тобто ряд, розташований по синусах і косинусах кратних дуг. Часто Т. р. записуються в комплексній формі
.
Числа a n , b n або c n називають коефіцієнтами Т. р.
Т. р. грають вельми важливу роль в математиці і її застосуваннях. Раніше всього Т. р. дають засоби для зображення і вивчення функцій і є тому одним з основних апаратів теорії функцій. Далі, Т. р., природно, з'являються при вирішенні ряду завдань математичної фізики, серед яких можна відзначити завдання про вагання струни, завдання про поширення тепла і ін. Нарешті, теорія Т. р. сприяла уточненню основних понять математичного аналізу (функція, інтеграл) викликала до життя ряд важливих розділів математики (теорія інтегралів Фур'є, теорія майже-періодичних функцій), послужила одним з відправних пунктів для розвитку теорії безлічі, теорії функцій дійсного змінного і функціонального аналізу і поклала початок загальному гармонійному аналізу.
Т. р. вперше з'являються в роботах Л. Ейлера («Введення в аналіз нескінченно малих», 1748; Лист до Х. Гольдбаху від 4 липня 1744), наприклад:
,
Ейлер вказав на зв'язок між статечними рядами і Т. р.: якщо, де c n дійсні, то (де Re позначає дійсну частину функції). Ейлерові ж належать перші додатки Т. р. до дослідження вагання струни (1748); на його думку, в Т. р. можуть бути розкладені лише ті функції, які ми тепер назвали б кусочно-аналітичними. Формули для коефіцієнтів в розкладанні
,
а саме:
,
були вперше вказані А. Клеро (1757), а їх вивід за допомогою почленного інтеграції Т. р. був дан Ейлером в 1777; втім, формули для а 0 і а 1 зустрічаються ще раніше у Ж. Д''Аламбера (1754).
Т. р. залучили до себе інтерес найбільших математиків 50—70-х рр. 18 ст у зв'язку з суперечкою про вагання струни. Зокрема, Д. Бернуллі вперше висловив твердження, що «довільна» функція може бути розкладена в Т.. р. Проте у той час поняття функції було ще недостатньо виразним (див. Функція ). Твердження, що функції вельми загального вигляду дійсно можуть бути розкладені в Т. р., було знов висловлено і постійно висувалося Ж. Фур'є (1811); він систематично користувався Т. р. при вивченні завдань теплопровідності. Вельми широкий клас Т. р. по праву носить його ім'я (див. Фур'є ряд ). Після досліджень Фур'є Т. р. міцно увійшли до математичної фізики (С. Пуассон, М. Ст Остроградський ). Істотний прогрес теорії Т. р. в 19 ст був пов'язаний з уточненням основних понять математичного аналізу і створенням теорії функцій дійсного змінного. Так, П. Дирихле (1837), уточнивши поняття довільної функції, набув першої загальної ознаки збіжності рядів Фур'є; Р. Ф. Би. Ріман досліджував поняття інтеграла і встановив необхідну і достатню умову інтегрованості функцій у зв'язку з дослідженнями по Т. р.; дослідження, що відносяться до зображення функцій Т. р., привели Р. Кантора до створення теорії безлічі; нарешті, А. Лебег (1902—06), застосувавши розвинені ним поняття міри і інтеграла до теорії Т. р., надав їй сучасному вигляду. Важливий вклад до теорії Т. р. внесли Н. Н. Лузін, Д. Е. Меньшов і ін.
Літ.: Лузін Н. Н., Інтеграл і тригонометричний ряд, М. — Л., 1951; Пан. До., Тригонометричні ряди, М., 1961; Зігмунд А., Тригонометричні ряди, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, т. 1—2, М., 1965.
