Функція, одне з основних понять математики, що виражає залежність одних змінних величин від інших. Якщо величини x і в зв'язані так, що кожному значенню x відповідає певне значення в , то в називають (однозначною) функцією аргументу x . Інколи x називають незалежною, а в — залежною змінною. Записують вказане співвідношення між x і в в загальному вигляді так: в = f ( x ) або в = F ( x ) і т. п. Якщо зв'язок між x і в такий, що одному і тому ж значенню x відповідає взагалі декілька (мабуть навіть безконечна безліч) значень в , то в називають багатозначними Ф. аргументу x . Задати Ф. в = f ( x ) означає вказати:
1) безліч А значень, які може приймати x (область завдання Ф.),
2) безліч В значень, які може приймати в (область значення Ф.), і
3) правило, по якому значенням x з А співвідносяться значення в з В . У простих випадках областю завдання Ф. служить вся числова пряма або її відрізок а £ x £ b (або інтервал а < x < b ).
Правило віднесення значенням x відповідних ним значень в найчастіше задається формулою, що встановлює, які обчислювальні операції треба виробити над x , щоб знайти в . Такі, наприклад, формули, і т. п. До обчислювальних (або аналітичним) операцій, окрім чотирьох дій арифметики, прийнято відносити також операцію переходу межі (тобто знаходження по заданій послідовності чисел a 1 , a 2 , a 3 ... її межі lim a n , якщо він існує), хоча жодних загальних способів виробництва цієї операції немає. У 1905 А. Лебег запропонував загальне визначення аналітично змальованою Ф. як Ф., значення якої виходять із значень x і постійних величин за допомогою арифметичних дій і граничних переходів. Все т.з. елементарні Ф. sin x , cos x , a x ,, log x , arctg x і т. п. аналітично змальовані. Наприклад, cos x представляється формулою:
.
В 1885 До. Вейерштрас встановив аналітичну змальовану будь-якій безперервній функції . Саме, він показав, що всяка Ф., безперервна на якому-небудь відрізку, є межею послідовності многочленів вигляду
c 0 + c 1 x + c 2 x 2 +...+ c n x n .
Окрім описаного тут аналітичного способу завдання Ф. за допомогою формули, застосовуються і ін. способи. Так, в тригонометрії Ф. cos x визначається як проекція одиничного вектора на вісь, створюючу з ним кут в x радіанів, а Ф. у алгебрі як число, квадрат якого рівний x . Можливість завдання цих Ф. за допомогою аналітичних формул встановлюється лише при більш поглибленому їх вивченні. Згадаємо ще в і д. н. функції Дирихле в( x ), рівною 1, якщо x — число раціональне, і 0, якщо x — число ірраціональне. Вперше ця Ф. була введена цим «бесформульним» способом, але згодом для неї була знайдена і аналітична формула:
.
Існують, проте, і такі Ф., не які представіми в описаному вище сенсі жодною аналітичною формулою. Такими Ф., в усякому разі, є т.з. невимірні по Лебегу Ф.
До Ф., заданим однією аналітичною формулою, примикають Ф., які на різних частинах своєї області завдання визначені різними формулами. Така, наприклад, Ф. f ( x ), задана так: f ( x ) = x , якщо x £ 1, і f ( x ) = x 2 , якщо x > 1. Приведене вище «бесформульноє» завдання функції Дирихле в( x ) також належить до цього типа.
Ф. в = f ( x ) інколи задається своїм графіком, тобто безліччю тих крапок ( x , в ) плоскість, в якої x належить області завдання Ф., а в = f ( x ). У прикладних питаннях часто задовольняються таким завданням Ф., коли її графік просто накреслений на плоскості ( мал. ), а значення Ф. знімаються з креслення. Так, наприклад, верхні шари атмосфери можна вивчати за допомогою куль-зондів, що несуть самописні прилади, що безпосередньо доставляють криві зміни температури, тиск і т. п.
Щоб завдання Ф. графіком було сповна коректним з чисто математичної точки зору, недостатньо, проте, просто накреслити її графік, бо завдання геометричного об'єкту кресленням завжди недостатньо ясно. Тому для графічного завдання Ф. має бути вказана точна геометрична конструкція її графіка. Найчастіше ця конструкція задається за допомогою рівняння, що повертає нас до аналітичного завдання Ф., проте можливі і чисто геометричні методи побудови графіка (наприклад, пряма лінія сповна визначається завданням координат двох її крапок).
