, взагалі кажучи, додати до власних т.з. приєднані вектори. Набор SPA власних значень в цьому випадку називається спектром А .
Перше перенесення цієї картини на безконечномірний випадок було дане для інтегральних операторів типа А з (2) з симетричним ядром [тобто K ( t , s ) = K ( s , t ) і дійсно] (Д. Гільберт). Потім подібна теорія була розвинена для загальних компактних самосопряженних операторів в Гільбертовому просторі. Проте при переході до простих некомпактних операторів виникли труднощі, зв'язані с. самим визначенням спектру. Так, обмежений оператор в L 2 [ а , b ]
( Tx )( t ) = tx ( t ) (5)
не має власних значень. Тому визначення спектру було переглянуте, узагальнене і виглядає зараз таким чином.
Хай Х — Банаховий простір, А Î — многочлен, то f ( A ) = (міра оператора розуміється як послідовне його вживання). Проте якщо f ( z ) — аналітична функція, то так прямо розуміти f ( A ) вже не завжди можливо; в цьому випадку f ( A ) визначається наступною формулою, якщо f ( z ) аналітічна в околиці SPA, а Г — контур, SPA, що охоплює, і лежачий в області аналітичної f ( z ):
. (6)
При цьому операції алгебри над функціями переходять в аналогічні операції над операторами [тобто відображення f ( z ) ® f ( A ) — гомоморфізм]. Ці конструкції не дають можливості з'ясувати, наприклад, питання повноти власних і приєднаних векторів для загальних операторів, проте для самосопряженних операторів, що представляють основний інтерес, наприклад, для квантової механіки, подібна теорія повністю розроблена.
Пусть Н — Гільбертовий простір. Обмежений оператор А : Н ® Н називається самосопряженним, якщо ( Ax , в ) = ( x , Ау ) (в разі необмеженого А визначення складніше). Якщо Н n -мерно, то в нім існує ортонормований базис власних векторів самосопряженного оператора А ; іншими словами, мають місце розкладання:
де P (l j ) — оператор проектування (проектор) на підпростір, натягнутий на всі власні вектори оператора А , що відповідають одному і тому ж власному значенню l j .
Виявляється, що ці формули можуть бути узагальнені на довільного самосопряженний оператора з Н , лише самі проектори P (l j ) можуть не існувати, оскільки можуть бути відсутніми і власні вектори [такий, наприклад, оператор Т в (5)]. У формулах (7) суми замінюються тепер інтегралами Стилт'єсу по неубутній операторнозначной функції Е (l) [яка в скінченномірному випадку рівна ], називається розкладанням одиниці, або спектральною (проєкторной) мірою, точки зростання якої збігаються із спектром Sp А . Якщо залучити узагальнені функції, то формули типа (7) зберігаються. Саме якщо є трійка Ф'' É Н É Ф , де Ф, наприклад, ядерний, причому А переводить Ф у Ф¢ і безперервно, то співвідношення (7) мають місце, лише суми переходять в інтеграли по деякій скалярній мірі, а Е (l) тепер «проектує» Ф у Ф¢, даючи вектори з Ф¢, які будуть власними в узагальненому сенсі для А з власним значенням l. Аналогічні результати справедливі для т.з. нормальних операторів (тобто що комутують зі своїми зв'язаними). Наприклад, вони вірні для унітарних операторів U — таких обмежених операторів, які відображують все Н на все Н і зберігають при цьому скалярний твір. Для них спектр Sp U розташований на колі | z | = 1, уздовж якої і виробляється інтеграція в аналогах формул (6). Див. також Спектральний аналіз лінійних операторів.
5. Нелінійний функціональний аналіз. Одночасно з розвитком і поглибленням поняття простору йшов розвиток і узагальнення поняття функції. Кінець кінцем виявилося необхідним розглядати відображення (не обов'язково лінійні) одного простору в інше (часто — в початкове). Одній з центральних завдань нелінійного Ф. а. є вивчення таких відображень. Як і в лінійному випадку, відображення простору в ) називається функціоналом. Для нелінійних відображень (зокрема, нелінійних функціоналів) можна різними способами визначити диференціал, похідну по напряму і т.д. аналогічно відповідним поняттям класичного аналізу. Виділення з відображення квадратичного і т.д. членів приводить до формули, аналогічної формули Тейлора.
Важливим завданням нелінійного Ф. а. є завдання відшукання нерухомих точок відображення (точка x називається нерухомою для відображення F , якщо Fx = x ). До відшукання нерухомих крапок зводяться багато завдань про вирішувану операторних рівнянь, а також завдання відшукання власних значень і власних векторів нелінійних операторів. При вирішенні рівнянь з нелінійними операторами, що містять параметр виникає істотне для нелінійного Ф. а. явище — т.з. точки галуження (рішень).
При дослідженні нерухомих крапок і точок галуження використовуються топологічні методи: узагальнення на безконечномірні простори теореми Брауера про існування нерухомих точок відображень скінченномірних просторів, міру відображень і т.п. Топологічні методи Ф. а. розвивалися польським математиком Ю. Шаудером, французьким математиком Же. Лере радянськими математиками М. А. Красносельським, Л. А. Люстерником і ін.
