Зміна функції, варіація функції, одна з найважливіших характеристик функції дійсного змінного. Хай функція f ( x ) задана на деякому відрізку [ а , b ]; її зміною, або повною зміною, на цьому відрізку називається верхня грань сум
поширена на всіляке розбиття
відрізання [ а , b ] на кінцеве число частин. Геометрично зміна безперервній функції f ( x ) є довжиною проекції кривої в = f ( x ) на вісь ординат, рахуючи кратність покриття (теорема Банаха). І. ф. f ( x ) на відрізку [ а , b ] прийнято позначати символом
.
Якщо функція f ( x ) має безперервну похідну, то
Властивості І. ф.: 1) якщо а < Ь < з, те
Існують безперервні функції, зміна яких нескінченно; наприклад,
Якщо і. ф. звичайно, то така функція називається функцією з обмеженою зміною (функцією з кінцевою зміною, або функцією обмеженої варіації). Функції з обмеженою зміною були визначені і вперше вивчалися До. Жорданом (1881). Багато важливих функцій належать до функцій з обмеженою зміною, наприклад монотонні функції, задані на відрізку, функції з кінцевим числом максимумів і мінімумів, функції, що задовольняють Ліпшиця умові . Всяка функція з обмеженою зміною на відрізку [ а, b ] має не більше ніж рахункову безліч розриву точок, і притому першого роду, інтегрована по Ріману і є різниця двох неубутних функцій (До. Жордан). Межа послідовності функцій, що сходиться, з рівностепеневий обмеженими змінами є функція з обмеженою зміною. Функції з обмеженою зміною мають майже усюди кінцеву похідну, яка інтегрована по Лебегу (теорема А. Лебега ).
Функції з обмеженою зміною мають додатка в теорії інтеграла Стилт'єсу, в теорії тригонометричних рядів, в геометрії.
Літ.: Александров П. С. і Колмогоров А. Н., Введення в теорію функцій дійсного змінного, 3 видавництва, М. — Л., 1938; Kaмкe Е., Інтеграл Лебега-Стилт'єсу, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1959; Лузін Н. Н., Інтеграл і тригонометричний ряд, М-код. — Л., 1951; Лебег А., Інтеграція і відшукання примітивних функцій, пер.(переведення) з франц.(французький), М. — Л., 1934; Рудін В., Основи математичного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966.
