Спектральний аналіз лінійних операторів, узагальнення теорії , що виросла із завдань механіки, власних значень і власних векторів матриць (тобто лінійних перетворень в скінченномірному просторі) на безконечномірний випадок (див. Лінійний оператор,Операторів теорія ). У теорії коливань вивчається рух системи з n мірами свободи в околиці положення стійкої рівноваги, яка описується системою лінійних диференціальних рівнянь вигляду, де х є n -мерний вектор відхилень узагальнених координат системи від їх рівноважних значень, а А — симетрична позитивно визначена матриця. Такий рух може бути представлене у вигляді накладення n гармонійних коливань (т.з. нормальних коливань) з круговими частотами, рівними корінню квадратним зі всіляких власних значень l до матриці А. Знаходження нормальних коливань системи тут зводиться до знаходження всіх власних значень l до ; і власних векторів x до матриці А. Сукупність всіх власних значень матриці називають її спектром. Якщо матриця А — симетрична, то її спектр складається з n дійсних чисел l 1 ..., l n (деякі з них можуть збігатися один з одним), а сама матриця за допомогою переходу до нової системи координат може бути приведена до діагонального вигляду, тобто що відповідає їй лінійне перетворення А в n- мірному просторі (т.з. самосопряженноє перетворення) допускає спеціальну виставу — т.з. спектральне розкладання вигляду
де E 1 ..., E n — оператори проектування на взаємно перпендикулярні напрями власних векторів х 1 ......, x n . Несиметрична ж матриця А (якою відповідає несамосопряженноє лінійне перетворення) має, взагалі кажучи, спектр, що складається з комплексних чисел l 1 , ..., l 1 , і може бути перетворена лише до складнішою, ніж діагональна, жорданової формі [див. Нормальна (жорданова) форма матриць ], що відповідає представленню лінійного перетворення А, складнішому, ніж описане вище звичайне спектральне розкладання.
При вивченні коливань біля стану рівноваги систем з безконечним числом мір свободи (наприклад, однорідної або неоднорідної струни) завдання про знаходження власних значень і власних векторів лінійного перетворення в скінченномірному просторі доводиться розповсюдити на деякий клас лінійних перетворень (тобто лінійних операторів) в безконечномірному лінійному просторі. У багатьох випадках (включаючи, зокрема, і випадок вагання струни) відповідний оператор може бути записаний у вигляді того, що діє в просторі функцій f ( x ) інтегрального оператора А, так що тут
,
де До ( х, в ) — задана на квадраті а £ х, в £ b безперервна функція два змінних, що задовольняє умові симетрії До ( х, в ) = До ( в, х ) . В цих випадках оператор А завжди має повну систему попарно ортогональних власних функцій j до , яким відповідає рахункова послідовність дійсних власних значень l до , складових в своїй сукупності спектр оператора А. Якщо розглядати функції, на які діє оператор А, як вектори гильбертова простору, то дія А буде, як і в разі скінченномірного самосопряженного перетворення, зводитися до розтягування простору уздовж системи взаємно ортогональних осей j до з коефіцієнтами розтягування l до (при l до < 0 таке розтягування має сенс розтягування з коефіцієнтом |l до |, об'єднаного з дзеркальним віддзеркаленням), а сам оператор А тут знову матиме спектральне розкладання вигляду
де E до — оператори проектування на напрями j до .
