Фур'є ряд, тригонометричний ряд, службовець для розкладання періодичної функції на гармонійні компоненти. Якщо функція f ( x ) має період 2 T , то її Ф. р. має вигляд
,
де a 0 , a n , b n ( n ³ 1) — Фур'є коефіцієнти . Залежно від того, в якому сенсі розуміються інтеграли у формулах для коефіцієнтів, говорять про ряди Фур'є — Рімана, Фур'є — Лебега і т.д. Зазвичай розглядають 2p-періодічні функції (загальний випадок зводиться до них перетворенням незалежного змінного).
Ф. р. є простий клас розкладань по ортогональній системі функцій, а саме — по тригонометричній системі 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ..., cos nx , sin nx ..., яка володіє двома важливими властивостями: замкнутістю і повнотою. Часткові суми Ф. р. (суми Фур'є)
обертають в мінімум інтеграл
,
де t n ( x ) — довільний тригонометричний поліном порядку £ n , а функція f ( x ) інтегрована з квадратом. При цьому
,
так що функції f ( x ), що мають інтегрований квадрат, скільки завгодно добре апроксимуються своїми сумами Фур'є в сенсі середнього квадратичного ухилення (див. Наближення і інтерполяція функцій ).
Для будь-якої інтегрованої функції f ( x ) коефіцієнти Фурье a n , b n при n ® ¥ прагнуть до нуля (Б. Ріман, А. Лебег). Якщо ж функція f ( x ) невластиво інтегрована по Ріману, то коефіцієнти Фур'є можуть і не прагнути до нуля (Ріман). У випадку, якщо квадрат функції f ( x ) інтегрований, то ряд сходиться і має місце рівність Парсеваля
.
Одін з варіантів цієї формули був вперше вказаний французьким математиком М. Парсевалем (1799), а загальна формула (де інтеграл розуміється в сенсі Лебега) доведена Лебегом. Назад, для будь-якої послідовності дійсних чисел a n , b n з рядом , що сходиться, існує функція з інтегрованим по Лебегу квадратом, що має ці числа своїми коефіцієнтами Фур'є (німецький математик Е. Фішер, угорський математик Ф. Рис). Для інтегралів в сенсі Рімана ця теорема невірна.
Відоме велике число ознак збіжності Ф. р., тобто достатніх умов, що гарантують збіжність ряду. Наприклад, якщо функція f ( x ) має на періоді кінцеве число максимумів і мінімумів, то її Ф. р. сходиться в кожній крапці (П. Дирихле ). Більш у загальних рисах, якщо f ( x ) має обмежену зміну (див. Зміна функції ), то її Ф. р. сходиться в кожній крапці і притому рівномірно на кожному відрізку, внутрішньому до відрізку, на якому f ( x ) безперервна (До. Жордан ). Якщо f ( x ) безперервна і її модуль безперервності w(d, f ) задовольняє умові, то її Ф. р. рівномірно сходиться (італійський математик В. Діні, 1880).
Проблема повного дослідження умов збіжності Ф. р. виявився вельми важким, і в цьому напрямі до цих пір немає остаточних результатів. Як показав Ріман збіжність або расходімость Ф. р. в деякій точці x 0 залежить від поведінки функції f ( x ) лише в скільки завгодно малій околиці цієї крапки (т.з. принцип локалізації для Ф. р.). Якщо в точці x 0 функція f ( x ) має розрив першого роду, т. с. існують різні межі f ( x 0 — 0) і f ( x 0 + 0), і Ф. р. цієї функції сходиться в точці x 0 , то він сходиться до значення 1 / 2 { f ( x 0 — 0) + f ( x 0 + 0)}. Зокрема, якщо Ф. р. безперервної періодичної функції f ( x ) сходиться в кожній крапці, то його сума рівна f ( x ).
Відоме, що існують безперервні функції, Ф. р. яких розходяться в безконечному числі крапок (німецький математик П. дю Буа-Реймон, 1875), і інтегровані в сенсі Лебега функції, Ф. р. яких розходяться в кожній крапці (А. Н. Колмогоров, 1926). Проте Ф. р. всякої інтегрованої з квадратом функції сходиться майже усюди (Л. Карлесон, 1966). Цей результат вірний і для функцій з будь-якого простору L p (—p, p) з p < 1 (Р. Хантів, 1968). Згадані «дефекти збіжності» породили методи підсумовування Ф. р. Замість того щоб досліджувати поведінку сум Фур'є, досліджують середні, утворені з цих сум, поведінка яких у ряді випадків виявляється значно правильнішою. Наприклад, для будь-якої безперервної періодичної функції f ( x ) сума фейєра
при n ® ¥ рівномірно сходяться до f ( x ) (Л. Фейєр, 1904).
Літ.: Толстов Р. П., Ряди Фур'є, 2 видавництва, М., 1960; Барі Н. До., Тригонометричні ряди, М., 1961; Зігмунд А., Тригонометричні ряди, пер.(переведення) з англ.(англійський), т. 1—2, М., 1965.