В техніці і природознавстві часто зустрічається наступна ситуація: залежність між величинами x і в свідомо існує, але невідома. Тоді виробляють ряд експериментів, в кожному з яких удається виміряти одне із значень величини x і відповідне йому значення в . В результаті складається більш менш обширна таблиця, що зіставляє виміряним значенням x відповідні значення в . Тоді говорять про «табличне» завдання Ф. Нахожденіє для такої Ф. аналітичної формули (див. Інтерполяція ) не раз було важливим науковим відкриттям (наприклад, відкриття Р. Бойлем і Е. Маріоттом формули pv = З , що зв'язує тиск і об'єм маси газу). Табличне завдання Ф. з чисто математичної точки зору сповна коректно, якщо під областю завдання Ф. розуміти саме те безліч значень x , яке внесене до таблиці, і табличних значень в вважати абсолютно точними. Окрім Ф. одного аргументу, про яких йшла мова, в математиці і її застосуваннях, велике значення мають Ф. декількох аргументів. Хай, наприклад, кожній системі значень три змінних x , в , z відповідає певне значення четвертої змінної u . Тоді говорять, що u є (однозначна) Ф. аргументів x , в , z , і пишуть u = f ( x , в , z ). Формули u = x + 2 в , u = ( x + в ) sin z дають приклади аналітичного завдання Ф. два і трьох аргументів. Аналогічно визначаються і багатозначні Ф. декількох аргументів. Ф. двох аргументів z = f ( x , в ) можна задати і за допомогою її графіка, тобто безліч крапок ( x , в , z ) простори, в яких ( x , в ) належить області завдання Ф., а z = f ( x , в ). У простих випадках таким графіком служить деяка поверхня.
Розвиток математики в 19 і 20 вв.(століття) привело до необхідності подальшого узагальнення поняття Ф., що полягав в перенесенні цього поняття із змінних дійсних чисел спочатку на змінні комплексні числа, а потім і на змінні математичні об'єкти будь-якої природи. Наприклад, якщо кожному кругу x плоскості співвіднести його площу в , то в буде функцією x , хоча x вже не число, а геометрична фігура. Так само, якщо кожній кулі x тривимірного простору співвіднести його центр в , то тут вже ні x , ні в не будуть числами.
Загальне визначення однозначною Ф. можна сформулювати так: хай А = { x } і В = { в } — дві непорожня безліч, складених з елементів будь-якої природи, і М-код — безліч впорядкованих пар ( x , в ) (де x Î А , в Î В ) таке, що кожен елемент x Î А входить в одну і лише одну пару з М-коду ; тоді М-код задає на А функцію в = f ( x ), значення якої для кожного окремого x 0 Î А є елемент y 0 Î В , що входить в єдину пару з М-коду , x, що має, 0 своїм першим елементом.
При вказаному розширенні поняття Ф. стирається відмінність між Ф. одного і декількох аргументів. Наприклад, всяку Ф. трьох числових змінних x , в , z можна рахувати Ф. одного аргументу — точки ( x , в , z ) тривимірного простору. Більш того, такі узагальнення поняття Ф., як функціонал або оператор (див. Функціональний аналіз ), також охоплюються приведеним визначенням.
Як і останні поняття математики, поняття Ф. склалося не відразу, а прошло довгу дорогу розвитку. У роботі П. Ферма «Введення і вивчення плоских і тілесних місць» говориться: «Всякий раз, коли в завершальному рівнянні є дві невідомі величини, в наявності є місце». По суті тут йде мова про функціональну залежність і її графічне зображення («місце» у Ферма означає лінію). Вивчення ліній по їх рівняннях в «Геометрії» Р. Декарта (1637) також вказує на ясне уявлення про взаємну залежність двох змінних величин. В І. Барроу («Лекції з геометрії», 1670) в геометричній формі встановлюється взаємна обратность дій диференціювання і інтеграції (зрозуміло, без вживання самих цих термінів). Це свідчить вже про абсолютно виразне володіння поняттям Ф. У геометричному і механічному вигляді це поняття ми знаходимо і в І. Ньютона, Проте термін «Ф.» вперше з'являється лише в 1692 в Р. Лейбніца і притому не зовсім в сучасному розумінні його. Лейбніц називає Ф. різні відрізки, пов'язані з якою-небудь кривою (наприклад, абсциси її точок і т. п.). У першому друкарському курсі «Аналізу нескінченно малих» Р. Лопіталя (1696) термін «Ф.» не уживався.