С. а., розвинений спочатку для інтегральних операторів з симетричним ядром До ( х, в ), визначеним і безперервним в деякої обмеженої області, був потім в рамках загальної теорії операторів поширений на багато інших типів лінійних операторів (наприклад, на інтегральних операторів з ядром, що має особливість або заданим в необмеженої області, диференціальні оператори в просторах функцій одного або декількох змінних і т. д.), а також на абстрактно заданих лінійних операторів в безконечномірних лінійних просторах. Виявилось, проте, що таке поширення пов'язане з істотним ускладненням С. а., оскільки для багатьох лінійних операторів власні значення і власні функції, що розуміються в звичайному сенсі, взагалі не існують. Тому в загальному випадку спектр доводиться визначати не як сукупність власних значень оператора А, а як сукупність тих значень, для яких оператор ( А — l Е ) -1 , де Е — тотожний (одиничний) оператор, не існує, або визначений лише на нещільній безлічі, або є необмеженим оператором. Всі власні значення оператора належать його спектру і в сукупності утворюють його дискретний спектр; останню частину спектру часто називають безперервним спектром оператора [інколи ж безперервним спектром називають лише сукупність тих l, при яких оператор ( А — l Е ) -1 визначений на щільній безлічі елементів простори, але необмежений, а всі точки спектру, що не входять ні в дискретний, ні в безперервний спектр, називають залишковим спектром].
Найбільш розроблений С. а. самосопряженних лінійних операторів в Гільбертовому просторі (узагальнювальних симетричні матриці) і унітарних лінійних операторів в тому ж просторі (узагальнювальних унітарні матриці). Самосопряженний оператор А в Гільбертовому просторі завжди має чисто дійсний спектр (дискретний, безперервний або змішаний) і допускає спектральне розкладання вигляду
(*)
де E (l) — т.з. розкладання одиниці (що відповідає операторові А ) , тобто сімейство проекційних операторів, що задовольняє спеціальним умовам. Точками спектру в даному випадку є точки зростання операторній функції Е (l) ; в разі чистий дискретного спектру всі вони є скачками Е (l) , так що тут
і спектральне розкладання (*) зводиться до розкладання
Унітарний оператор в Гільбертовому просторі має спектр, розташований на колі |l| = 1, і допускає спектральне розкладання родинного (*) вигляду, але із заміною інтеграції від -¥ до ¥ інтеграцією по цьому колу. Вивчений також спеціальний клас нормальних операторів в Гільбертовому просторі, уявних в аналогічному виставі (*) вигляді, але де вже інтеграція в правій частині поширена на загальнішу безліч точок l комплексної плоскості, що є спектром А. Що торкається С. а. несамосопряженних і не що є нормальними лінійних операторів, узагальнювальних довільні несиметричні матриці, то йому були присвячені багаточисельні роботи Дж. Біркгофа (США), Т. Карлемана (Швеція), М. Ст Келдиша, М. Г. Крейна (СРСР), Б. Секефальві-Надя (Угорщина), Н. Данфорда (США) і багатьох ін. учених, але проте відповідна теорія ще далека від повної завершеності.
С. а. лінійних операторів має цілий ряд важливих вживань в класичній механіці (особливо теорії коливань), електродинаміці, квантовій механіці, теорії випадкових процесів, диференціальних і інтегральних рівнянь і ін. областях математики і математичної фізики.
Літ.: Курант P., Гільберт Д., Методи математичної фізики, пер.(переведення) з йому.(німецький), 3 видавництва, т. 1, М. — Л., 1951; Ахиезер Н. І., Глазман І.М., Теорія лінійних операторів в Гільбертовому просторі, 2 видавництва, М., 1966; Плеснер А. І., Спектральна теорія лінійних операторів, М., 1965; Рисі Ф., Секефальві Надь Би., Лекції з функціонального аналізу, пер.(переведення) з франц.(французький), М., 1954; Секефальві-Надь Би., Фояш Ч., Гармонійний аналіз операторів в Гільбертовому просторі, пер.(переведення) з франц.(французький), М., 1970; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Лінійні оператори, пер.(переведення) з англ.(англійський), ч. 2—3, М., 1966—74; Келдиш М. Ст, Лідський Ст Би., Питання спектральної теорії несамосопряженних операторів, в кн.: Тр. 4-го Всесоюзного математичного з'їзду, т. 1, Л., 1963, с. 101—20.
