розкладання функції f (x) , що має період 2 T , в ряд Фур'є (див. Фур'є ряд ). Формули (*) називають формулами Ейлера — Фур'є. Безперервна функція f ( x ) однозначно визначається своїми коефіцієнтами Фур'є. Ф. до. інтегрованій функції f ( x ) прагнуть до нуля при n ® ¥, причому швидкість їх убування залежить від диференціальних властивостей функції f ( x ). Наприклад, якщо f ( x ) має до безперервних похідних, то існує таке число з , що | a n | £ c/n до | b n | £ c/n до . Ф. до. пов'язані з f ( x ) також наступною нерівністю:
(див. Парсеваля рівність ). Ф. до. функції f ( x ) по будь-якій нормованій ортогональній на відрізку [ а , b ] системі функцій j 1 ( x ), j 2 ( x )..., j n ( x )... (див. Ортогональна система функцій ) рівні
