Спектральне розкладання функції, розкладання функції в ряд по власним функціям деякого лінійного оператора (наприклад, кінечно-різницевого, диференціального або інтегрального), що діє у функціональному просторі, або одне з можливих узагальнень такого розкладання. Окремим випадком С. р. є розкладання функції, заданої на кінцевому відрізку, в Фур'є ряд (тобто гармонійний аналіз коливань), а також розкладання по інших відомих повним системам функцій . В разі лінійного оператора А, що має безперервний спектр, власні функції, що розуміються в звичайному сенсі, не існують; проте і тут вельми часто удається визначити ці функції (але лише вони вже не будуть елементами того функціонального простору, в якому діє оператор А) і задати С. р. широкого класу функцій як розкладання в інтеграл за системою функцій, залежною від аргументу (приклад С. р. цього типа — розкладання в Фур'є інтеграл ) , що безперервно змінюється . Для несамосопряженних операторів А поряд з власними функціями доводиться розглядати ще і ланцюжки функцій, приєднаних до власних функцій; проте і для таких операторів у функціональних просторах у багатьох випадках удається довести теорему облиште системи всіх власних і приєднаних функцій і, виходячи звідси, отримати С. р. широкого класу функцій по всіляких власних і приєднаних функціях оператора А.
С. р. функцій широко використовуються для вирішення різних кінечно-різницевих, диференціальних і інтегральних рівнянь і знаходять багаточисельні застосування в завданнях класичної механіки (особливо теорії коливань), електродинаміки, квантової механіки, теорії зв'язку, теорії автоматичного управління і інших розділах математичної фізики і прикладної математики.
Літ.: Березанський Ю. М., Розкладання по власних функціях самосопряженних операторів, До., 1965; Тітчмарш Е. Ч., Розкладання по власних функціях, пов'язані з диференціальними рівняннями другого порядку, пер.(переведення) з англ.(англійський), т. 1—2, М., 1960—61; Наймарк М. А., Лінійні диференціальні оператори, 2 видавництва, М., 1969; Льовітан Би. М., Capгсян І. С., Введення в спектральну теорію (самосопряженниє звичайні диференціальні оператори), М., 1970.