6. Банахова алгебра. Теорія вистав. На ранніх етапах розвитку Ф. а. вивчалися завдання, для постановки і вирішення яких необхідні були лише лінійні операції над елементами простору. Виняток становлять, мабуть, лише теорія кілець операторів (чинників) (Дж. Нейман, 1929) і теорія рядів Фур'є, що абсолютно сходяться (Н. Вінер, 1936). В кінці 30-х рр. в роботах японського математика М. Нагумо, радянських математиків І. М-код, Гельфанда, Р. Е. Шилова, М. А. Наймарка і ін. стала розвиватися теорія т.з. нормованих кілець (сучасна назва — банахови алгебра), в якій, окрім операцій лінійного простору, аксіоматизується операція множення (причому || xy || £ || x || || в ||). Типовими представниками Банахової алгебри є кільця обмежених операторів, що діють в Банаховому просторі Х (множення в нім — послідовне вживання операторів — необхідно з врахуванням порядку), різного роду функціональні простори, наприклад C ( T ) із звичайним множенням, L 1 () зі сверткой як твір, і широке узагальнення їх — клас т.з. групової алгебри (топологічні групи G ), що складається з комплекснозначних функцій або заходів, визначених на G зі сверткой (у різних, не обов'язково еквівалентних варіантах) як множення.
Хай — комутативна (тобто xy = юшок для будь-яких x , в Î на М-коді , причому сумі x + в і твору xy відповідають сума і твір функцій. Іншими словами, існує гомоморфізм Борелевих підмножин G , інваріантна справа: для будь-яких В Î, де з( h ) — характер групи G : безперервна функція на G така, що |c( h )| = 1 і з( h 1 h 2 )= з( h 1 ) з( h 2 ), d з — міра Хаару на групі характерів, а
,
— узагальнене перетворення Фур'є функцій f ( g ) і до ( g ), яке триває до ізоморфізму L 2 ( G , dg ) в L 2 (, dc). Для некомутативних груп ситуація багато в чому ускладнюється. Якщо G компактна, то представлення групи операторів зрушення (або, коротше, групи зрушень) удається добре описати; в цьому випадку L 2 ( G , dg ) розпадається в пряму суму скінченномірних інваріантних відносно зрушень підпросторів. Якщо G некомпактна, то також виходить розкладання L 2 ( G , dg ) на простіші інваріантні частини, але вже не в пряму суму, а в прямий інтеграл.
Еслі G =, то теорія унітарних вистав може бути зведена до теорії самосопряженних операторів. Саме, однопараметрична група унітарних операторів Т l , l Î у Гільбертовому просторі Н допускає представлення Т l = exp i l A , де А — самосопряженний оператор (теорема Стоун а); оператор А називається інфінітезімальним оператором (генератором) групи { Т'' l }. Цей результат знаходить важливі вживання у вивченні перетворень фазового простору класичної механіки. Цей зв'язок, а також додатки в статистичній фізиці лежать в основі обширної гілки Ф. а. — ергодічеськой теорії . Зв'язок між однопараметричними групами перетворень і їх генераторами допускає значні узагальнення: оператори T l не зобов'язані бути унітарними, можуть діяти в Банахових і загальніших просторах і навіть бути визначеними лише для l ³ 0 (т.з. теорія напівгруп операторів). Цей розділ Ф. а. має додатка в теорії диференціальних рівнянь з приватними похідними і теорії випадкових (саме марківських) процесів.
Літ.: Люстерник Л. А., Собольов Ст І., Елементи функціонального аналізу, 2 видавництва, М., 1965; Колмогоров А. Н., Фомін С. Ст, Елементи теорії функцій і функціонального аналізу 4 видавництва, М., 1976; Ахиезер Н. І., Глазман І. М., Теорія лінійних операторів в Гільбертовому просторі, 2 видавництва, М., 1966; Вуліх Би. З., Введення в теорію напіввпорядкованих просторів, М., 1961; Банах С. С., Курс функцioнального аналiзу Киïв, 1948; Рісс Ф., Секефальві-Надь Би., Лекції з функціонального аналізу, пер.(переведення) з франц.(французький), М., 1954; Собольов С. Л., Деякі вживання функціонального аналізу в математичній фізиці, Л., 1950; Канторовіч Л. Ст, Акилов Р. П., Функціональний аналіз в нормованих просторах, М., 1959; Красносельський М. А., Забрейко П. П., Геометричні методи нелінійного аналізу, М., 1975; Наймарк М. А., Нормовані кільця, 2 видавництва, М., 1968; Рудін В., Функціональний аналіз, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1975; Іосіда До., Функціональний аналіз, пер, з англ.(англійський), М., 1967; Данфорд Н., Шварц Дж., Лінійні оператори, пер.(переведення) з англ.(англійський), ч. 1—3, М., 1962—74; Хилле Е., Філіпс Р., Функціональний аналіз і напівгрупи, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, М., 1962; Едвардс Р. Е., Функціональний аналіз. Теорія і додатки пер з англ.(англійський), М., 1969.
