Безперервна функція, функція, одержуюча нескінченно малі прирости при нескінченно малих приростах аргументу. Однозначна функція f ( x ) називається безперервною при значенні аргументу x 0 , якщо для всіх значень аргументу х, що відрізняються досить малий від x 0 , значення функції f ( x ) відрізняються скільки завгодно мало від її значення f ( x 0 ) . Точніше, функція f ( х ) називається безперервною при значенні аргументу x 0 (або, як то кажуть, в точці x 0 ) , якщо як би не було e > 0, можна вказати таке d > 0, що при | х — х 0 | < d виконуватиметься нерівність | f ( x ) — f ( x 0 )| < e. Це визначення рівносильне наступному: функція f ( x ) безперервна в точці x 0 , якщо при х, прагнучому до x 0 , значення функції f ( x ) прагне до межі f ( x 0 ). Якщо всі умови, вказані у визначенні Н. ф., виконуються лише при х ³ х 0 або лише при х £ х 0 , те функція називається, відповідно, безперервною справа або зліва в точці x 0 . Функція f ( x ) називається безперервною н а відрізку [ а , b ], якщо вона безперервна в кожній точці х при а < х < b і, крім того, в точці а безперервна справа, а в точці b — зліва.
Поняттю Н. ф. протиставляється поняття розривній функції . Одна і та ж функція може бути безперервною для одних і розривною для інших значень аргументу. Так, дробова частина числа х [її прийнято позначати через ( х )], наприклад
є функцією розривною при будь-якому цілому значенні і безперервною при всіх інших значеннях ( мал. 1 ), причому в цілочисельних крапках вона безперервна справа.
Простими функціями змінного х, безперервними при всякому значенні x , є многочлени, синус ( в = sin x), косинус ( в = cos x), показова функція ( в = a x , де а — позитивне число). Сума, різниця і твір Н. ф. знову дають Н. ф. Приватне два Н. ф. також є Н. ф., за виключенням тих значень х, для яких знаменник перетворюється на нуль (оскільки в таких крапках дане приватне не визначене). Наприклад,
є Н. ф. для всіх значень х, окрім непарних кратних p/2, при яких cos х перетворюється на нуль.
Н. ф. володіють багатьма важливими властивостями, якими і пояснюється величезне значення цих функцій в математиці і її застосуваннях. Одна з найважливіших властивостей виражається наступною теоремою: для всякої функції, безперервної на відрізку [ а, b ] можна знайти многочлен, значення якого відрізняються на цьому відрізку від значень функції менш ніж на довільно мале, наперед задане число (теорема про наближення Н. ф. многочленами). Справедлива також і зворотна теорема: всяка функція, яку на деякому відрізку можна з довільною мірою точності замінити многочленом безперервна на цьому відрізку.
Функція, безперервна на відрізку, обмежена на нім і досягає на цьому відрізку найбільшого і найменшого значення (див. Найбільше і найменше значення функцій ) . Крім того, вона набуває на цьому відрізку всіх значень, лежачих між її найменшим і найбільшим значеннями. Функції, безперервні на відрізку, володіють властивістю рівномірній безперервності . Всяка функція, безперервна на деякому відрізку, інтегрована на нім, тобто є похідною інший Н. ф. Проте не всяка Н. ф. сама має похідну. Геометрично це означає, що графік Н. ф. не обов'язково володіє в кожній крапці певним напрямом (дотичній); це може статися, наприклад, тому, що графік має кутову крапку ( ріс.2 , функція в = | x |), або тому, що він здійснює в будь-якій близькості крапки Про нескінченно багато коливань між двома пересічними прямими ( мал. 3 , функція
при х ¹ 0 і в = 0 при x = 0).
Існують Н. ф., що не мають похідної ні в одній крапці (перший приклад такого роду був знайдений Би. Больцано ) . Уявлення про графіку подібної функції дає мал. 4 , де змальовані перші етапи побудови, що полягає в заміні середній третині кожного прямолінійного відрізання двузвеннимі, що необмежено продовжується, ламаними; співвідношення довжин підбираються так, щоб в межі отримати Н. ф.
Функція F ( x , в, z... ) декілька змінних, визначена в деякій околиці крапки ( x 0 , y 0 , z 0 ...), називається безперервною в цій крапці, якщо для будь-якого e > 0 можна вказати таке d > Про, що при одночасному виконанні нерівностей: | x — x 0 | < d | в — у 0 | < d | z — z 0 | < d... виконується також і нерівність:
I F ( x , в, z ...) — F ( x 0 , y 0 , z 0 ... )| < e.
Така функція буде безперервною по відношенню до кожного аргументу окремо (якщо останнім аргументам надані певні числові значення). Зворотне, проте, невірно: функція F ( x :, в, z, ...), безперервна по кожному аргументу в окремості, може і не бути Н. ф. цих аргументів. Простий приклад цей дає функція F ( x , в ) , рівна xy/ ( x 2 + y 2 ) , якщо x 2 + y 2 ¹ 0, і рівна 0 при x = в = 0. Вона безперервна по x при будь-якому фіксованому значенні в по в — при будь-якому фіксованому значенні х. Зокрема, вона безперервна по x при в = 0 і по в при x = 0. Якщо ж покласти, наприклад, в = х ¹ 0, те значення функції залишатиметься рівним x 2 / ( x 2 + y 2 ) = 1 / 2 , тобто не можна буде вказати такого числа d > 0, щоб при одночасному виконанні нерівностей | х | < d | в | < d виконувалося нерівність | ху/ ( х 2 + y 2 )| < e . На Н. ф. декілька змінних поширюються всі основні теореми, що відносяться до Н. ф. одного змінного.
Літ.: Хинчин А. Я., Короткий курс математичного аналізу, М., 1953; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1, М., 1970.