Перше визначення Ф. у сенсі, близькому до сучасного, зустрічається в І. Бернуллі (1718): «Функція це величина, складена із змінної і постійною». У основі цього не цілком виразного визначення лежить ідея завдання Ф. аналітичною формулою. Та ж ідея виступає і у визначенні Л. Ейлера (див. «Введення в аналіз безконечних», 1748): «Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь чином з цієї змінної кількості і чисел або постійних кількостей». Втім, вже Ейлерові було не чуже і сучасне розуміння Ф., яке не зв'язує поняття Ф. з яким-небудь аналітичним її вираженням. У його «Диференціальному численні» (1755) говориться: «Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, то перші називаються функціями других». Все ж в 18 ст було відсутнє досить ясне розуміння відмінності між Ф. і її аналітичним вираженням. Це знайшло віддзеркалення в тій критиці, якою Ейлер піддав рішення задачі про вагання струни, запропоноване Д. Бернуллі (1753). У основі вирішення Бернуллі лежало твердження про можливість розкласти будь-яку Ф. у тригонометричний ряд. Заперечуючи проти цього, Ейлер указал на те, що подібна розкладність доставляла б для будь-якої Ф. аналітичне вираження, тоді як Ф. може і не мати його (вона може бути задана графіком, «накресленим вільним рухом руки»). Ця критика переконлива і з сучасної точки зору, бо не все Ф. допускають аналітичне зображення (правда, в Бернуллі йдеться про безперервній Ф., яка завжди аналітично змальована, але вона може і не розкладатися в тригонометричний ряд). Проте інші аргументи Ейлера вже помилкові. Наприклад, Ейлер вважав, що розкладання Ф. у тригонометричний ряд доставляє для неї єдине аналітичне вираження, тоді як вона може бути «змішаною» Ф., уявною на різних відрізках різними формулами. Насправді одне не іншому протіворечит, але в ту епоху здавалося неможливим, щоб два аналітичні вираження збігаючись на частини відрізання, не збігалися на всьому його протязі.
Ці помилкові погляди заважали розвитку теорії тригонометричних рядів, і лише в роботах Же. Фур'є (1822) і П. Дирихле (1829) правильні по суті ідеї Д. Бернуллі отримали подальший розвиток.
З початку 19 ст вже все частіше і частіше визначають поняття Ф. без згадки про її аналітичне зображення. У керівництві французького математика С. Лакруа (1810) говориться: «Всяка величина, значення якої залежить від однієї або багатьох інших величин, називається функцією цих останніх». У «Аналітичній теорії тепла» Ж. Фурье (1822) є фраза: «Функція fx позначає функцію абсолютно довільну, тобто послідовність даних значень, підлеглих чи ні загальному закону і відповідних всім значенням x , що міститься між 0 і який-небудь величиною X ». Близько до сучасного і визначення Н. І. Лобачевського («О зникненні тригонометричних рядків», 1834):»... Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, яке дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним вираженням, або умовою, яка подає засіб випробовувати всі числа і вибирати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати і залишатися невідомою». Там же трохи нижче сказано: «Обширний погляд теорії допускає існування залежності лише в тому сенсі, щоб числа одні з іншими в зв'язку, розуміти як би даними разом». Т. о., сучасне визначення Ф., вільне від згадок про аналітичне завдання, зазвичай приписуване Дирихле і висловлене в 1837, неодноразово пропонувалося і до нього.
На закінчення відзначимо наступне важливе відкриття, належне Д. Е. Меньшову : всяка кінцева вимірна (по Лебегу) на відрізку Ф. (див. Вимірні функції ) розкладається в тригонометричний ряд, що сходиться до неї майже усюди. Т. до. зазвичай Ф, що зустрічаються. ізмеріми, то можна сказати, що практично всяка Ф. змальована аналітично з точністю до безлічі міри нуль.
Літ.: Ільін Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, ч. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, 2 видавництва, т. 1—2, М., 1973; Никольський С. М., Курс математичного аналізу, 2 видавництва, т. 1—2, М-код.,1975
